Grigorij Margulis

Grigorij Margulis
Margulis w swoje 60 urodziny w 2006 roku
Urodzić się	( 24.02.1946 ) 24 lutego 1946 Moskwa , Związek Radziecki
Narodowość	rosyjski , amerykański
Edukacja	Moskiewski Uniwersytet Państwowy ( licencjat , magister , doktor )
Znany z	Przybliżenie diofantyczne Grupy Lie'a Twierdzenie o supersztywności Twierdzenie o arytmetyce Grafy ekspandera Hipoteza Oppenheima
Nagrody	Medal Fieldsa (1978) Nagroda Łobaczewskiego (1996) Nagroda Wolfa (2005) Nagroda Abela (2020)
Kariera naukowa
Pola	Matematyka
Instytucje	Uniwersytet Yale
Doradca doktorski	Jakow Synaj
Doktoranci	Emmanuel Breuillard Hee Oh

Grigorij Aleksandrowicz Margulis ( rosyjski : Григорий Александрович Маргу́лис , imię często nadawane jako Gregory , Grigori lub Gregori , urodzony 24 lutego 1946) to rosyjsko-amerykański matematyk znany z pracy nad kratami w grupach Liego i wprowadzenia metod z ergodycznych teoria w przybliżeniu diofantycznym . W 1978 roku otrzymał Medal Fieldsa , nagrodę Wolfa w dziedzinie matematyki w 2005 r. i nagrodę Abela w 2020 r., stając się piątym matematykiem, który otrzymał trzy nagrody. W 1991 roku dołączył do wydziału Uniwersytetu Yale , gdzie obecnie jest profesorem matematyki Erastus L. De Forest .

Biografia

Margulis urodziła się w Moskwie w Związku Radzieckim w rosyjskiej rodzinie litewskich Żydów . W wieku 16 lat w 1962 roku zdobył srebrny medal na Międzynarodowej Olimpiadzie Matematycznej . Doktoryzował się w 1970 r. na Moskiewskim Uniwersytecie Państwowym , rozpoczynając badania z zakresu teorii ergodycznej pod kierunkiem Jakowa Synaja . Wczesna praca z Davidem Kazhdanem dała twierdzenie Kazhdana – Margulisa , podstawowy wynik dotyczący grup dyskretnych . Jego Twierdzenie o supersztywności z 1975 roku wyjaśniło obszar klasycznych przypuszczeń dotyczących charakterystyki grup arytmetycznych wśród sieci w grupach Liego .

Został odznaczony Medalem Fieldsa w 1978 roku, ale nie pozwolono mu podróżować do Helsinek , aby osobiście go przyjąć, rzekomo z powodu antysemityzmu wobec żydowskich matematyków w Związku Radzieckim. Jego pozycja poprawiła się iw 1979 roku odwiedził Bonn , a później mógł swobodnie podróżować, choć nadal pracował w Instytucie Problemów Transmisji Informacji, instytucie badawczym, a nie na uniwersytecie. W 1991 roku Margulis przyjęła stanowisko profesora na Uniwersytecie Yale .

Margulis został wybrany członkiem Amerykańskiej Narodowej Akademii Nauk w 2001 roku. W 2012 roku został członkiem Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego .

W 2005 roku Margulis otrzymał Nagrodę Wolfa za wkład w teorię krat i zastosowania teorii ergodycznej, teorii reprezentacji , teorii liczb , kombinatoryki i teorii miary .

W 2020 roku Margulis wraz z Hillelem Furstenbergiem otrzymała Nagrodę Abela „Za pionierskie zastosowanie metod prawdopodobieństwa i dynamiki w teorii grup, teorii liczb i kombinatoryce”.

Wkłady matematyczne

Wczesna praca Margulis dotyczyła własności Kazhdana (T) oraz kwestii sztywności i arytmetyki krat w półprostych grupach algebraicznych wyższego rzędu w lokalnym polu . Od lat pięćdziesiątych ( Borel , Harish-Chandra ) wiadomo było, że pewien prosty sposób konstruowania podgrup półprostych grup Liego daje przykłady krat, zwanych kratami arytmetycznymi . Jest to analogiczne do rozważenia podgrupy SL ( n , Z ) rzeczywistej specjalnej grupy liniowej SL ( n , R ), która składa się z macierzy z wpisami całkowitymi . Margulis udowodnił, że przy odpowiednich założeniach na G (brak czynników zwartych i podział rang większych lub równych dwa) każda (nierozkładalna) sieć Γ w niej jest arytmetyczna, tj. można ją otrzymać w ten sposób. Zatem Γ jest współmierne z podgrupą G ( Z ) G , tj. zgadzają się co do podgrup o skończonym indeksie w obu. W przeciwieństwie do sieci ogólnych, które są definiowane przez ich właściwości, kraty arytmetyczne są definiowane przez konstrukcję. Dlatego te wyniki Margulis torują drogę do klasyfikacji krat. Okazało się, że arytmetyka jest ściśle związana z inną niezwykłą właściwością sieci odkrytych przez Margulisa. Nadsztywność dla sieci Γ w G z grubsza oznacza, że ​​​​każdy homomorfizm Γ w grupę rzeczywistych odwracalnych n × n macierze rozciąga się na całe G . Nazwa pochodzi od następującego wariantu:

Jeśli G i G ' są półprostymi grupami algebraicznymi na polu lokalnym bez czynników zwartych i ^$podziału$ wynosi co najmniej dwa i są w nich nieredukowalnymi kratami, to każdy ^{$homomorfizm$} fa : Γ → Γ ^{$\displaystyle '}$} { między kratami zgadza się na podgrupę Γ o skończonym indeksie z homomorfizmem między samymi grupami algebraicznymi.

(Przypadek, w którym f jest izomorfizmem , jest znany jako silna sztywność ). Chociaż pewne zjawiska sztywności były już znane, podejście Margulis było jednocześnie nowatorskie, mocne i bardzo eleganckie.

Margulis rozwiązał problem Banacha - Ruziewicza , który stawia pytanie, czy miara Lebesgue'a jest jedyną znormalizowaną, niezmienną rotacyjnie skończenie addytywną miarą na n -wymiarowej sferze . Rozwiązanie twierdzące dla n ≥ 4, które również niezależnie i prawie jednocześnie uzyskał Dennis Sullivan , wynika z konstrukcji pewnej gęstej podgrupy grupy ortogonalnej , która ma własność (T).

Margulis podał pierwszą konstrukcję grafów ekspandera , którą później uogólniono w teorii grafów Ramanujana .

W 1986 roku Margulis podała pełne rozwiązanie hipotezy Oppenheima dotyczącej form kwadratowych i przybliżenia diofantycznego. To była kwestia otwarta przez pół wieku, w której poczyniono znaczne postępy metodą koła Hardy'ego-Littlewooda ; ale aby zredukować liczbę zmiennych do punktu, w którym uzyskano najlepsze możliwe wyniki, decydujące okazały się bardziej strukturalne metody z teorii grup . Sformułował dalszy program badań w tym samym kierunku, który obejmuje hipotezę Littlewooda .

Wybrane publikacje

Książki

•   Dyskretne podgrupy półprostych grup Liego , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Wyniki z matematyki i dziedzin pokrewnych (3)], 17. Springer-Verlag , Berlin, 1991. x+388 s. ISBN 3-540-12179- XMR 1090825 _
•   O niektórych aspektach teorii systemów Anosowa . Z ankietą przeprowadzoną przez Richarda Sharpa: Okresowe orbity przepływów hiperbolicznych. Z rosyjskiego przełożyła Valentina Vladimirovna Szulikowska. Springer-Verlag, Berlin, 2004. vi+139 s. ISBN 3-540-40121-0 MR 2035655

Wykłady

• Hipoteza Oppenheima . Wykłady medalistów Fieldsa, 272–327, World Sci. Ser. Matematyka XX wieku, 5, Nauka o świecie. Publ., River Edge, NJ, 1997 MR 1622909
• Dynamiczne i ergodyczne własności oddziaływań podgrup na przestrzeniach jednorodnych z zastosowaniami w teorii liczb . Obrady Międzynarodowego Kongresu Matematyków, tom. I, II (Kioto, 1990), 193–215, Math. soc. Japonia, Tokio, 1991 MR 1159213

Dokumenty tożsamości

• Jawne konstrukcje grupowe schematów kombinatorycznych i ich zastosowania w konstrukcji ekspanderów i koncentratorów . (rosyjski) Problemy Peredachi Informatsii 24 (1988), no. 1, 51–60; tłumaczenie w Problems Inform. Transmisja 24 (1988), nr. 1, 39–46
• Arytmetyka nieredukowalnych krat w grupach półprostych o randze większej niż 1, Invent. Matematyka 76 (1984), no. 1, 93-120 MR 0739627
• Kilka uwag o niezmiennych średnich , Monatsh. Matematyka 90 (1980), nr. 3, 233–235 MR 0596890
• Arytmetyka sieci niejednorodnych w grupach słabo niezwartych . (Rosyjski) Funkcjonalny. Analny. i Prilozen. 9 (1975), nr. 1, 35–44
• Własności arytmetyczne grup dyskretnych , matematyka rosyjska. Ankiety 29 (1974) 107–165 MR 0463353

Dalsza lektura

•     J. Cycki (1980). Olli Lehto (red.). Twórczość Grzegorza Aleksandrowicza Margulisa . Postępowanie ICM ( Helsinki, 1978). Tom. 1. Helsinki: Academia Scientiarum Fennica . s. 57–63. ISBN 951-41-0352-1 . MR 0562596 . Zbl 0426.22011 . Zarchiwizowane od oryginału w dniu 2013-02-12. Cytat z medalu Fieldsa z 1978 r .

Linki zewnętrzne

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , „Grigory Margulis” , archiwum MacTutor History of Mathematics , University of St Andrews
• Wyniki Grigorija Margulisa na Międzynarodowej Olimpiadzie Matematycznej
• Grigory Margulis w projekcie Mathematics Genealogy