Lista wymuszających pojęć

W matematyce wymuszanie jest metodą konstruowania nowych modeli M [ G ] teorii mnogości poprzez dodanie ogólnego podzbioru G posetu P do modelu M . Zastosowana poset P określi, jakie stwierdzenia obowiązują w nowym wszechświecie („rozszerzenie”); wymuszenie oświadczenia o zainteresowaniu wymaga zatem skonstruowania odpowiedniego P . W tym artykule wymieniono niektóre pozycje P , które zostały użyte w tej konstrukcji.

Notacja

P to pozycja z porządkiem <
V to wszechświat wszystkich zbiorów
M jest policzalnym przechodnim modelem teorii mnogości
G jest ogólnym podzbiorem P nad M .

Definicje

P spełnia warunek łańcucha policzalnego , jeśli każdy antyłańcuch w P jest co najwyżej policzalny. Oznacza to, że V i V [ G ] mają te same liczby kardynalne (i te same kofinalności).
Podzbiór D z P nazywamy gęstym , jeśli dla każdego p ∈ P istnieje jakiś q ∈ D z q ≤ p .
Filtr na P jest niepustym podzbiorem F z P takim, że jeśli p < q i p ∈ , F to q ∈ F a jeśli p ∈ F i q ∈ F to istnieje jakiś r ∈ F z r ≤ p i r ≤ q .
Podzbiór G z P jest nazywany ogólnym nad M , jeśli jest filtrem, który spełnia każdy gęsty podzbiór P w M .

Zmuszanie ameby

Wymuszanie ameby to wymuszanie z kolejnością ameby i dodaje miarę 1 zestawu losowych liczb rzeczywistych.

Forsowanie Cohena

W forsowaniu Cohena (nazwanym na cześć Paula Cohena ) P jest zbiorem funkcji ze skończonego podzbioru ω ₂ × ω do {0,1} i p < q jeśli p ⊇ q .

Ta pozycja spełnia policzalny warunek łańcucha. Wymuszanie za pomocą tej pozycji dodaje do modelu ω _{2 różne liczby rzeczywiste;} to była pozycja użyta przez Cohena w jego oryginalnym dowodzie niezależności hipotezy continuum.

Mówiąc bardziej ogólnie, można zastąpić ω ₂ dowolnym kardynałem κ, więc skonstruuj model, w którym kontinuum ma rozmiar co najmniej κ. Tutaj nie ma ograniczeń. Jeśli κ ma współfinalność ω, liczby rzeczywiste są większe niż κ.

Zmuszanie Grigoriewa

Wymuszanie Grigorieffa (za Serge'em Grigorieffem) niszczy wolny ultrafiltr na ω.

wymuszenie Hechlera

Wymuszanie Hechlera (za Stephenem Hermanem Hechlerem) jest używane do pokazania, że aksjomat Martina implikuje, że każda rodzina funkcji mniejszych niż c od ω do ω jest ostatecznie zdominowana przez jakąś taką funkcję.

P jest zbiorem par ( s , E ) , gdzie s jest skończonym ciągiem liczb naturalnych (traktowanych jako funkcje od skończonej liczby porządkowej do ω), a E jest skończonym podzbiorem pewnego ustalonego zbioru G funkcji od ω do ω. Element ( s , E ) jest silniejszy niż ( t , F ) jeśli t jest zawarte w s , F jest zawarte w E , a jeśli k jest w dziedzinie s , ale nie t , to s ( k ) > h ( k ) dla wszystkich h w F .

Wymuszanie Jockuscha-Soare'a

Wymuszanie z $klasami$ zostało wymyślone przez Roberta Soare'a i Carla Jockuscha innymi, twierdzenie o niskiej podstawie . Tutaj P jest zbiorem niepustych $podzbiorów$ (co oznacza zbiory ścieżek przez nieskończone, obliczalne poddrzewa $}}$ \ Displaystyle ${\ Displaystyle 2 ^ {<\ omega}}$ omega ), uporządkowane przez włączenie.

Iterowane wymuszanie

Wymuszanie iteracyjne ze skończonymi podporami zostało wprowadzone przez Solovaya i Tennenbauma , aby pokazać spójność hipotezy Suslina . Easton wprowadził inny rodzaj wymuszania iteracyjnego w celu określenia możliwych wartości funkcji kontinuum przy regularnych kardynałach. Forsowanie iterowane z policzalnym wsparciem zostało zbadane przez Lavera w jego dowodzie spójności hipotezy Borela, Baumgartnera , który wprowadził forsowanie Aksjomatu A, oraz Shelaha , który wprowadził odpowiednie forsowanie. Shelah wprowadził poprawioną, policzalną iterację wsparcia, aby obsługiwać wymuszenia półwłaściwe, takie jak wymuszanie Prikry, i uogólnienia, w szczególności wymuszanie Namba.

Zmuszanie Lavera

Wymuszanie Lavera zostało użyte przez Lavera , aby pokazać, że hipoteza Borela, która mówi, że wszystkie zbiory zerowe o silnej mierze są policzalne, jest zgodna z ZFC. (Przypuszczenie Borela nie jest zgodne z hipotezą kontinuum).

P to zbiór drzew Lavera uporządkowanych przez inkluzję.

Drzewo Lavera p jest podzbiorem skończonych ciągów liczb naturalnych takich, że

p jest drzewem: p zawiera dowolną początkową sekwencję dowolnego elementu p , równoważnie wyrażoną jako p jest domknięte pod segmentami początkowymi
p ma rdzeń: maksymalny węzeł s ( p ) = s ∈ p taki, że s ≤ t lub t ≤ s dla wszystkich t w p ,
Jeśli t ∈ p i s ≤ t to t ma nieskończoną liczbę bezpośrednich następników tn w p dla n ∈ ω .

Jeśli G jest ogólne dla ( P , ≤) , to rzeczywista { s ( p ) : p ∈ G } , zwana rzeczywistą Lavera , jednoznacznie określa G .

Wymuszanie Lavera spełnia własność Lavera .

Upadek opłaty

Te pozy spowodują upadek różnych kardynałów, innymi słowy zmuszą ich do zrównania wielkości z mniejszymi kardynałami.

Zwijanie kardynała do ω : P jest zbiorem wszystkich skończonych ciągów liczb porządkowych mniejszych niż dany kardynał λ. Jeśli λ jest niepoliczalne, to forsowanie z tym posetem załamuje λ do ω.
Zwijanie kardynała do innego: P jest zbiorem wszystkich funkcji z podzbioru κ o liczności mniejszej niż κ do λ (dla stałych kardynałów κ i λ). Wymuszanie z tym posetem załamuje λ do κ.
Załamanie opłaty : jeśli κ jest regularne, a λ jest niedostępne, to P jest zbiorem funkcji p na podzbiorach λ × κ z dziedziną o rozmiarze mniejszym niż κ i p (α, ξ) <α dla każdego (α, ξ) w domena p . Ta pozycja załamuje wszystkie kardynały mniejsze niż λ na κ, ale zachowuje λ jako następcę κ.

Upadek Levy'ego został nazwany na cześć Azriela Levy'ego .

Zmuszanie Magidora

Wśród wielu koncepcji forsingowych opracowanych przez Magidora , jednym z najbardziej znanych jest uogólnienie forsowania Prikry używanego do zmiany kofinalności kardynała na dany mniejszy regularny kardynał.

Mathias zmusza

Element zbioru P to para składająca się ze skończonego zbioru s liczb naturalnych i nieskończonego zbioru A liczb naturalnych, tak że każdy element zbioru s jest mniejszy niż każdy element zbioru A . Porządek określony przez

( t , B ) jest silniejszy niż ( s , A ) (( t , B ) < ( s , A )) jeśli s jest początkowym segmentem t , B jest podzbiorem A , a t jest zawarte w s ∪ A .

Forsowanie Mathiasa nosi imię Adriana Mathiasa .

Zmuszanie Namby

Wymuszanie Namba (po Kanji Namba) służy do zmiany współfinalności ω ₂ na ω bez załamania ω ₁ .

P jest zbiorem wszystkich drzew ${\ Displaystyle T \ subseteq \ omega _ {2} ^ {<\ omega}}$ (niepuste, zamknięte w dół podzbiory zbioru skończonych ciągów liczb porządkowych mniejszych niż ω ₂ ) które $s$ tę właściwość, że dowolne w T ma rozszerzenie w T , ma bezpośrednich następców. P jest uporządkowany przez inkluzję (tj. poddrzewa są silniejszymi warunkami). Przecięcie wszystkich drzew w filtrze generycznym definiuje policzalną sekwencję, która jest kofinalna w _ω2 .

Wymuszanie Namba” jest podzbiorem P $bezpośrednich$ , że istnieje węzeł, poniżej którego uporządkowanie jest liniowe, a powyżej którego każdy węzeł ma .

Magidor i Shelah dowiedli, że jeśli CH zachodzi, to ogólny przedmiot wymuszenia Namba nie istnieje w rozszerzeniu rodzajowym przez Namba' i vice versa.

Zmuszanie Prikry

W wymuszaniu Prikry (za Karelem Prikrým) P jest zbiorem par ( s , A ) , gdzie s jest skończonym podzbiorem ustalonej mierzalnej liczby kardynalnej κ, a A jest elementem ustalonej miary normalnej D na κ. Warunek ( s , A ) jest silniejszy niż ( t , B ) jeśli t jest początkowym segmentem s , A jest zawarte w B , a s jest zawarte w t ∪ B . To pojęcie wymuszenia może być użyte do zmiany na współfinalność κ przy jednoczesnym zachowaniu wszystkich kardynałów.

Wymuszanie produktu

Wzięcie iloczynu wymuszenia warunków jest sposobem na jednoczesne wymuszenie wszystkich warunków.

Iloczyny skończone : Jeżeli P i Q są pozetami, to iloczyn poseset P × Q ma porządek częściowy zdefiniowany przez ( p ₁ , q ₁ ) ≤ ( p ₂ , q ₂ ) jeśli p ₁ ≤ p ₂ i q ₁ ≤ q ₂ .
Iloczyny nieskończone : Iloczyn zbioru pozycji P _i , i ∈ I , z których każdy ma największy element 1, jest zbiorem funkcji p na I z p ( i ) ∈ P ( i ) i takimi, że p ( i ) = 1 dla wszystkich oprócz skończonej liczby i . Rząd jest określony przez p ≤ q , jeśli p ( i ) ≤ q ( ja ) dla wszystkich ja .
Iloczyn Eastona (według Williama Bigelowa Eastona) zbioru pozycji P _i , i ∈ I , gdzie I jest zbiorem kardynałów, jest zbiorem funkcji p na I z p ( i ) ∈ P ( i ) i takim, że dla każdy regularny kardynał γ liczba elementów α z γ z p (α) ≠ 1 jest mniejsza niż γ.

Wymuszanie Radina

Wymuszanie Radina (po Lon Berk Radin), techniczne uogólnienie wymuszania Magidora, dodaje zamknięty, nieograniczony podzbiór do pewnego regularnego kardynała λ.

Jeśli λ jest dostatecznie dużą liczbą kardynalną, to wymuszenie utrzymuje λ regularną, mierzalną , superzwartą itd.

Losowe wymuszanie

P jest zbiorem podzbiorów borelowskich [0,1] miary dodatniej, gdzie p nazywa się silniejszym niż q , jeśli jest zawarte w q . Ogólny zbiór G następnie koduje „losową liczbę rzeczywistą”: unikalną liczbę rzeczywistą x _G we wszystkich wymiernych przedziałach [ r , s ] ^{V [ G ]} taką, że [ r , s ] ^V jest w G . To rzeczywiste jest „losowe” w tym sensie, że jeśli X jest dowolnym podzbiorem [0, 1] ^V miary 1, leżącym w V , wtedy x _G ∈ X .

Wymuszanie worków

P jest zbiorem wszystkich doskonałych drzew zawartych w zbiorze skończonych sekwencji {0, 1} . A _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ drzewo p jest silniejsze niż q , jeśli p jest zawarte w q . Gerald Enoch Sacks użył forsowania z doskonałymi drzewami, aby stworzyć prawdziwe „ a” przy minimalnym stopniu konstrukcyjności.

Forsowanie worków ma właściwość Sacks .

Strzelanie do szybkiego klubu

Dla S stacjonarnego podzbioru ${\ Displaystyle \ omega _ {1}}$ ustawiamy ${\ Displaystyle P = \ {\ langle \ sigma, C \ rangle \, \ dwukropek \ sigma }$ jest zamkniętą sekwencją z S $,$ a C jest zamkniętym, nieograniczonym przez $_$ _ $_$ _ $_$ _ $do {\ Displaystyle C'\ subseteq C}$ σ $\ Displaystyle \ sigma '\ subseteq \ sigma \ kubek C}$ . w ${\ Displaystyle V [G]}$ ${\ Displaystyle \ bigcup \ {\ sigma \, \ dwukropek (\ istnieje C) (\ langle \ sigma, C \ rangle$ do jest zamkniętym nieograniczonym podzbiorem S prawie zawartym w każdym zbiorze trefl w V . ${\ Displaystyle \ aleph _ {1}}$ jest zachowany. Metoda ta została wprowadzona przez Ronalda Jensena w celu pokazania spójności hipoteza kontinuum i hipoteza Suslina .

Strzelanie do klubu z policzalnymi warunkami

Dla S stacjonarnego podzbioru ustawiamy P równe zbiorowi zamkniętych $.$ sekwencji S W $Displaystyle V [G]}$ $\$ mamy to, że zamkniętym, nieograniczonym podzbiorem i jest zachowany, i ${\ Displaystyle \ aleph _ {1}$ } jeśli CH jest zachowane, to wszyscy kardynałowie są zachowani.

Strzelanie do klubu z ograniczonymi warunkami

Dla S stacjonarnego podzbioru $in$ P { \ $p$ i ${\ Displaystyle \ langle \ alfa \ beta \ rangle \ in p}$ następnie ${\ Displaystyle \ alfa \ równoważnik \ beta}$ i ${\ Displaystyle \ alfa \ w S}$ ${\ Displaystyle \ langle \ alfa \ beta \ rangle}$ i $\ gamma, \ delta \ rangle}$ langle są odrębnymi elementami p wtedy albo ${\ Displaystyle \ beta <\ gamma}$ lub ${\ Displaystyle \ delta <\ alfa}$ . P jest uporządkowane przez włączenie odwrotne. w ${\ Displaystyle V [G]}$ , mamy to ${\ Displaystyle \ {\ alfa \, \ dwukropek (\ istnieje \ beta) (\ langle \alpha ,\beta \rangle \in \bigcup G)\}}$ jest zamkniętym nieograniczonym podzbiorem S i wszystkie liczebniki główne są zachowane.

Srebrne forsowanie

Forsowanie Silvera (za Jackiem Howardem Silverem ) to zbiór wszystkich tych funkcji cząstkowych od liczb naturalnych do {0, 1}, których dziedzina jest współnieskończona; lub równoważnie zbiór wszystkich par ( A , p ) , gdzie A jest podzbiorem liczb naturalnych o nieskończonym uzupełnieniu, a p jest funkcją z A do ustalonego zbioru 2-elementowego. Warunek q jest silniejszy niż warunek p , jeśli q rozciąga się na p .

Wymuszanie srebra spełnia Fusion, właściwość Sacks i jest minimalne w stosunku do liczb rzeczywistych (ale nie minimalne).

Zmuszanie Vopěnki

Wymuszanie Vopěnki (po Petru Vopěnce ) jest używane do ogólnego dodania zbioru ${\$ porządkowych do $displaystyle {\ color {niebieski}} {\ tekst {HOD}}}}$ . Zdefiniuj pierwszy $}$ zbiór wszystkich niepustych $Displaystyle$ zbioru potęg $\ alfa }}$ ${\ mathcal {P}$ z ${\ Displaystyle \ alpha}$ , gdzie ${\ Displaystyle A \ subseteq \ alfa}$ , uporządkowane według inkluzji: ${\ Displaystyle p \ leq q}$ iff ${\ Displaystyle p \ subseteq q}$ . Każdy warunek $Displaystyle$ być reprezentowany przez krotkę $(\ beta, \ gamma, \$ ) ${\ Displaystyle x \ in p \ Leftrightarrow V _ {\ beta} \ modele \ varphi (\ gamma, x)}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle x \ subseteq \ alpha}$ . P ${$ $\ displaystyle p}$ a jego najmniejszą reprezentacją jest $w {\text{HOD}}}$ $\$ zatem izomorficzne z posetem $P$ $)$ reprezentacje elementów Ta pozycja to wymuszanie Vopenki dla podzbiorów ${\ displaystyle \ alpha}$ . Definiowanie jako zbioru wszystkich reprezentacji elementów takich, że ${\ Displaystyle p \ in P '}$ $następnie sol$ ZA $\ displaystyle$ $} \displaystyle G_{A}}$ to ${\ Displaystyle {\ tekst {HOD}}}$ -ogólny i ${\ Displaystyle A \ w {\ tekst {HOD}} [G_ {A}]}$ .