Zasada Hassego

W matematyce zasada lokalno-globalna Helmuta Hassego , znana również jako zasada Hassego , polega na znalezieniu całkowitoliczbowego rozwiązania równania za pomocą chińskiego twierdzenia o resztach, aby złożyć razem rozwiązania potęg modulo każdej innej liczby pierwszej . Jest to obsługiwane przez zbadanie równania w uzupełnieniach liczb wymiernych : liczb rzeczywistych i liczb p -adycznych . Bardziej formalna wersja zasady Hassego stwierdza, że ​​pewne typy równań mają racjonalne rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy mają rozwiązanie w liczbach rzeczywistych i liczbach p -adycznych dla każdej liczby pierwszej p .

Intuicja

Biorąc pod uwagę równanie wielomianowe ze współczynnikami wymiernymi, jeśli ma ono rozwiązanie wymierne, to daje to również rozwiązanie rzeczywiste i rozwiązanie p -adyczne , ponieważ liczby wymierne osadzone są w liczbach rzeczywistych i p -adycznych: rozwiązanie globalne daje rozwiązania lokalne przy każdej liczbie pierwszej . Zasada Hassego pyta, kiedy można zrobić coś odwrotnego, a raczej pyta, co jest przeszkodą: kiedy można połączyć rozwiązania liczb rzeczywistych i liczb całkowitych, aby uzyskać rozwiązanie wymierne: kiedy można połączyć rozwiązania lokalne, aby utworzyć globalne rozwiązanie?

Można zapytać o to inne pierścienie lub pola: na przykład liczby całkowite lub pola liczbowe . W przypadku pól liczbowych zamiast liczb rzeczywistych i p -adics używa się złożonych osadzeń i , dla ideałów pierwszych .

Formy reprezentujące 0

Formy kwadratowe

Twierdzenie Hassego – Minkowskiego stwierdza, że ​​​​zasada lokalno-globalna dotyczy problemu reprezentacji 0 przez formy kwadratowe nad liczbami wymiernymi (co jest wynikiem Minkowskiego) ; a bardziej ogólnie na dowolnym polu liczbowym (jak udowodnił Hasse), gdy stosuje się wszystkie odpowiednie warunki konieczne pola lokalnego . Twierdzenie Hassego o cyklicznych rozszerzeniach stwierdza, że ​​​​zasada lokalno-globalna ma zastosowanie do warunku bycia względną normą dla cyklicznego rozszerzenia pól liczbowych.

Formy sześcienne

Kontrprzykład Ernsta S. Selmera pokazuje, że twierdzenia Hassego – Minkowskiego nie można rozszerzyć na formy stopnia 3: Równanie sześcienne 3 x 3 + 4 y 3 + 5 z 3 = 0 ma rozwiązanie w liczbach rzeczywistych i we wszystkich p -adyczne ciała, ale nie ma nietrywialnego rozwiązania, w którym x , y i z są liczbami wymiernymi.

Roger Heath-Brown wykazał, że każda forma sześcienna nad liczbami całkowitymi w co najmniej 14 zmiennych reprezentuje 0, poprawiając wcześniejsze wyniki Davenporta . Ponieważ każda forma sześcienna nad liczbami p-adycznymi z co najmniej dziesięcioma zmiennymi reprezentuje 0, zasada lokalno-globalna obowiązuje trywialnie dla form sześciennych nad liczbami wymiernymi w co najmniej 14 zmiennych.

Ograniczając się do form innych niż pojedyncze, można zrobić coś lepszego: Heath-Brown udowodnił, że każda nieosobliwa forma sześcienna nad liczbami wymiernymi w co najmniej 10 zmiennych reprezentuje 0, ustanawiając w ten sposób trywialnie zasadę Hassego dla tej klasy form. Wiadomo, że wynik Heath-Browna jest najlepszy w tym sensie, że istnieją inne formy sześcienne nad liczbami wymiernymi w 9 zmiennych, które nie reprezentują zera. Jednak Hooley wykazał, że zasada Hassego dotyczy reprezentacji 0 przez inne niż pojedyncze formy sześcienne nad liczbami wymiernymi w co najmniej dziewięciu zmiennych. Davenport, Heath-Brown i Hooley wszyscy używali Metoda koła Hardy'ego-Littlewooda w ich dowodach. Zgodnie z koncepcją Manina , przeszkody w przestrzeganiu zasady Hassego dla form sześciennych można powiązać z teorią grupy Brauera ; jest to przeszkoda Brauera-Manina , która całkowicie odpowiada za niepowodzenie zasady Hassego dla niektórych klas odmian. Jednak Skorobogatow wykazał, że przeszkoda Brauera-Manina nie może wyjaśnić wszystkich niepowodzeń zasady Hassego.

Formy wyższego stopnia

Kontrprzykłady Fujiwary i Sudo pokazują, że twierdzenie Hassego – Minkowskiego nie jest rozszerzalne do form stopnia 10 n + 5, gdzie n jest nieujemną liczbą całkowitą.

Z drugiej strony twierdzenie Bircha pokazuje, że jeśli d jest dowolną nieparzystą liczbą naturalną, to istnieje taka liczba N ( d ), że dowolna forma stopnia d w więcej niż N ( d ) zmiennych reprezentuje 0: zasada Hassego jest trywialna.

Twierdzenie Alberta – Brauera – Hassego – Noether

Alberta – Brauera – Hasse – Noether ustanawia lokalną globalną zasadę podziału centralnej algebry prostej A na algebraiczne pole liczbowe K . Stwierdza, że ​​jeśli A dzieli się na każde uzupełnienie K v , to jest izomorficzne z algebrą macierzową na K .

Zasada Hassego dla grup algebraicznych

Zasada Hassego dla grup algebraicznych mówi, że jeśli G jest grupą algebraiczną o prostym połączeniu zdefiniowaną na polu globalnym k , to mapa z

jest iniekcyjny, gdzie iloczyn znajduje się we wszystkich miejscach s k .

Zasada Hassego dla grup ortogonalnych jest ściśle związana z zasadą Hassego dla odpowiednich form kwadratowych.

Kneser (1966) i kilku innych zweryfikowało zasadę Hassego, przeprowadzając indywidualne dowody dla każdej grupy. Ostatnim przypadkiem była grupa E 8 , którą Chernousov (1989) uzupełnił dopiero wiele lat po innych przypadkach.

Zasada Hassego dla grup algebraicznych została wykorzystana w dowodach hipotezy Weila dla liczb Tamagawy i twierdzenia o silnym przybliżeniu .

Zobacz też

Notatki

  1. ^ Ernst S. Selmer (1951). „Równanie diofantyczne ax 3 + przez 3 + cz 3 = 0” . Acta Mathematica . 85 : 203–362. doi : 10.1007/BF02395746 .
  2. ^ a b   DR Heath-Brown (2007). „Formy sześcienne w 14 zmiennych”. Wynaleźć. matematyka _ 170 (1): 199–230. Bibcode : 2007InMat.170..199H . doi : 10.1007/s00222-007-0062-1 . S2CID 16600794 .
  3. Bibliografia   _ „Formy sześcienne w szesnastu zmiennych”. Postępowanie Towarzystwa Królewskiego A. 272 (1350): 285–303. Bibcode : 1963RSPSA.272..285D . doi : 10.1098/rspa.1963.0054 . S2CID 122443854 .
  4. ^ DR Heath-Brown (1983). „Formy sześcienne w dziesięciu zmiennych”. Proceedings of London Mathematical Society . 47 (2): 225–257. doi : 10.1112/plms/s3-47.2.225 .
  5. Bibliografia _ _ „Uwaga na temat nieokreślonych równań kilku zmiennych”. Journal of London Mathematical Society . 12 (2): 127–129. doi : 10.1112/jlms/s1-12.1.127 .
  6. Bibliografia _ _ „O nieargumentowych formach sześciennych”. Journal für die reine und angewandte Mathematik . 386 : 32–98.
  7. ^   Aleksiej N. Skorobogatow (1999). „Poza przeszkodą Manina”. Wynaleźć. matematyka _ 135 (2): 399–424. arXiv : alg-geom/9711006 . Bibcode : 1999InMat.135..399S . doi : 10.1007/s002220050291 . S2CID 14285244 .
  8. Bibliografia _ _ M. Sudo (1976). „Niektóre formy nieparzystego stopnia, dla których zawodzi zasada Hassego” . Pacific Journal of Mathematics . 67 (1): 161–169. doi : 10.2140/pjm.1976.67.161 .

Linki zewnętrzne

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Hasse_principle&oldid=1134908049 ”