Mierzalny kardynał

W matematyce mierzalna liczba kardynalna to pewien rodzaj dużej liczby kardynalnej . W celu zdefiniowania pojęcia wprowadza się miarę dwuwartościową na kardynale $κ$ lub bardziej ogólnie na dowolnym zbiorze. Dla kardynała $κ$ można to opisać jako podział wszystkich jego podzbiorów na zbiory duże i małe, tak że sam $κ$ jest duży, $\emptyset$ i wszystkie singletony ${α}, α \in κ$ są małe, uzupełnienia małych zestawów są duże i odwrotnie. Przecięcie mniej niż $κ$ dużych zbiorów jest znowu duże .

Okazuje się, że niezliczone kardynały obdarzone dwuwartościową miarą to duże kardynały, których istnienia nie można dowieść z ZFC .

Pojęcie kardynała mierzalnego zostało wprowadzone przez Stanisława Ulama w 1930 roku.

Definicja

Formalnie mierzalna liczba kardynalna jest niepoliczalną liczbą kardynalną κ taką, że istnieje κ-addytywna, nietrywialna miara o wartości 0-1 na zbiorze potęgowym κ . (Tutaj termin κ-addytywny oznacza, że dla dowolnego ciągu A _α , α<λ o liczności λ < κ , gdzie A _α jest parami rozłącznymi zbiorami liczb porządkowych mniejszych niż κ, miara sumy A _α jest równa sumie środki osoby A _α .)

Równoważnie, κ jest mierzalne, co oznacza , że jest punktem krytycznym nietrywialnego elementarnego osadzenia wszechświata V w klasie przechodniej M . Ta równoważność pochodzi od Jerome'a Keislera i Dany Scott i wykorzystuje konstrukcję ultrapotęgi z teorii modeli . Ponieważ V jest odpowiednią klasą , należy rozwiązać problem techniczny, który zwykle nie występuje przy rozważaniu supermocy, przez to, co obecnie nazywa się sztuczka Scotta .

Równoważnie, κ jest mierzalnym kardynałem wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieprzeliczalnym kardynałem z $κ$ -zupełnym, niegłównym ultrafiltrem . Ponownie, oznacza to, że przecięcie dowolnych ściśle mniejszych niż κ -wielu zbiorów w ultrafiltrze jest również w ultrafiltrze.

Nieruchomości

ZFC wynika , że każdy mierzalny kardynał jest niedostępny (i jest niewysłowiony , Ramsey , itp.), to jest zgodne z ZF , że mierzalny kardynał może być kolejnym kardynałem . Z ZF + aksjomat determinacji wynika , że ω ₁ jest mierzalny i że każdy podzbiór ω ₁ zawiera lub jest od niego rozłączny podzbiór domknięty i nieograniczony .

Ulam wykazał, że najmniejszy kardynał κ, który dopuszcza nietrywialną, policzalnie addytywną miarę dwuwartościową, musi w rzeczywistości dopuszczać miarę κ-addytywną. (Gdyby istniał jakiś zbiór mniej niż κ podzbiorów miary-0, których suma wynosiła κ, to miara indukowana na tym zbiorze byłaby kontrprzykładem dla minimalności κ.) Stamtąd można udowodnić (z aksjomatem wyboru) że najmniejszy taki kardynał musi być niedostępny.

Łatwo zauważyć, że jeśli κ dopuszcza nietrywialną miarę κ-addytywną, to κ musi być regularne. (Dzięki nietrywialności i κ-addytywności każdy podzbiór liczności mniejszej niż κ musi mieć miarę 0, a następnie znowu κ-addytywność, co oznacza, że cały zbiór nie może być sumą mniej niż κ zbiorów mniejszych niż κ.) Wreszcie, jeśli λ < κ, to nie może być tak, że κ ≤ 2 ^λ . Gdyby tak było, moglibyśmy zidentyfikować κ z pewnym zbiorem sekwencji 0-1 o długości λ . Dla każdej pozycji w sekwencji albo podzbiór sekwencji z 1 na tej pozycji, albo podzbiór z 0 na tej pozycji musiałby mieć miarę 1. Przecięcie tych λ -wiele miar 1 musiałoby zatem mieć miarę 1 , ale zawierałby dokładnie jeden ciąg, co byłoby sprzeczne z nietrywialnością miary. Zatem przyjmując Aksjomat Wyboru, możemy wywnioskować, że κ jest silnym kardynałem granicznym, co kończy dowód jego niedostępności.

Jeśli κ jest mierzalne i p ∈ V _κ i M (ultrapotęga V ) spełnia ψ(κ, p ), to zbiór α < κ taki, że V spełnia ψ ( α , p ) jest stacjonarny w κ (właściwie zbiór środka 1). W szczególności, jeśli ψ jest formułą Π ₁ i V spełnia ψ(κ, p ), to M je spełnia, a zatem V spełnia ψ ( α , p ) dla stacjonarnego zbioru α < κ . Ta właściwość może być wykorzystana do pokazania, że κ jest granicą większości typów dużych kardynałów, które są słabsze niż mierzalne. Zauważ, że ultrafiltr lub miara świadcząca o tym, że κ jest mierzalna, nie może znajdować się w M , ponieważ najmniejsza taka mierzalna liczba kardynalna musiałaby mieć inną taką pod nią, co jest niemożliwe.

Jeśli zacznie się od elementarnego osadzania j ₁ z V w M ₁ z punktem krytycznym κ, to można zdefiniować ultrafiltr U na κ jako { S ⊆κ : κ∈ j ₁ ( S ) }. Następnie biorąc ultrapotęgę V nad U możemy uzyskać kolejne elementarne osadzenie j ₂ z V w M ₂ . Należy jednak pamiętać, że j ₂ ≠ j ₁ . Zatem inne typy dużych kardynałów, takie jak silne kardynały, również mogą być mierzalne, ale nie przy użyciu tego samego osadzania. Można pokazać, że silny kardynał κ jest mierzalny, a także ma pod sobą κ-wiele mierzalnych kardynałów.

Każda mierzalna liczba kardynalna κ jest kardynałem 0-wielkim, ponieważ ^κ M ⊆ M , czyli każda funkcja od κ do M jest w M . W konsekwencji V _{κ +1} ⊆ M .

Implikacje istnienia

Jeśli istnieje mierzalny kardynał, każdy zbiór $rzeczywistych ($ odniesieniu do hierarchii Borela ) ma miarę . W szczególności żaden niemierzalny zbiór liczb rzeczywistych nie może być ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ Sigma}} _ {2} ^ {1}$ }

Mierzalny o wartościach rzeczywistych

Kardynał κ nazywany jest mierzalnym o wartościach rzeczywistych , jeśli istnieje κ-addytywna miara prawdopodobieństwa na zbiorze mocy κ, która znika na singletonach. Liczebniki mierzalne o wartościach rzeczywistych zostały wprowadzone przez Stefana Banacha ( 1930 ). Banach i Kuratowski (1929) wykazali $,$ że hipoteza kontinuum implikuje, że jest mierzalna o wartościach rzeczywistych. Stanisława Ulama ( 1930 ) wykazało (patrz poniżej części dowodu Ulama), że mierzalne kardynały o wartościach rzeczywistych są słabo niedostępne (w rzeczywistości są to słabo Mahlo ). Wszystkie mierzalne liczebniki kardynalne są mierzalne o wartościach rzeczywistych, a mierzalny kardynał κ o wartościach rzeczywistych jest mierzalny wtedy i tylko wtedy, gdy κ jest większe niż do {\ ${\ mathfrak {c}}}$ . Zatem kardynał jest mierzalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest mierzalny w wartościach rzeczywistych i silnie niedostępny. Mierzalny kardynał o wartości rzeczywistej mniejszy lub równy $istnieje wtedy i tylko wtedy$ gdy istnieje policzalny dodatek rozszerzenie miary Lebesgue'a na wszystkie zbiory liczb rzeczywistych wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje bezatomowa miara prawdopodobieństwa na zbiorze potęgowym jakiegoś niepustego zbioru.

Solovay (1971) wykazał, że istnienie mierzalnych kardynałów w ZFC, mierzalnych kardynałów o wartościach rzeczywistych w ZFC i mierzalnych kardynałów w ZF jest jednakowo spójne .

Słaba niedostępność mierzalnych kardynałów o wartościach rzeczywistych

Powiedzmy, że liczba kardynalna $α$ jest liczbą Ulama, jeśli

zawsze, gdy

μ

jest miarą zewnętrzną na zbiorze

X

,

()

{\ Displaystyle \ mu (X) <\ infty,}

()

{\ Displaystyle \ mu (\ {x \}) = 0, x \ w X,}

()

wszystkie są

μ

-mierzalne ,

{\ Displaystyle A \ podzbiór X}

()

Następnie

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {karta} X \ równoważnik \ alfa \ Strzałka w prawo \ mu (X) = 0.}

Równoważnie, liczba kardynalna $α$ jest liczbą Ulama, jeśli

zawsze, gdy

$ν$ jest miarą zewnętrzną na zbiorze $Y$ , a $F$ rozłączną rodziną podzbiorów $Y$ ,
${\ Displaystyle \ nu \ lewo (\ bigcup F \ prawej) <\ infty,}$
${\ Displaystyle \ nu (A) = 0}$ dla ${\ Displaystyle A \ w fa}$
${\ Displaystyle \ bigcup G}$ jest $ν$ -mierzalny dla każdego ${\ Displaystyle G \ podzbiór F}$

Następnie

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {karta} fa \ równoważnik \ alfa \ strzałka w prawo \ nu \ lewo (\ duża filiżanka F \ prawa) = 0.}

Najmniejszy nieskończony kardynał $to$ Ulama. Klasa liczb Ulama jest zamknięta w następcy kardynalnego . Jeśli nieskończony kardynał $β$ ma bezpośredniego poprzednika $α$ , który jest liczbą Ulama, załóżmy, że $μ$ spełnia właściwości ( 1 ) – ( 4 ) z ${\ Displaystyle X = \ beta}$ . W liczebników porządkowych i kardynalnych von Neumanna wybierz funkcje iniekcyjne

{\ Displaystyle f_ {x}: x \ rightarrow \ alfa, \ quad \ forall x \ in \ beta,}

i zdefiniuj zestawy

{\ Displaystyle U (b, a) = \ {x \ w \ beta: f_ {x} (b) = a \} \ quad a \ w \ alfa, b \ w \ beta.}

Ponieważ $one jeden do jednego$ zestawy

{\ Displaystyle \ lewo \ {U (b, a), b \ in \ beta \ prawo \} {\ tekst {(}} a {\ tekst {naprawiono}}},}

{\ Displaystyle \ lewo \ {U (b, a), a \ in \ alfa \ prawo \} {\ tekst {(}}b{\text{ naprawiono)}}}

są rozłączne. Zgodnie z właściwością ( 2 ) $μ$ , zbiór

{\ Displaystyle \ lewo \ {b \ w \ beta: \ mu (U (b, a))> 0 \ prawo \}}

jest policzalny i stąd

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {karta} \ lewo \ {(b, a) \ w \ beta \ razy \ alfa | \ mu (U (b, a))> 0 \ prawo \} \ równoważnik \ aleph _ {0} \cdot \alfa =\alfa .}

Zatem istnieje takie, że ${\ displaystyle b_ {0}}$

{\ Displaystyle \ mu (U (b_ {0}, a)) = 0 \ quad \ for all a \ in \ alfa}

implikując, ponieważ $α$ jest liczbą Ulama i używając drugiej definicji (z spełnionymi warunkami ( 1 ) - ( 4 )), ${\ displaystyle \ nu = \ mu}$ i warunki ( 1 ) - ( 4 )

{\ Displaystyle \ mu \ lewo (\ bigcup _ {a \ in \ alfa} U (b_ {0}, a) \ prawej) = 0.}

Jeśli ${\ Displaystyle b_ {0}<x <\ beta,}$ to ${\ Displaystyle f_ {x} (b_ {0}) = a_ {x} \ Strzałka w prawo x \ w U (b_ {0}, a_ {x}).$ }

{\ Displaystyle \ beta = b_ {0} \ kubek \ {b_ {0} \} \ kubek \ bigcup _ {a \ w \ alpha }U(b_{0},a),}

Według właściwości ( 2 ), ${\ Displaystyle \ mu \ {b_ {0} \} = 0,}$ i od ${\ Displaystyle \ operatorname {karta} b_ {0} \ równoważnik \ alfa}$ , przez ( 4 ), ( 2 ) i ( 3 ), ${\ Displaystyle \ mu (b_ {0}) = 0.}$ Wynika z tego, że ${\ Displaystyle \ mu (\ beta) = 0.}$ Wniosek jest taki, że $β$ jest liczbą Ulama.

Istnieje podobny dowód na to, że supremum zbioru $S$ liczb Ulama z $liczbą$ Ulama jest ponownie liczbą Ulama. Wraz z poprzednim wynikiem oznacza to, że kardynał, który nie jest liczbą Ulama, jest słabo niedostępny .

Zobacz też

Notatki

Cytaty

Banach, Stefan (1930), "Über dodatek Maßfunktionen in abstrakten Mengen" , Fundamenta Mathematicae , 15 : 97-101, doi : 10.4064/fm-15-1-97-101 , ISSN 0016-2736 .
Banach, Stefan ; Kuratowski, Kazimierz (1929), Sur une généralisation du probleme de la mesure , Fundamenta Mathematicae , 14 : 127–131, doi : 10.4064/fm-14-1-127-131 , ISSN 0016-2736 .
Drake, FR (1974), Teoria mnogości: wprowadzenie do dużych kardynałów (Studia z logiki i podstawy matematyki; V. 76) , Elsevier Science Ltd, ISBN 978-0-7204-2279-5 .
Federer, H. (1996) [1969], Geometryczna teoria miary , Classics in Mathematics (1st ed reprint red.), Berlin, Heidelberg, Nowy Jork: Springer Verlag , ISBN 978-3540606567 .
Jech, Thomas (2002), Teoria mnogości , wydanie z trzeciego tysiąclecia (poprawione i rozszerzone) , Springer, ISBN 3-540-44085-2 .
Kanamori, Akihiro (2003), Wyższa nieskończoność: duże kardynały w teorii mnogości od ich początków (wyd. 2), Springer, ISBN 3-540-00384-3 .
Maddy, Penelope (1988), „Wierząc w aksjomaty. II” , The Journal of Symbolic Logic , 53 (3): 736–764, doi : 10.2307/2274569 , JSTOR 2274569 , S2CID 16544090 . Kopia części I i II tego artykułu wraz z poprawkami jest dostępna na stronie internetowej autora .
Solovay, Robert M. (1971), „Wymierne kardynały o wartościach rzeczywistych”, Aksjomatyczna teoria mnogości (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIII, Part I, Univ. California, Los Angeles, California, 1967) , Providence RI: Amer. Matematyka Soc., s. 397–428, MR 0290961 .
Ulam, Stanisław (1930), "Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre" , Fundamenta Mathematicae , 16 : 140-150, doi : 10.4064/fm-16-1-140-150 , ISSN 0016-2736 .