Silny kardynał
W teorii mnogości silny kardynał jest typem dużego kardynała . Jest to osłabienie pojęcia kardynała superkompaktowego .
Definicja formalna
Jeśli λ jest dowolną liczbą porządkową , κ jest λ-mocna oznacza, że κ jest liczbą kardynalną i istnieje elementarne osadzenie j ze wszechświata V w przejściowy model wewnętrzny M z punktem krytycznym κ i
Oznacza to, że M zgadza się z V w początkowym segmencie. Wtedy κ jest silne oznacza, że jest λ-silne dla wszystkich liczb porządkowych λ.
Relacje z innymi dużymi kardynałami
Z definicji, silne kardynały leżą poniżej superkompaktowych kardynałów i powyżej mierzalnych kardynałów w hierarchii siły spójności.
κ jest κ-silne wtedy i tylko wtedy, gdy jest mierzalne. Jeśli κ jest silne lub λ-silne dla λ ≥ κ+2, to ultrafiltr U świadczący o tym, że κ jest mierzalny, będzie w V κ+2 , a zatem w M . Zatem dla dowolnego α < κ mamy, że istnieje ultrafiltr U w j ( V κ ) − j ( V α ), pamiętając, że j (α) = α. Używając elementarnego osadzania wstecz, otrzymujemy, że istnieje ultrafiltr w V κ − V α . Istnieją więc arbitralnie duże mierzalne liczby główne poniżej κ, które jest regularne, a zatem κ jest granicą κ-wielu mierzalnych kardynałów.
Silni kardynałowie znajdują się również poniżej supermocnych kardynałów i kardynałów Woodina pod względem siły konsystencji. Jednak najmniej silny kardynał jest większy niż najmniej silny kardynał.
Każdy silny kardynał jest silnie rozwijalny i dlatego całkowicie nie do opisania .
- Kanamori, Akihiro (2003). Wyższa nieskończoność: wielcy kardynałowie w teorii mnogości od ich początków (wyd. 2). Skoczek. ISBN 3-540-00384-3 .