Paula Cohena

W przypadku innych osób o nazwisku Paul Cohen zobacz Paul Cohen (ujednoznacznienie) . Nie należy mylić z Paulem Cohnem .

Paula J. Cohena
Urodzić się	( 02.04.1934 ) 2 kwietnia 1934 Long Branch, New Jersey , USA
Zmarł	23 marca 2007 (23.03.2007) (w wieku 72) Stanford, Kalifornia , USA
Alma Mater	University of Chicago ( magisterium , doktorat )
Znany z	Cohen forsuje hipotezę kontinuum
Nagrody	Nagroda Bôchera (1964) Medal Fieldsa (1966) Narodowy Medal Nauki (1967)
Kariera naukowa
Pola	Matematyka
Instytucje	Uniwersytet Stanford
Doradca doktorski	Antoniego Zygmunta
Doktoranci	Piotr Sarnak
Wpływy	Georg Cantor , Kurt Gödel

Paul Joseph Cohen (2 kwietnia 1934 - 23 marca 2007) był amerykańskim matematykiem . Najbardziej znany jest ze swoich dowodów na to, że hipoteza kontinuum i aksjomat wyboru są niezależne od teorii mnogości Zermelo-Fraenkla , za co otrzymał Medal Fieldsa .

Wczesne życie i edukacja

Cohen urodził się w Long Branch, New Jersey , w żydowskiej rodzinie, która wyemigrowała do Stanów Zjednoczonych z terenów dzisiejszej Polski ; dorastał na Brooklynie . Ukończył w 1950 roku, w wieku 16 lat, Stuyvesant High School w Nowym Jorku .

Następnie Cohen studiował w Brooklyn College w latach 1950-1953, ale wyjechał bez uzyskania tytułu licencjata , kiedy dowiedział się, że może rozpocząć studia podyplomowe na Uniwersytecie w Chicago po zaledwie dwóch latach studiów. W Chicago Cohen uzyskał tytuł magistra matematyki w 1954 r., a stopień doktora filozofii w 1958 r. pod kierunkiem Antoniego Zygmunda . Tytuł jego pracy doktorskiej brzmiał: Tematy z teorii jednoznaczności szeregów trygonometrycznych .

W 1957 roku, jeszcze przed uzyskaniem doktoratu, Cohen został mianowany przez rok wykładowcą matematyki na Uniwersytecie w Rochester. Następnie spędził rok akademicki 1958–59 w Massachusetts Institute of Technology, a następnie spędził lata 1959–61 jako pracownik naukowy w Institute for Advanced Study w Princeton. Były to lata, w których Cohen dokonał wielu znaczących przełomów matematycznych. W Rozkład na czynniki w algebrach grup (1959) wykazał, że każda funkcja całkowalna na grupie lokalnie zwartej jest splotem dwóch takich funkcji, rozwiązując problem postawiony przez Waltera Rudina . W Na podstawie hipotezy Littlewooda i miar idempotentnych (1960) Cohen dokonał znaczącego przełomu w rozwiązaniu hipotezy Littlewooda.

Cohen był członkiem Amerykańskiej Akademii Sztuki i Nauki , Narodowej Akademii Nauk Stanów Zjednoczonych oraz Amerykańskiego Towarzystwa Filozoficznego . 2 czerwca 1995 roku Cohen otrzymał tytuł doktora honoris causa Wydziału Nauki i Technologii Uniwersytetu w Uppsali w Szwecji .

Kariera

Cohen jest znany z opracowania matematycznej techniki zwanej forsowaniem , której użył do udowodnienia, że ​​ani hipotezy kontinuum (CH), ani aksjomatu wyboru nie można udowodnić na podstawie standardowych aksjomatów Zermelo-Fraenkla (ZF) teorii mnogości . W połączeniu z wcześniejszą pracą Gödla pokazało to, że oba te stwierdzenia są logicznie niezależne aksjomatów ZF: twierdzeń tych nie można ani udowodnić, ani obalić na podstawie tych aksjomatów. W tym sensie hipoteza kontinuum jest nierozstrzygalna i jest najbardziej znanym przykładem stwierdzenia naturalnego, które jest niezależne od standardowych aksjomatów ZF teorii mnogości.

Za swój wynik dotyczący hipotezy kontinuum Cohen zdobył Medal Fieldsa w matematyce w 1966 r., A także National Medal of Science w 1967 r. Medal Fieldsa, który zdobył Cohen, nadal jest jedynym Medalem Fieldsa przyznawanym za pracę w logice matematycznej , od 2022 r.

Oprócz pracy nad teorią mnogości Cohen wniósł także wiele cennych wkładów w analizę. W 1964 r. Otrzymał nagrodę Bôcher Memorial Prize w dziedzinie analizy matematycznej za artykuł „O przypuszczeniach Littlewooda i miarach idempotentnych ”, a jego nazwisko zawdzięcza twierdzeniu o faktoryzacji Cohena-Hewitta .

Cohen był profesorem matematyki na Uniwersytecie Stanforda . Był zaproszonym mówcą na ICM w 1962 w Sztokholmie iw 1966 w Moskwie.

Angus MacIntyre z Queen Mary University of London powiedział o Cohenie: „Był zniechęcająco sprytny i trzeba by być naiwnym lub wyjątkowo altruistycznym, aby postawić swój„ najtrudniejszy problem ”Pallowi, którego znałem w latach 60.”. Następnie porównał Cohena do Kurta Gödla , mówiąc: „Nic bardziej dramatycznego niż ich praca nie wydarzyło się w historii tematu”. Sam Gödel napisał list do Cohena w 1963 r., którego szkic brzmiał: „Powtórzę, że czytanie twojego dowodu na niezależność hip [otezy] cont [inuum] jest naprawdę rozkoszą”. Myślę, że pod wszystkimi istotnymi względami dałeś najlepszy możliwy dowód, a to nie zdarza się często. Lektura twojego dowodu wywarła na mnie równie przyjemny wpływ, jak obejrzenie naprawdę dobrej sztuki ”.

Hipoteza kontinuum

Studiując hipotezę continuum, Cohen powiedział w 1985 r., że „miał wrażenie, że ludzie uważali, że problem jest beznadziejny, ponieważ nie było nowego sposobu konstruowania modeli teorii mnogości. Rzeczywiście, myśleli, że trzeba być nieco szalony nawet myśleć o problemie.”

„Punktem widzenia, który według autora [Cohena] może ostatecznie zostać zaakceptowany, jest to, że CH jest oczywiście fałszywe. Głównym powodem, dla którego akceptuje się aksjomat nieskończoności, jest prawdopodobnie to, że uważamy za absurd myślenie, że proces dodawania tylko jednego ustawiony na raz może wyczerpać cały wszechświat. Podobnie z wyższymi aksjomatami nieskończoności. Teraz jest $i$ zbioru policzalnych liczb porządkowych, a to jest tylko szczególny sposób generowania wyższego kardynała.Zbiór do $\displaystyle C}$ [continuum] jest natomiast generowane przez całkowicie nową i potężniejszą zasadę, a mianowicie aksjomat potęgi . Nierozsądne $zastępczego,$ oczekiwanie, że jakikolwiek opis większej liczby kardynalnej, który próbuje zbudować tę liczbę kardynalną z idei wywodzących się z aksjomatu może kiedykolwiek osiągnąć .

Zatem jest większy niż ${n}, \ aleph _ {\ omega}, \ aleph _ {a}$$Displaystyle \ aleph$${ \ displaystyle a = \ aleph _ {\ omega}}$ za itd. Ten punkt widzenia dotyczy do {\ displaystyle $}$ jako niewiarygodnie bogaty zbiór dany nam przez jeden śmiały nowy aksjomat, do którego nigdy nie można się zbliżyć żadnym fragmentarycznym procesem konstruowania. Być może późniejsze pokolenia dojrzą ten problem jaśniej i wyrażą się bardziej elokwentnie”.

„Trwały i potężny produkt” pracy Cohena nad hipotezą continuum, który był używany przez „niezliczoną liczbę matematyków”, jest znany jako „ wymuszanie” i służy do konstruowania modeli matematycznych w celu sprawdzenia danej hipotezy pod kątem prawdziwości lub fałszu .

Na krótko przed śmiercią Cohen wygłosił wykład opisujący swoje rozwiązanie problemu hipotezy continuum na stulecie konferencji Gödla w Wiedniu w 2006 roku .

Śmierć

Cohen i jego żona Christina (z domu Karls) mieli trzech synów. Cohen zmarł 23 marca 2007 roku w Stanford w Kalifornii po chorobie płuc .

Wybrane publikacje

•    Cohen, Paul J. (grudzień 1963). „Niezależność hipotezy kontinuum” . Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . 50 (6): 1143–1148. Bibcode : 1963PNAS...50.1143C . doi : 10.1073/pnas.50.6.1143 . PMC 221287 . PMID 16578557 .
•    Cohen, Paul J. (styczeń 1964). „Niezależność hipotezy kontinuum, II” . Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . 51 (1): 105–110. Bibcode : 1964PNAS...51..105C . doi : 10.1073/pnas.51.1.105 . PMC300611 . _ PMID 16591132 .

Zobacz też

• algebry Cohena

Dalsza lektura

• Akihiro Kanamori , „ Teoria Cohena i mnogości ”, The Bulletin of Symbolic Logic , tom 14, numer 3, wrzesień 2008.
•   Sarnak, Peter (grudzień 2007). „Pamiętając Paula Cohena” (PDF) . MAA Focus . Waszyngton, DC: Amerykańskie Stowarzyszenie Matematyczne. 27 (9): 21–22. ISSN 0731-2040 . Źródło 2009-05-31 .

Linki zewnętrzne

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , „Paul Joseph Cohen” , archiwum MacTutor History of Mathematics , University of St Andrews
• Paul Joseph Cohen w Mathematics Genealogy Project
• paulcohen.org - strona upamiętniająca życie Paula Cohena
• Nekrolog ze Stanforda