Teoria pola klas

W matematyce klasowa teoria pola ( CFT ) jest podstawową gałęzią algebraicznej teorii liczb , której celem jest opisanie wszystkich abelowych rozszerzeń Galois lokalnych i globalnych pól za pomocą obiektów powiązanych z polem podstawowym.

Hilbert jest uznawany za jednego z pionierów pojęcia pola klasowego. Jednak pojęcie to było już znane Kroneckerowi i właściwie to Weber ukuł ten termin, zanim ukazały się podstawowe artykuły Hilberta. Odpowiednie idee rozwinęły się w okresie kilkudziesięciu lat, dając początek zestawowi przypuszczeń Hilberta, które zostały następnie udowodnione przez Takagiego i Artina (przy pomocy twierdzenia Czebotariewa).

Jednym z głównych wyników jest: biorąc pod uwagę pole liczbowe F i zapisując K dla maksymalnego abelowego nierozgałęzionego rozszerzenia F , grupa Galois K nad F jest kanonicznie izomorficzna z idealną grupą klasową F . Stwierdzenie to zostało uogólnione na tzw. prawo wzajemności Artina ; w idelicznym języku, pisząc CF _F dla bezczynnej grupy klasowej F i przyjmując L jako dowolne skończone abelowe rozszerzenie , to prawo daje kanoniczny izomorfizm

{\ Displaystyle \ theta _ {L/F}: C_ {F} / {N_ {L/F} ( C_{L})}\do \operatorname {Gal} (L/F),}

gdzie $oznacza$ ideliczną mapę od do _ Ten izomorfizm nazywa się mapą wzajemności .

Twierdzenie o istnieniu mówi, że mapa wzajemności może być wykorzystana do ${\ Displaystyle C_ {F}.}$ bijekcji między zbiorem abelowych rozszerzeń F a zbiorem zamkniętych podgrup o skończonym indeksie

Standardową metodą rozwijania teorii pola klas globalnych od lat trzydziestych XX wieku było konstruowanie teorii pola klas lokalnych , która opisuje abelowe rozszerzenia pól lokalnych, a następnie wykorzystywanie jej do konstruowania teorii pola klas globalnych. Po raz pierwszy dokonali tego Emil Artin i Tate , wykorzystując teorię kohomologii grupowej , aw szczególności rozwijając pojęcie formacji klasowych. Później Neukirch znalazł dowód głównych twierdzeń teorii pola klas globalnych bez użycia idei kohomologicznych. Jego metoda była jawna i algorytmiczna.

Wewnątrz teorii pola klas wyróżnia się teorię pola klas specjalnych i teorię pola klas ogólnych.

Jawna teoria pola klas zapewnia jawną konstrukcję maksymalnych rozszerzeń abelowych pola liczbowego w różnych sytuacjach. Ta część teorii składa się z twierdzenia Kroneckera-Webera , którego można użyć do skonstruowania abelowych rozszerzeń $pól$ , oraz teorii mnożenia zespolonego do skonstruowania abelowych rozszerzeń pól CM .

Istnieją trzy główne uogólnienia teorii pola klas: teoria pola klas wyższych, program Langlandsa (lub „korespondencje Langlandsa”) i geometria anabelowa .

Sformułowanie we współczesnym języku

We współczesnym języku matematycznym teorię pola klas (CFT) można sformułować w następujący sposób. Rozważmy maksymalne rozszerzenie abelowe A lokalnego lub globalnego pola K . Ma nieskończony stopień nad K ; grupa Galois G z A nad K jest nieskończoną grupą profinite , więc zwartą grupą topologiczną , i jest abelowa. Głównymi celami teorii pola klas są: opisanie G w kategoriach pewnych odpowiednich obiektów topologicznych powiązanych z K , opisanie skończonych abelowych rozszerzeń K w terminach otwartych podgrup o skończonym indeksie w obiekcie topologicznym związanym z K . W szczególności chce się ustalić zgodność jeden do jednego między skończonymi abelowymi rozszerzeniami K i ich grupami norm w tym obiekcie topologicznym dla K . Ten obiekt topologiczny jest grupą multiplikatywną w przypadku ciał lokalnych o skończonym polu resztkowym oraz grupą bezklasową w przypadku ciał globalnych. Skończone rozszerzenie abelowe odpowiadające otwartej podgrupie o skończonym indeksie nazywane jest polem klasowym dla tej podgrupy, która nadała nazwę teorii.

Podstawowy wynik ogólnej teorii pola klas stwierdza, że grupa G jest naturalnie izomorficzna z skończonym uzupełnieniem C K _, multiplikatywną grupą pola lokalnego lub bezczynną grupą klas pola globalnego, w odniesieniu do naturalnej topologii na C _K związane ze specyficzną strukturą pola K . Równoważnie, dla dowolnego skończonego rozszerzenia Galois L z K , istnieje izomorfizm ( mapa wzajemności Artina )

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {Gal} (L / K) ^ {\ nazwa operatora {ab}} \ do C_ {K} / N_ { L/K}(C_{L})}

abelianizacji grupy Galois rozszerzenia z ilorazem bezczynnej grupy klasowej K przez obraz normy bezczynnej grupy klasowej L .

W przypadku niektórych małych pól, takich jak pole liczb wymiernych lub jego kwadratowe urojone rozszerzenia $,$ istnieje bardziej szczegółowa, bardzo wyraźna, ale zbyt szczegółowa , która dostarcza więcej informacji. Na przykład abelianizowana absolutna grupa Galois G z jest (naturalnie izomorficzna z) nieskończonym iloczynem grupy jednostek p -adycznych liczb całkowitych $przez$ wszystkie liczby pierwsze p i odpowiadające im maksymalne abelowe rozszerzenie wymiernych jest polem generowanym przez wszystkie pierwiastki jedności. Jest to znane jako twierdzenie Kroneckera-Webera , pierwotnie przypuszczane przez Leopolda Kroneckera . W tym przypadku izomorfizm wzajemności teorii pola klas (lub mapa wzajemności Artina) również dopuszcza wyraźny opis dzięki twierdzeniu Kroneckera – Webera . Jednak głównych konstrukcji takich bardziej szczegółowych teorii dla małych pól liczb algebraicznych nie można rozszerzyć na ogólny przypadek pól liczb algebraicznych, aw ogólnej teorii pola klas stosuje się różne zasady pojęciowe.

Standardową metodą konstruowania homomorfizmu wzajemności jest najpierw skonstruowanie lokalnego izomorfizmu wzajemności z multiplikatywnej grupy uzupełnienia pola globalnego do grupy Galois jej maksymalnego rozszerzenia abelowego (odbywa się to w teorii pola klas lokalnych), a następnie udowodnić, że iloczyn wszystkich takich lokalnych map wzajemności zdefiniowany na bezczynnej grupie globalnego pola jest trywialny na obrazie multiplikatywnej grupy globalnego pola. Ta ostatnia właściwość nazywana jest globalnym prawem wzajemności i jest daleko idącym uogólnieniem kwadratowego prawa wzajemności Gaussa .

Jedna z metod konstruowania homomorfizmu wzajemności wykorzystuje formowanie klas , które wyprowadza teorię pola klas z aksjomatów teorii pola klas. To wyprowadzenie jest czysto topologiczną teorią grupową, podczas gdy do ustalenia aksjomatów trzeba posłużyć się pierścieniową strukturą pola podstawowego.

Istnieją metody, które wykorzystują grupy kohomologiczne, w szczególności grupę Brauera, i są metody, które nie wykorzystują grup kohomologicznych i są bardzo jednoznaczne i owocne w zastosowaniach.

Historia

Początki teorii pola klas leżą w kwadratowym prawie wzajemności udowodnionym przez Gaussa. Uogólnienie odbyło się jako długoterminowy projekt historyczny, obejmujący formy kwadratowe i ich „ teorię rodzaju ”, prace Ernsta Kummera i Leopolda Kroneckera/ Kurta Hensla nad ideałami i uzupełnieniami, teorię cyklotomii i rozszerzeń Kummera .

Pierwsze dwie teorie pola klas były bardzo wyraźnymi teoriami pola cyklotomii i złożonego mnożenia klas. Stosowali dodatkowe konstrukcje: w przypadku ciała liczb wymiernych pierwiastki jedności, w przypadku wyimaginowanych rozszerzeń kwadratowych ciała liczb wymiernych krzywe eliptyczne z mnożeniem zespolonym i ich punktami skończonego rzędu. Znacznie później teoria Shimury dostarczyła innej, bardzo wyraźnej teorii pola klas dla klasy algebraicznych pól liczbowych. W pozytywnej charakterystyce $homomorfizmu$ Kawada i Satake wykorzystali dwoistość Witta, aby uzyskać bardzo łatwy opis - $wzajemności$ .

Jednak te bardzo wyraźne teorie nie mogły zostać rozszerzone na bardziej ogólne pola liczbowe. Ogólna teoria pola klas wykorzystywała różne koncepcje i konstrukcje, które działają na każdym globalnym polu.

Słynne problemy Davida Hilberta pobudziły dalszy rozwój, który doprowadził do powstania praw wzajemności oraz dowodów Teiji Takagi , Phillipa Furtwänglera , Emila Artina , Helmuta Hassego i wielu innych. Kluczowe twierdzenie Takagiego o istnieniu było znane do 1920 r., a wszystkie główne wyniki do około 1930 r. Jedną z ostatnich klasycznych hipotez, które zostały udowodnione, była własność pryncypializacji . Pierwsze dowody teorii pola klas wykorzystywały istotne metody analityczne. W latach trzydziestych XX wieku coraz częściej stosowano nieskończone rozszerzenia i Wolfganga Krulla dotyczącą ich grup Galois. To w połączeniu z dualnością Pontriagina dało jaśniejsze, choć bardziej abstrakcyjne sformułowanie głównego wyniku, prawa wzajemności Artina . Ważnym krokiem było wprowadzenie ideli przez Claude'a Chevalleya w latach trzydziestych XX wieku w celu zastąpienia klas idealnych, zasadniczo wyjaśniając i upraszczając opis abelowych rozszerzeń pól globalnych. Większość centralnych wyników została udowodniona do 1940 roku.

Później wyniki zostały przeformułowane w kategoriach kohomologii grupowej , która stała się standardowym sposobem uczenia się teorii pola klas dla kilku pokoleń teoretyków liczb. Wadą metody kohomologicznej jest jej względna niejasność. W wyniku lokalnego wkładu Bernarda Dworka , Johna Tate'a , Michiela Hazewinkela oraz lokalnej i globalnej reinterpretacji dokonanej przez Jürgena Neukircha , a także w związku z pracą wielu matematyków nad jawnymi formułami wzajemności, bardzo wyraźna i pozbawiona kohomologii prezentacja pola klas Teoria powstała w latach 90. (Patrz np. Class Field Theory autorstwa Neukircha).

Aplikacje

Teoria pola klas jest używana do udowodnienia dualności Artina-Verdiera . Bardzo wyraźna teoria pola klas jest stosowana w wielu poddziedzinach algebraicznej teorii liczb, takich jak teoria Iwasawy i teoria modułów Galois.

Większość głównych osiągnięć w zakresie zgodności Langlandsa dla pól liczbowych, hipotezy BSD dla pól liczbowych i teorii Iwasawy dla pól liczbowych wykorzystuje bardzo wyraźne, ale wąskie metody teorii pola klas lub ich uogólnienia. Otwartą kwestią jest zatem wykorzystanie uogólnień ogólnej teorii pola klas w tych trzech kierunkach.

Uogólnienia teorii pola klas

Istnieją trzy główne uogólnienia, z których każdy jest bardzo interesujący. Są to: program Langlandsa , geometria anabelowa i teoria pola wyższych klas.

Często korespondencja Langlandsa jest postrzegana jako nieabelowa teoria pola klas. Jeśli i kiedy zostanie w pełni ustalony, będzie zawierał pewną teorię nieabelowych rozszerzeń pól globalnych Galois. Jednak korespondencja Langlandsa nie zawiera tak wielu informacji arytmetycznych o skończonych rozszerzeniach Galois, jak teoria pola klas w przypadku abelowym. Nie zawiera również odpowiednika twierdzenia o istnieniu w teorii pól klas: pojęcie pól klas nie występuje w korespondencji Langlandsa. Istnieje kilka innych teorii nieabelowych, lokalnych i globalnych, które stanowią alternatywę dla korespondencyjnego punktu widzenia Langlandsa.

Innym uogólnieniem teorii pola klas jest geometria anabelowa , która bada algorytmy przywracania pierwotnego obiektu (np. pola liczbowego lub nad nim krzywej hiperbolicznej) na podstawie znajomości jego pełnej absolutnej grupy Galois lub algebraicznej grupy podstawowej .

Innym naturalnym uogólnieniem jest teoria pola wyższych klas, podzielona na teorię pól wyższych klas lokalnych i teorię pól wyższych klas globalnych . Opisuje abelowe rozszerzenia wyższych pól lokalnych i wyższych pól globalnych. Te ostatnie występują jako pola funkcyjne schematów typu skończonego na liczbach całkowitych oraz ich odpowiednich lokalizacjach i uzupełnieniach. Wykorzystuje algebraiczną teorię K , a odpowiednie grupy K Milnora uogólniają $.$ jednowymiarowej teorii pola klas

Zobacz też

Cytaty

Artin, Emil ; Tate, John (1990), teoria pola klas , Redwood City, Kalifornia: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-51011-9
Cassels, JWS ; Fröhlich, Albrecht , wyd. (1967), algebraiczna teoria liczb , Academic Press , Zbl 0153.07403
Conrad, Keith, Historia teorii pola klas. (PDF)
Fesenko, Iwan B. Wostokow, Siergiej V. (2002), Pola lokalne i ich rozszerzenia , Tłumaczenia monografii matematycznych, tom. 121 (wydanie drugie), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3259-2 , MR 1915966
Graś, Georges (2003). Teoria pola klas: od teorii do praktyki . Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-44133-5 .
Iwasawa, Kenkichi (1986), Teoria pola klas lokalnych , Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-504030-2 , MR 0863740 , Zbl 0604.12014
Kawada, Yukiyosi (1955), „formacje klasowe”, Duke Math. J. , 22 (2): 165–177, doi : 10.1215/s0012-7094-55-02217-1 , Zbl 0067.01904
Kawada, Yukiyosi; Satake, I. (1956), "Formacje klasowe. II", J.Fac. Nauka Uniw. sekta tokijska. 1A , 7 : 353–389, Zbl 0101.02902
Milne, James S. (2020), Teoria pola klas (wyd. 4.03)
Neukirch, Jürgen (1986), Class Field Theory , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-15251-4
Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Tom. 322. Berlin: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8 . MR 1697859 . Zbl 0956.11021 .