Aproksymacja w grupach algebraicznych
W algebraicznej teorii grup twierdzenia o aproksymacji są rozszerzeniem chińskiego twierdzenia o resztach na grupy algebraiczne G na polach globalnych k .
Historia
Eichler (1938) udowodnił silne przybliżenie niektórych grup klasycznych. Silne przybliżenie zostało ustalone w latach sześćdziesiątych i siedemdziesiątych XX wieku dla półprostych, prosto połączonych grup algebraicznych na polach globalnych . Wyniki dla pól liczbowych pochodzą od Knesera ( 1966 ) i Płatonowa ( 1969 ); przypadek pola funkcyjnego na polach skończonych zawdzięczamy Margulisowi ( 1977 ) i Prasadowi ( 1977 ). W przypadku pola liczbowego Płatonow udowodnił również powiązany wynik na polach lokalnych , zwany hipotezą Knesera-Titsa .
Definicje i własności formalne
Niech G będzie liniową grupą algebraiczną nad globalnym ciałem k , a A pierścieniem adele k . Jeśli S jest niepustym skończonym zbiorem miejsc k , to piszemy AS dla pierścienia S -adeles i AS dla iloczynu uzupełnień k s , dla s w zbiorze skończonym S . Dla dowolnego wyboru S , G ( k ) osadza się w G ( A S ) i G ( A S ).
Pytanie zadane w słabym przybliżeniu dotyczy tego, czy osadzenie G ( k ) w G ( A S ) ma gęsty obraz. Jeżeli grupa G jest spójna i k -wymierna, to spełnia słabe przybliżenie względem dowolnego zbioru S ( Płatonow i Rapinczuk 1994 , s.402). Mówiąc bardziej ogólnie, dla dowolnej grupy spójnej G istnieje skończony zbiór T skończonych miejsc k takich, że G spełnia słabe przybliżenie w odniesieniu do dowolnego zbioru S , który jest rozłączny z T ( Płatonow i Rapinczuk 1994 , s.415). W szczególności, jeśli k jest algebraicznym ciałem liczbowym, to każda grupa G spełnia słabe przybliżenie w odniesieniu do zbioru S = S ∞ nieskończonych miejsc.
Pytanie zadane w silnym przybliżeniu brzmi, czy osadzenie G ( k ) w G ( A S ) ma gęsty obraz, lub równoważnie, czy zbiór
- G ( k ) G ( A S )
jest gęstym podzbiorem w G ( A ). Główne twierdzenie o silnym przybliżeniu ( Kneser 1966 , s.188) stwierdza, że nierozwiązywalna liniowa grupa algebraiczna G na polu globalnym k ma silne przybliżenie dla skończonego zbioru S wtedy i tylko wtedy, gdy jej pierwiastek N jest jednopotentny , G / N jest po prostu spójny, a każdy prawie prosty składnik H z G / N ma niezwarty składnik H s dla niektórych s w S (zależne od H ).
Dowody silnego przybliżenia polegały na zasadzie Hassego dla grup algebraicznych, co dla grup typu E 8 zostało udowodnione dopiero kilka lat później.
Słabe przybliżenie dotyczy szerszej klasy grup, w tym grup przylegających i wewnętrznych form grup Chevalleya , co pokazuje, że właściwość silnego przybliżenia jest restrykcyjna.
Zobacz też
- Eichler, Martin (1938), „Allgemeine Kongruenzklasseneinteilungen der Ideale einfacher Algebren über algebraischen Zahlkörpern und ihre L-Reihen”. , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (w języku niemieckim), 179 : 227–251, doi : 10.1515/crll.1938.179.227 , ISSN 0075-4102
- Kneser, Martin (1966), „Silne przybliżenie”, grupy algebraiczne i podgrupy nieciągłe (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colo., 1965) , Providence, RI: American Mathematical Society , s. 187–196, MR 0213361
- Margulis, GA (1977), „Związane podgrupy w grupach algebraicznych na polach lokalnych”, Akademija Nauk SSSR. Funkcional'nyi Analiz i ego Priloženija , 11 (2): 45–57, 95, ISSN 0374-1990 , MR 0442107
- Płatonow, wiceprezes (1969), „Problem silnego przybliżenia i hipoteza Knesera-Titsa dla grup algebraicznych”, Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya , 33 : 1211–1219, ISSN 0373-2436 , MR 0258839
- Płatonow, Władimir; Rapinchuk, Andrei (1994), Grupy algebraiczne i teoria liczb. (Przetłumaczone z rosyjskiego oryginału z 1991 r. przez Rachel Rowen.) , Pure and Applied Mathematics, tom. 139, Boston, MA: Academic Press, Inc., ISBN 0-12-558180-7 , MR 1278263
- Prasad, Gopal (1977), „Silne przybliżenie dla półprostych grup nad polami funkcyjnymi”, Annals of Mathematics , Second Series, 105 (3): 553–572, doi : 10.2307/1970924 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970924 , MR 0444571