Problem z Burnside'em

Problem Burnside'a polega na pytaniu, czy skończenie generowana grupa , w której każdy element ma skończony porządek , musi koniecznie być grupą skończoną . Zostało postawione przez Williama Burnside'a w 1902 roku, co czyni je jednym z najstarszych pytań w teorii grup i miało wpływ na rozwój kombinatorycznej teorii grup . Wiadomo, że ogólnie ma odpowiedź negatywną, ponieważ Evgeny Golod i Igor Shafarevich podali kontrprzykład w 1964 roku. Problem ma wiele udoskonaleń i wariantów (patrz poniżej ograniczone i ograniczone ), które różnią się dodatkowymi warunkami nałożonymi na rozkazy elementy grupy, z których niektóre są nadal pytaniami otwartymi .

Krótka historia

Wstępne prace wskazywały na odpowiedź twierdzącą. Na przykład, jeśli grupa G jest generowana w sposób skończony, a kolejność każdego elementu G jest dzielnikiem 4, to G jest skończona. Co więcej, AI Kostrikin był w stanie udowodnić w 1958 r., że wśród skończonych grup o danej liczbie generatorów i danym wykładniku pierwszym istnieje grupa największa. Zapewnia to rozwiązanie ograniczonego problemu Burnside'a w przypadku wykładnika pierwszego. (Później, w 1989 roku, Efim Zelmanov był w stanie rozwiązać ograniczony problem Burnside'a dla dowolnego wykładnika). Issai Schur wykazał w 1911 roku, że każda skończenie generowana grupa okresowa, która była podgrupą grupy odwracalnych macierzy zespolonych n × n była skończona ; użył tego twierdzenia do udowodnienia twierdzenia Jordana-Schura .

Niemniej ogólna odpowiedź na problem Burnside'a okazała się negatywna. W 1964 roku Golod i Szafarewicz skonstruowali nieskończoną grupę typu Burnside'a, nie zakładając, że wszystkie elementy mają jednakowo ograniczony porządek. W 1968 roku Piotr Nowikow i Siergiej Adian przedstawili ujemne rozwiązanie problemu ograniczonego wykładnika dla wszystkich wykładników nieparzystych większych niż 4381. W 1982 roku A. Yu. Ol'shanskii znalazł kilka uderzających kontrprzykładów dla wystarczająco dużych wykładników nieparzystych (większych niż 10 ¹⁰ ) i dostarczył znacznie prostszy dowód oparty na ideach geometrycznych.

Znacznie trudniejszy do rozstrzygnięcia okazał się przypadek wykładników parzystych. W 1992 roku SV Ivanov ogłosił rozwiązanie negatywne dla wystarczająco dużych parzystych wykładników podzielnych przez dużą potęgę 2 (szczegółowe dowody zostały opublikowane w 1994 roku i zajmowały około 300 stron). Późniejsza wspólna praca Ol'shanskii i Ivanova ustaliła negatywne rozwiązanie analogicznego problemu Burnside'a dla grup hiperbolicznych , pod warunkiem, że wykładnik jest wystarczająco duży. Z drugiej strony, gdy wykładnik jest mały i różny od 2, 3, 4 i 6, wiadomo bardzo niewiele.

Ogólny problem Burnside'a

Grupę G nazywamy okresową , jeśli każdy element ma skończony porządek; innymi słowy, dla każdego g w G istnieje pewna dodatnia liczba całkowita n taka, że g ⁿ = 1. Oczywiście każda skończona grupa jest okresowa. Istnieją łatwo zdefiniowane grupy, takie jak grupa p ^∞ , które są nieskończonymi grupami okresowymi; ale ta ostatnia grupa nie może być generowana w sposób skończony.

Ogólny problem Burnside'a. Jeśli G jest skończenie generowaną grupą okresową, to czy G jest koniecznie skończona?

Na to pytanie odpowiedzieli przecząco w 1964 roku Evgeny Golod i Igor Shafarevich , którzy podali przykład nieskończonej grupy p , która jest generowana w sposób skończony (patrz twierdzenie Goloda-Shafarevicha ). Jednak rzędy elementów tej grupy nie są a priori ograniczone jedną stałą.

Ograniczony problem Burnside'a

Wykres Cayleya 27-elementowej wolnej grupy Burnside'a o randze 2 i wykładniku 3.

Część trudności związanych z ogólnym problemem Burnside'a polega na tym, że wymagania dotyczące skończonej generacji i okresowości dają bardzo niewiele informacji o możliwej strukturze grupy. Dlatego stawiamy większe wymagania G. Rozważmy grupę okresową G z dodatkową właściwością, że istnieje najmniejsza liczba całkowita n taka, że dla wszystkich g w G , g ⁿ = 1. O grupie o tej właściwości mówi się, że jest okresowa z ograniczonym wykładnikiem n lub po prostu grupą z wykładnikiem rz . Problem Burnside'a dla grup z ograniczonym wykładnikiem pyta:

Problem Burnside'a I. Jeśli G jest skończenie generowaną grupą z wykładnikiem n , to czy G jest koniecznie skończona?

Okazuje się, że problem ten można sprowadzić do pytania o skończoność grup w określonej rodzinie. Wolna grupa Burnside'a rzędu m i wykładnika n , oznaczona jako B( m , n ), jest grupą z m wyróżnionymi generatorami x ₁ , ..., x _m , w której tożsamość x ⁿ = 1 zachodzi dla wszystkich elementów x , oraz która jest „największą” grupą spełniającą te wymagania. Dokładniej, cechą charakterystyczną B( m , n ) jest to, że dla dowolnej grupy G z m generatorami g ₁ , ..., g _m i wykładnikiem n , istnieje unikalny homomorfizm od B( m , n ) do G , który odwzorowuje i- ty generator xi _z B( m , n ) na i- ty generator g _i z G . W języku prezentacji grupowych swobodna grupa Burnside'a B( m , n ) ma m generatorów x ₁ , ..., x _m i relacje x ⁿ = 1 dla każdego słowa x w x ₁ , ..., x _m , a dowolna grupa G z m generatorami wykładnika n jest z niej otrzymywana przez nałożenie dodatkowych relacji. Istnienie wolnej grupy Burnside'a i jej wyjątkowość aż do izomorfizmu są ustalane za pomocą standardowych technik teorii grup. Zatem jeśli G jest dowolną skończenie generowaną grupą wykładnika n , to G jest homomorficznym obrazem B( m , n ), gdzie m jest liczbą generatorów G . Problem Burnside'a można teraz przedstawić w następujący sposób:

Problem Burnside'a II. Dla jakich dodatnich liczb całkowitych m , n swobodna grupa Burnside'a B( m , n ) jest skończona?

Pełne rozwiązanie problemu Burnside'a w tej postaci nie jest znane. Burnside rozważał kilka łatwych przypadków w swoim oryginalnym artykule:

B(1, n ) jest grupą cykliczną rzędu n .
B( m , 2) jest bezpośrednim iloczynem m kopii grupy cyklicznej rzędu 2, a więc skończonej .

Znane są następujące dodatkowe wyniki (Burnside, Sanov, M. Hall ):

B( m , 3), B( m , 4) i B( m , 6) są skończone dla wszystkich m .

Szczególny przypadek B (2, 5) pozostaje otwarty: od 2020 roku nie było wiadomo, czy ta grupa jest skończona.

Przełomu w rozwiązaniu problemu Burnside'a dokonali Piotr Nowikow i Siergiej Adian w 1968 roku. Wykorzystując skomplikowany argument kombinatoryczny, wykazali oni, że dla każdej liczby nieparzystej n przy n > 4381 istnieją nieskończone, skończenie generowane grupy wykładników n . Adian później poprawił ograniczenie wykładnika nieparzystego do 665. Najnowszą poprawą ograniczenia wykładnika nieparzystego jest 101 uzyskane przez samego Adiana w 2015 r. Przypadek wykładnika parzystego okazał się znacznie trudniejszy. Dopiero w 1994 Siergiej Wasiljewicz Iwanow był w stanie udowodnić analogię twierdzenia Nowikowa-Adiana: dla dowolnego m > 1 i parzystej n ≥ 2 ⁴⁸ , n podzielnej przez 2 ⁹ , grupa B( m , n ) jest nieskończona ; razem z twierdzeniem Nowikowa-Adiana implikuje to nieskończoność dla wszystkich m > 1 i n ≥ 2 ⁴⁸ . Zostało to poprawione w 1996 roku przez IG Lysënoka do m > 1 i n ≥ 8000. Novikov – Adian, Ivanov i Lysënok ustalili znacznie dokładniejsze wyniki dotyczące struktury wolnych grup Burnside'a. W przypadku wykładnika nieparzystego wszystkie skończone podgrupy wolnych grup Burnside'a okazały się grupami cyklicznymi. W przypadku parzystego wykładnika każda skończona podgrupa jest zawarta w iloczynie dwóch grup dwuściennych i istnieją niecykliczne skończone podgrupy. Ponadto wykazano, słowne i koniugacyjne są skutecznie rozwiązywalne w B( m , n ) zarówno dla przypadków nieparzystych, jak i parzystych wykładników n .

Słynną klasę kontrprzykładów problemu Burnside'a tworzą skończenie generowane niecykliczne grupy nieskończone, w których każda nietrywialna podgrupa właściwa jest skończoną grupą cykliczną , tak zwane Potwory Tarskiego . Pierwsze przykłady takich grup skonstruował A. Yu. Ol'shanskii w 1979 roku przy użyciu metod geometrycznych, rozwiązując w ten sposób pozytywnie O. Yu. Problem Schmidta. W 1982 Ol'shanskii był w stanie wzmocnić swoje wyniki, aby ustalić istnienie dla dowolnej wystarczająco dużej liczby pierwszej p (można przyjąć p > 10 ⁷⁵ ) skończenie generowanej nieskończonej grupy, w której każda nietrywialna podgrupa właściwa jest grupą cykliczną rzędu p . W artykule opublikowanym w 1996 roku Ivanov i Ol'shanskii rozwiązali analog problemu Burnside'a w dowolnej grupie hiperbolicznej dla wystarczająco dużych wykładników.

Ograniczony problem Burnside'a

Sformułowana w latach trzydziestych XX wieku zadaje kolejne, pokrewne pytanie:

Ograniczony problem Burnside'a. Jeśli wiadomo, że grupa G z m generatorami i wykładnikiem n jest skończona, to czy można wnioskować, że rząd G jest ograniczony jakąś stałą zależną tylko od m i n ? Równoważnie, czy istnieje tylko skończenie wiele skończonych grup z m generatorami wykładnika n , aż do izomorfizmu ?

₀₀₀ Ten wariant problemu Burnside'a można również przedstawić w kategoriach pewnych uniwersalnych grup z m generatorami i wykładnikiem n . Zgodnie z podstawowymi wynikami teorii grup, przecięcie dwóch podgrup o skończonym indeksie w dowolnej grupie jest samo w sobie podgrupą o skończonym indeksie. Niech M będzie przecięciem wszystkich podgrup wolnej grupy Burnside'a B( m , n ), które mają skończony indeks, wtedy M będzie normalną podgrupą B( m , n ) (w przeciwnym razie istnieje podgrupa g ⁻¹ Mg ze skończoną indeks zawierający elementy spoza M ). Można zatem zdefiniować grupę B ( m , n ) jako grupę czynników B( m , n )/ M . Każda skończona grupa wykładników n z m generatorami jest homomorficznym obrazem B ( m , n ). Ograniczony problem Burnside'a pyta następnie, czy B ( m , n ) jest grupą skończoną.

₀ W przypadku głównego wykładnika p , problem ten był szeroko badany przez AI Kostrikina w latach pięćdziesiątych XX wieku, przed negatywnym rozwiązaniem ogólnego problemu Burnside'a. Jego rozwiązanie, ustalające skończoność B ( m , p ), wykorzystywało relację z głębokimi pytaniami o tożsamości w algebrach Liego w charakterystyce skończonej. Sprawa arbitralnego wykładnika została całkowicie pozytywnie rozstrzygnięta przez Efima Zelmanova , który w 1994 roku został odznaczony Medalem Fieldsa za swoją pracę.

Notatki

^ Curtis, Karol; Reinera, Irvinga (1962). Teoria reprezentacji grup skończonych i powiązanych algebr . John Wiley & Synowie. s. 256–262.
^ John Britton zaproponował prawie 300-stronicowy alternatywny dowód problemu Burnside'a w 1973 roku; jednak Adian ostatecznie wskazał błąd w tym dowodzie.

Bibliografia

SI Adian (1979) Problem Burnside'a i tożsamości w grupach . Przetłumaczone z rosyjskiego przez Johna Lennoxa i Jamesa Wiegolda. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [Wyniki z matematyki i dziedzin pokrewnych], 95. Springer-Verlag, Berlin-New York. ISBN 3-540-08728-1 .
SI Adian (2015). „Nowe oszacowania nieparzystych wykładników nieskończonych grup Burnside'a”. Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni VA Steklova (po rosyjsku). 289 : 41–82. doi : 10.1134/S0371968515020041 . Tłumaczenie w Adian, SI (2015). „Nowe oszacowania nieparzystych wykładników nieskończonych grup Burnside'a” . Materiały Instytutu Matematyki Stiekłowa . 289 (1): 33–71. doi : 10.1134/S0081543815040045 .
SV Iwanow (1994). „Grupy swobodnego Burnside'a o wystarczająco dużych wykładnikach”. International Journal of Algebra and Computation . 04 : 1–308. doi : 10.1142/S0218196794000026 .
SV Iwanow; A. Yu. Ol'Shanskii (1996). „Grupy hiperboliczne i ich iloraz ograniczonych wykładników” . Transakcje Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 348 (6): 2091–2138. doi : 10.1090/S0002-9947-96-01510-3 .
AI Kostrikin (1990) Wokół Burnside . Przetłumaczone z rosyjskiego iz przedmową Jamesa Wiegolda . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Wyniki z matematyki i dziedzin pokrewnych (3)], 20. Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-50602-0 .
IG Łysenok (1996). „Nieskończone grupy Burnside'a o parzystym wykładniku” (po rosyjsku). 60 (3): 3–224. doi : 10.4213/im77 . {{ cite journal }} : Cite journalwymaga |journal= ( pomoc ) Tłumaczenie w Lysënok, IG (1996). „Nieskończone grupy Burnside'a o parzystym wykładniku”. Izwiestija: Matematyka . 60 (3): 453–654. Bibcode : 1996IzMat..60..453L . doi : 10.1070/IM1996v060n03ABEH000077 . S2CID 250838960 .
A. Yu. Ol'shanskii (1989) Geometria definiowania relacji w grupach . Przetłumaczone z rosyjskiego oryginału z 1989 roku przez Yu. A. Bakhturin (1991) Matematyka i jej zastosowania (seria radziecka), 70. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. ISBN 0-7923-1394-1 .
E. Zelmanow (1990). „Rozwiązanie ograniczonego problemu Burnside'a dla grup nieparzystych wykładników” . Izwiestija Rossijska Akademia Nauk. Seriya Matematicheskaya (po rosyjsku). 54 (1): 42–59, 221. Tłumaczenie w Zel'manov, EI (1991). „Rozwiązanie ograniczonego problemu Burnside'a dla grup nieparzystych wykładników”. Matematyka ZSRR-Izwiestija . 36 (1): 41–60. Bibcode : 1991IzMat..36...41Z . doi : 10.1070/IM1991v036n01ABEH001946 . S2CID 39623037 .
E. Zelmanow (1991). „Rozwiązanie ograniczonego problemu Burnside'a dla 2 grup” . Matematicheskii Sbornik (po rosyjsku). 182 (4): 568–592. Tłumaczenie w Zel'manov, EI (1992). „Rozwiązanie ograniczonego problemu Burnside dla 2 grup”. Matematyka ZSRR-Sbornik . 72 (2): 543–565. Bibcode : 1992SbMat..72..543Z . doi : 10.1070/SM1992v072n02ABEH001272 .

Linki zewnętrzne

Historia problemu Burnside'a w archiwum MacTutor History of Mathematics

[Curtis-1] Curtis, Karol; Reinera, Irvinga (1962). Teoria reprezentacji grup skończonych i powiązanych algebr . John Wiley & Synowie. s. 256–262.

[3] John Britton zaproponował prawie 300-stronicowy alternatywny dowód problemu Burnside'a w 1973 roku; jednak Adian ostatecznie wskazał błąd w tym dowodzie.