Twierdzenie o istnieniu Takagiego
W teorii pola klas twierdzenie Takagi o istnieniu stwierdza, że dla dowolnego pola liczbowego K istnieje inkluzja jeden do jednego odwracająca zgodność między skończonymi abelowymi rozszerzeniami K (w ustalonym domknięciu algebraicznym K ) a uogólnionymi idealnymi grupami klas zdefiniowanymi przez moduł K . _
Nazywa się to twierdzeniem o istnieniu , ponieważ głównym ciężarem dowodu jest wykazanie istnienia wystarczającej liczby rozszerzeń abelowych K .
Sformułowanie
Tutaj moduł (lub dzielnik promienia ) jest formalnie skończonym iloczynem wartościowań ( zwanych także liczbami pierwszymi lub miejscami ) K z dodatnimi wykładnikami całkowitymi. Wyceny archimedesowe, które mogą pojawić się w module, obejmują tylko te, których uzupełnieniami są liczby rzeczywiste (nie liczby zespolone); można je utożsamiać z porządkami na K i występują tylko na wykładniku jeden.
Moduł m jest iloczynem części niearchimedesowej (skończonej) m f i części archimedesowej (nieskończonej) m ∞ . Niearchimedesowa część m f jest niezerowym ideałem w pierścieniu liczb całkowitych O K z K , a część archimedesowa m ∞ jest po prostu zbiorem rzeczywistych zanurzeń K . Z takim modułem m związane są dwie grupy ideałów ułamkowych . Większy, ja m , jest grupą wszystkich ideałów ułamkowych względnie pierwszych względem m (co oznacza, że te ideały ułamkowe nie obejmują żadnego ideału pierwszego występującego w m f ). Mniejszy, P m , to grupa głównych ideałów ułamkowych ( u / v ), gdzie u i v są niezerowymi elementami O K , które są pierwsze względem m f , u ≡ v mod m f , oraz u / v > 0 w każdym z rzędów m ∞ . (Ważne jest tutaj, że w P m wszystko, czego wymagamy, to aby jakiś generator ideału miał wskazaną postać. Jeśli jeden ma, inne mogą nie. Na przykład, biorąc K za liczby wymierne, ideał (3) leży w P 4 , ponieważ (3) = (−3) i −3 spełnia warunki konieczne, ale (3) nie występuje w P 4∞ , ponieważ tutaj wymagane jest, aby dodatni generator ideału wynosił 1 mod 4, co nie jest tak.) Dla dowolnej grupy H leżący pomiędzy Im i Pm , iloraz Im / H nazywany jest uogólnioną idealną grupą klasową .
To właśnie te uogólnione idealne grupy klas odpowiadają abelowym rozszerzeniom K przez twierdzenie o istnieniu iw rzeczywistości są grupami Galois tych rozszerzeń. To, że uogólnione idealne grupy klas są skończone, jest udowodnione w ten sam sposób, co dowód, że zwykła idealna grupa klas jest skończona, na długo przed poznaniem, że są to grupy Galois skończonych abelowych rozszerzeń pola liczbowego.
Dobrze zdefiniowana korespondencja
Ściśle mówiąc, zgodność między skończonymi abelowymi rozszerzeniami K a uogólnionymi grupami klas idealnych nie jest do końca jeden do jednego. Uogólnione idealne grupy klas zdefiniowane względem różnych modułów mogą prowadzić do tego samego abelowego rozszerzenia K , co jest skodyfikowane a priori w nieco skomplikowanej relacji równoważności uogólnionych idealnych grup klas.
Mówiąc konkretnie, dla abelowych rozszerzeń L liczb wymiernych odpowiada to faktowi, że abelowe rozszerzenie liczb wymiernych leżących w jednym polu cyklotomicznym leży również w nieskończenie wielu innych polach cyklotomicznych, a dla każdego takiego nadpola cyklotomicznego otrzymuje się z teorii Galois podgrupa grupy Galois odpowiadająca temu samemu polu L .
W idelicznym sformułowaniu teorii pola klas uzyskuje się precyzyjną zgodność jeden do jednego między rozszerzeniami abelowymi a odpowiednimi grupami ideli , gdzie równoważne uogólnione idealne grupy klas w języku teorii ideałów odpowiadają tej samej grupie ideli.
Wcześniejsza praca
Szczególnym przypadkiem twierdzenia o istnieniu jest sytuacja, gdy m = 1 i H = P 1 . W tym przypadku uogólniona idealna grupa klasowa jest idealną grupą klasową K , a twierdzenie o istnieniu mówi, że istnieje unikalne rozszerzenie abelowe L / K z grupą Galois izomorficzną z idealną grupą klasową K taką, że L jest nierozgałęziona we wszystkich miejscach K. _ To rozszerzenie nazywa się Pole klasy Hilberta . David Hilbert przypuszczał, że istnieje, a istnienie w tym szczególnym przypadku zostało udowodnione przez Furtwänglera w 1907 r., Przed ogólnym twierdzeniem o istnieniu Takagiego.
Kolejną i szczególną właściwością pola klasy Hilberta, która nie jest prawdziwa w przypadku mniejszych abelowych rozszerzeń pola liczbowego, jest to, że wszystkie ideały w polu liczbowym stają się głównymi w polu klasy Hilberta. Wymagało to od Artina i Furtwänglera udowodnienia, że zachodzi pryncypializacja.
Historia
Twierdzenie o istnieniu pochodzi od Takagiego , który udowodnił je w Japonii w odosobnionych latach I wojny światowej . Przedstawił ją na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w 1920 roku, co doprowadziło do rozwoju klasycznej teorii klasowej teorii pola w latach dwudziestych XX wieku. Na prośbę Hilberta artykuł został opublikowany w Mathematische Annalen w 1925 roku.
Zobacz też
- Helmut Hasse , Historia teorii pola klas , s. 266–279 w Algebraic Number Theory , wyd. JWS Cassels i A. Fröhlich , Academic Press 1967. (Zobacz także bogatą bibliografię dołączoną do artykułu Hassego).