Twierdzenie o normach Hassego

W teorii liczb twierdzenie o normie Hassego mówi, że jeśli L/K jest cyklicznym rozszerzeniem pól liczbowych , to jeśli niezerowy element K jest wszędzie normą lokalną, to jest to norma globalna. Tutaj bycie normą globalną oznacza bycie elementem k z K takim, że istnieje element l z L z ${\ Displaystyle \ mathbf {N} _ {L/K} (l) =k}$ ​​; innymi słowy k jest normą względną pewnego elementu pola rozszerzenia L. Bycie normą lokalną oznacza, że ​​dla pewnej liczby pierwszej p z K i pewnej liczby pierwszej P z L leżącej nad K, to k jest normą z _LP ; tutaj „pierwsza” p może być wartościowaniem archimedesowym, a twierdzenie jest stwierdzeniem o uzupełnieniach we wszystkich wartościowaniach, archimedesowych i niearchimedesowych.

Twierdzenie nie jest już ogólnie prawdziwe, jeśli rozszerzenie jest abelowe, ale nie cykliczne. $Hasse$ kontrprzykład, że ale nie jest to globalna norma. Serre i Tate wykazali, że inny kontrprzykład podaje pole ${\ Displaystyle {\ mathbf {Q}} ({\ sqrt {13}}, {\ sqrt {17}}) / {\ matematyka {Q} }}$ gdzie każdy racjonalny kwadrat jest wszędzie lokalną normą, ale $jest$ normą globalną

To jest przykład twierdzenia stwierdzającego zasadę lokalno-globalną .

Pełne twierdzenie pochodzi od Hassego ( 1931 ). Szczególny przypadek, gdy stopień n rozszerzenia wynosi 2, został udowodniony przez Hilberta (1897) , a specjalny przypadek, gdy n jest liczbą pierwszą, został udowodniony przez Furtwanglera (1902) .

⁰ Twierdzenie o normie Hassego można wywnioskować z twierdzenia, że ​​element grupy kohomologii Galois H ² ( L / K ) jest trywialny, jeśli jest trywialny lokalnie wszędzie, co z kolei jest równoważne głębokiemu twierdzeniu, że pierwsza kohomologia bezczynności grupa klasowa znika. Dotyczy to wszystkich skończonych rozszerzeń Galois pól liczbowych, nie tylko cyklicznych. W przypadku rozszerzeń cyklicznych grupa H ² ( L / K ) jest izomorficzna z grupą kohomologiczną Tate'a H ( L / K ), który opisuje, które elementy są normami, więc dla rozszerzeń cyklicznych staje się twierdzeniem Hassego, że element jest normą, jeśli wszędzie jest normą lokalną.

Zobacz też

• Twierdzenie Grunwalda-Wanga o tym, kiedy element, który jest potęgą wszędzie lokalnie, jest potęgą.

• Hasse, H. (1931), "Beweis eines Satzes und Wiederlegung einer Vermutung über das allgemeine Normenrestsymbol" , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse : 64–69
• H. Hasse, „Historia teorii pola klas”, w: JWS Cassels i A. Frohlich (red.), Algebraiczna teoria liczb , Academic Press , 1973. Rozdz. XI.
• G. Janusz, Pola liczb algebraicznych , Wydawnictwo Akademickie, 1973. Twierdzenie V.4.5, s. 156