Formacja klasowa

W matematyce formacja klasowa to grupa topologiczna działająca na module spełniającym określone warunki. Formacje klasowe zostały wprowadzone przez Emila Artina i Johna Tate'a w celu zorganizowania różnych grup i modułów Galois , które pojawiają się w teorii pola klas .

Definicje

Formacja to topologiczna grupa G wraz z topologicznym G -modułem A , na który G działa w sposób ciągły.

Warstwa E / F formacji jest parą otwartych podgrup E , F z G takich, że F jest podgrupą E o skończonym indeksie . Nazywa się to warstwą normalną , jeśli F jest podgrupą normalną E , a warstwą cykliczną , jeśli dodatkowo grupa ilorazowa jest cykliczna. Jeśli E jest podgrupą G , to A ^E jest zdefiniowane jako elementy A ustalone przez E . Piszemy

H ⁿ ( mi / fa )

dla grupy kohomologii Tate H ⁿ ( E / F , AF ) zawsze, gdy ^E / F jest warstwą normalną. (Niektórzy autorzy myślą o E i F jako o stałych ciałach, a nie o podgrupach G , więc zapisz F / E zamiast E / F .) W zastosowaniach G jest często absolutną grupą Galois ciała, aw szczególności jest określoną i otwarte podgrupy odpowiadają zatem skończonym rozszerzeniom pola zawartym w pewnym ustalonym, rozdzielnym zamknięciu.

Formacja klasowa to formacja taka, że ​​dla każdej normalnej warstwy E / F

H ¹ ( E / F ) jest trywialny, a

H ² ( E / F ) jest cykliczny rzędu | E / F |.

W praktyce te grupy cykliczne są wyposażone w generatory kanoniczne u _{E / F} ∈ H ² ( E / F ), zwane klasami podstawowymi , które są ze sobą kompatybilne w tym sensie, że ograniczenie (klas kohomologii) klasy podstawowej jest kolejna podstawowa klasa. Często podstawowe klasy są uważane za część struktury formacji klasowej.

Formacja, która spełnia tylko warunek H1 ( E / F )=1, jest czasami nazywana ^formacją polową . Na przykład, jeśli G jest dowolną skończoną grupą działającą na polu L i A=L ^× , to jest to formacja pola według twierdzenia Hilberta 90 .

Przykłady

Najważniejsze przykłady formacji klas (ułożonych z grubsza według stopnia trudności) są następujące:

• Teoria pola lokalnych klas Archimedesa : moduł A to grupa niezerowych liczb zespolonych, a G jest albo trywialna, albo cykliczna grupa rzędu 2 generowana przez koniugację zespoloną.
• Ciała skończone: Moduł A to liczby całkowite (z trywialnym działaniem G ), a G to bezwzględna grupa Galois ciała skończonego, która jest izomorficzna z skończonym uzupełnieniem liczb całkowitych.
• Teoria pola klas lokalnych o charakterystyce p > 0: Moduł A jest rozdzielnym domknięciem algebraicznym pola formalnego szeregu Laurenta na ciele skończonym, a G jest grupą Galois.
• Niearchimedesowa teoria pola klasy lokalnej o charakterystyce 0: Moduł A jest algebraicznym domknięciem ciała o liczbach p -adycznych, a G jest grupą Galois.
• Teoria pola klas globalnych o charakterystyce p > 0: moduł A jest sumą grup bezczynnych klas rozdzielnych skończonych rozszerzeń pewnego pola funkcyjnego na ciele skończonym, a G to grupa Galois.
• Teoria pola klas globalnych o charakterystyce 0: Moduł A jest sumą grup bezczynnych klas algebraicznych pól liczbowych, a G jest grupą Galois liczb wymiernych (lub jakimś algebraicznym polem liczbowym) działającym na A .

Łatwo jest zweryfikować właściwość tworzenia klas dla przypadku pola skończonego i przypadku pola lokalnego Archimedesa, ale pozostałe przypadki są trudniejsze. Większość ciężkiej pracy teorii pola klas polega na udowodnieniu, że rzeczywiście są to formacje klasowe. Odbywa się to w kilku krokach, jak opisano w poniższych sekcjach.

Pierwsza nierówność

pierwsza nierówność teorii pola klas

⁰ | H ( mi / fa )| ≥ | E / F |

dla warstw cyklicznych E / F . Zwykle dowodzi się tego za pomocą własności ilorazu Herbranda w dokładniejszej postaci

⁰ | H ( mi / fa )| = | E / F |×| H ¹ ( mi / fa )|.

Jest to dość proste do udowodnienia, ponieważ iloraz Herbranda jest łatwy do obliczenia, ponieważ jest multiplikatywny dla krótkich dokładnych ciągów i wynosi 1 dla skończonych modułów.

Przed około 1950 rokiem pierwsza nierówność była znana jako druga nierówność i odwrotnie.

Druga nierówność

Stwierdza to druga nierówność teorii pola klas

⁰ | H ( mi / fa )| ≤ | E / F |

dla wszystkich normalnych warstw E / F .

Dla pól lokalnych ta nierówność łatwo wynika z twierdzenia Hilberta 90 wraz z pierwszą nierównością i niektórymi podstawowymi własnościami kohomologii grupowej.

⁰⁰⁰ Druga nierówność została po raz pierwszy udowodniona dla pól globalnych przez Webera przy użyciu właściwości szeregu L pól liczbowych w następujący sposób. Załóżmy, że warstwa E / F odpowiada rozszerzeniu k ⊂ K globalnych pól. Badając funkcję zeta Dedekinda K , można wykazać, że liczby pierwsze stopnia 1 K mają gęstość Dirichleta określoną przez rząd bieguna przy s = 1, czyli 1 (Gdy K jest liczbami wymiernymi, jest to zasadniczo dowód Eulera, że ​​istnieją nieskończenie wiele liczb pierwszych przy użyciu bieguna w s = 1 funkcji zeta Riemanna .) Ponieważ każda liczba pierwsza w k , która jest normą, jest iloczynem deg ( K / k ) = | E / F | różne liczby pierwsze stopnia 1 K , to pokazuje, że zbiór liczb pierwszych k , które są normami, ma gęstość 1/| E / F |. Z drugiej strony, badając serię L znaków Dirichleta grupy H ( E / F ), można wykazać, że gęstość Dirichleta liczb pierwszych k reprezentujących trywialny element tej grupy ma gęstość 1/| H ( mi / fa )|. (Ta część dowodu jest uogólnieniem dowodu Dirichleta, że ​​w ciągach arytmetycznych jest nieskończenie wiele liczb pierwszych.) Ale liczba pierwsza reprezentuje trywialny element grupy H ( E / F ), jeśli jest równa normie modulo głównych ideałów, więc ten zbiór jest co najmniej tak gęsty jak zbiór liczb pierwszych, które są normami. Więc

⁰ 1/| H ( mi / fa )| ≥ 1/| E / F |

co jest drugą nierównością.

W 1940 roku Chevalley znalazł czysto algebraiczny dowód drugiej nierówności, ale jest on dłuższy i trudniejszy niż oryginalny dowód Webera. Przed około 1950 rokiem druga nierówność była znana jako pierwsza nierówność; nazwa została zmieniona, ponieważ algebraiczny dowód Chevalleya wykorzystuje pierwszą nierówność.

⁰ Takagi zdefiniował pole klasy jako pole, w którym równość zachodzi w drugiej nierówności. Zgodnie z poniższym izomorfizmem Artina, H ( E / F ) jest izomorficzne z abelianizacją E / F , więc równość w drugiej nierówności zachodzi dokładnie dla rozszerzeń abelowych, a pola klas są takie same jak rozszerzenia abelowe.

Pierwszą i drugą nierówność można połączyć w następujący sposób. W przypadku warstw cyklicznych dowodzą tego dwie nierówności razem

⁰ H ¹ ( mi / fa )| E / F | = H. ( mi / fa ) ≤ | E / F |

Więc

⁰ H. ( mi / fa ) = | E / F |

I

H. ¹ ( mi / fa ) = 1.

Teraz podstawowe twierdzenie o grupach kohomologicznych pokazuje, że ponieważ H ¹ ( E / F ) = 1 dla wszystkich warstw cyklicznych, mamy

H. ¹ ( mi / fa ) = 1

dla wszystkich normalnych warstw (więc w szczególności formacja jest formacją polową). Ten dowód, że H ¹ ( E / F ) jest zawsze trywialny, jest raczej okrężny; nie jest znany żaden „bezpośredni” dowód na to (cokolwiek to oznacza) dla pól globalnych. (Dla ciał lokalnych zanikanie H ¹ ( E / F ) to po prostu twierdzenie Hilberta 90.)

⁰ Dla grupy cyklicznej H jest tym samym co H ² , więc H ² ( E / F ) = | E / F | dla wszystkich warstw cyklicznych. Inne twierdzenie kohomologii grup pokazuje, że skoro H ¹ ( E / F ) = 1 dla wszystkich normalnych warstw i H ² ( E / F ) ≤ | E / F | dla wszystkich warstw cyklicznych mamy

H ² ( mi / fa )≤ | E / F |

dla wszystkich normalnych warstw. (W rzeczywistości równość dotyczy wszystkich normalnych warstw, ale wymaga to więcej pracy; zobacz następną sekcję).

Grupa Brauera

Grupy Brauera H ² ( E / * ) formacji klasy są zdefiniowane jako bezpośrednia granica grup H ² ( E / F ), ponieważ F przebiega przez wszystkie otwarte podgrupy E . Prostą konsekwencją zaniku H ^{1 dla wszystkich warstw jest to, że} wszystkie grupy H ² ( E / F ) są podgrupami grupy Brauera. W teorii pola klas lokalnych grupy Brauera są tym samym, co grupy pól Brauera , ale w teorii pola klas globalnych grupa Brauera formacji nie jest grupą Brauera odpowiedniego pola globalnego (chociaż są one powiązane).

Następnym krokiem jest udowodnienie, że H ² ( E / F ) jest cykliczny rzędu dokładnie | E / F |; z poprzedniego podrozdziału wynika, że ​​ma co najwyżej ten porządek, więc wystarczy znaleźć jakiś element porządku | E / F | w H ² ( E / F ).

Dowód dowolnych rozszerzeń wykorzystuje homomorfizm z grupy G na skończone dopełnienie liczb całkowitych z jądrem G _∞ , czyli innymi słowy zgodny ciąg homomorfizmów G na grupy cykliczne rzędu n dla wszystkich n , z jądrami G _n . Te homomorfizmy są konstruowane przy użyciu cyklicznych cyklotomicznych rozszerzeń pól; dla ciał skończonych są one podane przez domknięcie algebraiczne, dla ciał lokalnych niearchimedesowych przez maksymalne nierozgałęzione rozszerzenia, a dla ciał globalnych są nieco bardziej skomplikowane. _mają one tę właściwość, że H ² ( G / Gn ) jest cykliczne rzędu n , z generatorem kanonicznym. Wynika z tego, że dla dowolnej warstwy E grupa H ² ( E / E ∩ G _∞ ) jest kanonicznie izomorficzna z Q / Z . Ten pomysł wykorzystania pierwiastków jedności został wprowadzony przez Czebotariewa w jego dowodzie twierdzenia o gęstości Czebotariewa , a wkrótce potem wykorzystany przez Artina do udowodnienia jego twierdzenia o wzajemności.

Dla ogólnych warstw E , F istnieje dokładna sekwencja

${\ Displaystyle 0 \ rightarrow H ^ { 2}(E/F)\cap H^{2}(E/E\cap G_{\infty })\rightarrow H^{2}(E/E\cap G_{\infty })\rightarrow H^{ 2}(F/F\cap G_{\infty})}$

Dwie ostatnie grupy w tej sekwencji można zidentyfikować za pomocą Q / Z , a mapa między nimi jest następnie mnożona przez | E / F |. Zatem pierwsza grupa jest kanonicznie izomorficzna z Z / nZ . Ponieważ H ² ( E / F ) ma rząd co najwyżej Z / n Z musi być równe Z / n Z (a zwłaszcza mieści się w grupie środkowej)).

Pokazuje to , że druga grupa kohomologiczna H ² ( E / F ) dowolnej warstwy jest cykliczna rzędu | E / F |, co kończy weryfikację aksjomatów formacji klasowej. Przy odrobinie większej staranności w dowodach otrzymujemy kanoniczny generator H ² ( E / F ), zwany klasą podstawową .

Wynika z tego, że grupa Brauera H ² ( E /*) jest (kanonicznie) izomorficzna z grupą Q / Z , z wyjątkiem przypadku lokalnych pól archimedesowych R i C , gdy ma rząd 2 lub 1.

Twierdzenie Tate'a i mapa Artina

Twierdzenie Tate'a w kohomologii grupowej jest następujące. Załóżmy, że A jest modułem nad skończoną grupą G i a jest elementem H ² ( G , A ), takim, że dla każdej podgrupy E z G

• H ¹ ( E , A ) jest trywialne i
• H ² ( E , A ) jest generowany przez Res(a), który ma rząd E .

Wtedy iloczyn kubka z a jest izomorfizmem

• H ⁿ ( sol , Z ) → H. ^{n +2} ( sol , ZA ).

Jeśli zastosujemy przypadek n = −2 twierdzenia Tate'a do formacji klasowej, stwierdzimy, że istnieje izomorfizm

• ⁰ H. ^-2 ( mi / fa , Z ) → H. ( mi / fa , ZA ^fa )

⁰ dla dowolnej normalnej warstwy E / F . Grupa H ⁻² ( E / F , Z ) ^jest po prostu abelianizacją E / F ^, a grupa H ( E / F , AF ) jest A ^E modulo grupą norm AF . Innymi słowy, mamy wyraźny opis abelianizacji grupy Galois E / F w terminach A ^E .

Biorąc odwrotność tego izomorfizmu, otrzymujemy homomorfizm

ZA ^E → abelianizacja E / F ,

a przejęcie granicy przez wszystkie otwarte podgrupy F daje homomorfizm

A ^E → abelianizacja E ,

zwana mapą Artina . Mapa Artina niekoniecznie jest suriekcją, ale ma gęsty obraz. Dzięki twierdzeniu o istnieniu poniżej jej jądra jest spójny składnik A ^E (dla klasowej teorii pola), który jest trywialny dla klasowej teorii pola niearchimedesowych pól lokalnych i dla pól funkcyjnych, ale jest nietrywialny dla archimedesowych lokalnych pól i liczb pola.

Twierdzenie o istnieniu Takagiego

Głównym pozostałym twierdzeniem teorii pola klas jest twierdzenie Takagiego o istnieniu , które stwierdza, że ​​​​każda podgrupa domknięta indeksem skończonym bezczynnej grupy klas jest grupą norm odpowiadającą pewnemu rozszerzeniu abelowemu. Klasycznym sposobem udowodnienia tego jest skonstruowanie pewnych rozszerzeń z małymi grupami norm, najpierw dodając wiele pierwiastków jedności, a następnie biorąc rozszerzenia Kummera i rozszerzenia Artina – Schreiera . Te rozszerzenia mogą być nieabelowe (chociaż są rozszerzeniami grup abelowych o grupy abelowe); jednak nie ma to tak naprawdę znaczenia, ponieważ grupa norm nieabelowego rozszerzenia Galois jest taka sama jak jego maksymalnego rozszerzenia abelowego (można to pokazać za pomocą tego, co już wiemy o polach klas). Daje to wystarczającą liczbę (abelowych) rozszerzeń, aby pokazać, że istnieje rozszerzenie abelowe odpowiadające dowolnej podgrupie o skończonym indeksie bezczynnej grupy klas.

Konsekwencją jest to, że jądro mapy Artina jest połączonym składnikiem tożsamości bezczynnej grupy klas, tak że abelianizacja grupy Galois z F jest skończonym uzupełnieniem bezczynnej grupy klas.

W przypadku teorii pola klas lokalnych możliwe jest również bardziej jawne skonstruowanie rozszerzeń abelowych przy użyciu formalnych praw grupowych Lubina-Tate'a . W przypadku ciał globalnych rozszerzenia abelowe można w niektórych przypadkach skonstruować jawnie: na przykład rozszerzenia abelowe wymiernych można skonstruować za pomocą pierwiastków jedności, a rozszerzenia abelowe kwadratowych pól urojonych można skonstruować za pomocą funkcji eliptycznych, ale znalezienie analogia tego dla dowolnych pól globalnych jest nierozwiązanym problemem.

Grupa Weila

Główny artykuł: grupa Weil

To nie jest grupa Weyl i nie ma żadnego związku z grupą Weil-Châtelet ani grupą Mordell-Weil

Grupa Weila formacji klasowej z podstawowymi klasami ^{u E / F ∈ H 2 ( E / F , AF} ) _{jest rodzajem zmodyfikowanej} grupy Galois ^, wprowadzonej przez Weila ( 1951 ) i stosowanej w różnych sformułowaniach teorii pola klas oraz w szczególności w programie Langlands .

Jeśli E / F jest normalną warstwą, to grupa Weila U z E / F jest rozszerzeniem

1 → ZA ^F → U → E / F → 1

^{odpowiadające} podstawowej klasie u _{E / F} w H ² ( E / F , AF ). Grupa Weila całej formacji jest zdefiniowana jako odwrotna granica grup Weila wszystkich warstw G / F , dla F jest otwartą podgrupą G.

Mapa wzajemności tworzenia klas ( AG ^G , A ) indukuje izomorfizm od do abelianizacji grupy Weila.

Zobacz też

• Rozszerzenie abelowe
• Funkcja L Artina
• Wzajemność Artina
• Teoria pola klas
• Złożone mnożenie
• Kohomologia Galois
• Twierdzenie o normach Hassego
• iloraz Herbranda
• Pole klasy Hilberta
• Twierdzenie Kroneckera-Webera
• Teoria pola klas lokalnych
• Twierdzenie o istnieniu Takagiego
• Grupa kohomologiczna Tate'a

•    Artin, Emil ; Tate, John (2009) [1952], teoria pola klas , AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, ISBN 978-0-8218-4426-7 , MR 0223335
• Kawada, Yukiyosi (1971), „Formacje klasowe”, 1969 Number Theory Institute (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XX, State Univ. New York, Stony Brook, NY, 1969) , Providence, RI: American Mathematical Society , s. 96–114
•    Serre, Jean-Pierre (1979), Pola lokalne , Absolwent Teksty z matematyki, tom. 67, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90424-5 , MR 0554237 , zwł. rozdział XI: Formacje klasowe
•   Tate, J. (1979), „Tło teorii liczb” , Automorficzne formy, reprezentacje i funkcje L, część 2 , Proc. Sympozjum Czysta matematyka, tom. XXXIII, Providence, RI: Amer. Matematyka Soc., s. 3–26, ISBN 978-0-8218-1435-2
•     Weil, André (1951), „Sur la theorie du corps declass”, Journal of the Mathematical Society of Japan , 3 : 1–35, doi : 10.2969/jmsj/00310001 , ISSN 0025-5645 , MR 0044569 , przedruk w tomie I jego zebranych dokumentów, ISBN 0-387-90330-5