Twierdzenie Goloda-Szafariewicza
W matematyce twierdzenie Goloda-Szafarevicha zostało udowodnione w 1964 roku przez Jewgienija Goloda i Igora Szafarewicza . Jest to wynik nieprzemiennej algebry homologicznej , który rozwiązuje problem klasowej wieży pola , pokazując, że klasowe wieże pola mogą być nieskończone.
Nierówność
Niech A = K ⟨ x 1 , ..., x n ⟩ będzie algebrą swobodną nad ciałem K w n = d + 1 niekomutujących zmiennych x i .
Niech J będzie dwustronnym ideałem A wygenerowanym przez jednorodne elementy f j z A stopnia d j z
- 2 ≤ re 1 ≤ re 2 ≤ ...
gdzie d j dąży do nieskończoności. Niech r i będzie liczbą d j równą i .
Niech B = A / J , stopniowana algebra . Niech b j = słabe B j .
podstawowa nierówność Goloda i Szafarewicza
W konsekwencji:
- B jest nieskończenie wymiarowe, jeśli r i ≤ d 2 /4 dla wszystkich i
Aplikacje
Wynik ten ma ważne zastosowania w kombinatorycznej teorii grup :
- Jeśli G jest nietrywialną skończoną grupą p , to r > d 2/4 gdzie d = dim H 1 ( G , Z / p Z ) i r = dim H 2 ( G , Z / p Z ) ( kohomologia mod p grupy G ) . W szczególności, jeśli G jest skończoną grupą p przy minimalnej liczbie generatorów d i ma r relatorów w danej prezentacji, to r > d 2 /4.
- Dla każdej liczby pierwszej p istnieje nieskończona grupa G generowana przez trzy elementy, w których każdy element ma rząd potęgi p . Grupa G stanowi kontrprzykład dla uogólnionej hipotezy Burnside'a : jest to skończenie generowana nieskończona grupa skrętna , chociaż nie ma jednolitego ograniczenia kolejności jej elementów.
W teorii pola klas wieża pola klasowego pola liczbowego K jest tworzona przez iterację konstrukcji pola klasy Hilberta . Problem wieży pola klasowego pyta, czy ta wieża jest zawsze skończona; Hasse (1926) przypisał to pytanie Furtwanglerowi, chociaż Furtwangler powiedział, że słyszał to od Schreiera. Inną konsekwencją twierdzenia Goloda-Szafarevicha jest to, że takie wieże mogą być nieskończone (innymi słowy, nie zawsze kończy się na polu równym jego polu klasy Hilberta ). Konkretnie,
- Niech K będzie wyimaginowanym polem kwadratowym, którego wyróżnik ma co najmniej 6 czynników pierwszych. Wtedy maksymalne nierozgałęzione 2-rozszerzenie K ma nieskończony stopień.
Mówiąc bardziej ogólnie, pole liczbowe z wystarczająco wieloma czynnikami pierwszymi w wyróżniku ma nieskończoną klasę pola wieży.
- Golod, Hiszpania ; Shafarevich, IR (1964), „Na wieży polowej klasy”, Izv. Akad. Nauk SSSSR , 28 : 261–272 (po rosyjsku ) MR 0161852
- Golod, ES (1964), „O algebrach zerowych i skończenie przybliżonych grupach p”. Izv. Akad. Nauk SSSSR , 28 : 273–276 (w języku rosyjskim ) MR 0161878
- Herstein, IN (1968). Pierścienie nieprzemienne . Monografie matematyczne Carusa. MAA. ISBN 0-88385-039-7 . Patrz rozdział 8.
- Johnson, DL (1980). „Tematy z teorii prezentacji grupowych” (wyd. 1). Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . ISBN 0-521-23108-6 . Patrz rozdział VI.
- Kocha, Helmut (1997). Algebraiczna teoria liczb . Encykl. Matematyka nauka Tom. 62 (drugi druk pierwszego wyd.). Springer-Verlag . P. 180. ISBN 3-540-63003-1 . Zbl 0819.11044 .
- Narkiewicz, Władysław (2004). Elementarna i analityczna teoria liczb algebraicznych . Monografie Springera z matematyki (wyd. 3). Berlin: Springer-Verlag . P. 194. ISBN 3-540-21902-1 . Zbl 1159.11039 .
- Roquette, Peter (1986) [1967]. „Na wieżach polowych klasy”. W Cassels, JWS ; Fröhlich, A. (red.). Algebraiczna teoria liczb, Materiały z konferencji instruktażowej, która odbyła się na Uniwersytecie Sussex w Brighton, 1–17 września 1965 r. (Przedruk oryginalnego wydania z 1967 r.). Londyn: Prasa Akademicka . s. 231–249. ISBN 0-12-163251-2 .
- Serre, J.-P. (2002), "Galois Cohomology", Springer-Verlag . ISBN 3-540-42192-0 . Patrz Dodatek 2. (Tłumaczenie Cohomologie Galoisienne , Lecture Notes in Mathematics 5 , 1973.)