Rozkładany kardynał

W matematyce rozwinięty kardynał to pewien rodzaj dużej liczby kardynalnej .

Formalnie liczba kardynalna κ jest λ-rozwijalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego modelu przechodniego M o liczności κ zbioru ZFC -minus- potęgowego takiego, że κ jest w M i M zawiera wszystkie swoje ciągi o długości mniejszej niż κ, istnieje nietrywialne elementarne osadzenie j z M w modelu przechodnim, w którym punktem krytycznym j jest κ i j (κ) ≥ λ.

Kardynał jest rozkładany wtedy i tylko wtedy, gdy jest λ-rozkładalny dla wszystkich liczb porządkowych λ.

Liczba kardynalna κ jest silnie λ-rozwijalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego modelu przechodniego M o liczności κ z -minus- potęgi ZFC ustawionego tak, że κ jest w M i M zawiera wszystkie swoje ciągi o długości mniejszej niż κ, istnieje nie -trywialne elementarne osadzenie j z M w modelu przechodnim „N” z punktem krytycznym j będącym κ, j (κ) ≥ λ, a V(λ) jest podzbiorem N. _ Bez utraty ogólności możemy również zażądać, aby N zawierało wszystkie swoje ciągi o długości λ.

Podobnie kardynał jest silnie rozwinięty wtedy i tylko wtedy, gdy jest silnie rozwinięty λ dla wszystkich λ.

Właściwości te są zasadniczo słabszymi wersjami silnych i superkompaktowych kardynałów, zgodnie z V = L . Wiele twierdzeń związanych z tymi kardynałami ma uogólnienia na ich rozwijalne lub silnie rozwijalne odpowiedniki. Na przykład istnienie silnie rozwijalnego aksjomatu implikuje spójność nieco słabszej wersji właściwego aksjomatu forsującego .

Kardynał Ramseya jest rozwinięty i będzie silnie rozwinięty w L. Jednak może nie być silnie rozwinięty w V.

W L każdy możliwy do rozwinięcia kardynał jest silnie rozwinięty; w ten sposób rozkładane i silnie rozkładane mają tę samą siłę konsystencji .

Kardynał k jest κ-silnie rozkładany i κ-rozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest słabo zwarty . Rozwinięta liczba kardynalna κ + ω jest całkowicie nieopisywalna i poprzedzona stacjonarnym zbiorem całkowicie nieopisywalnych liczb kardynalnych.

•    Hamkins, Joel David (2001). „Rozkładani kardynałowie i GCH”. Dziennik logiki symbolicznej . 66 (3): 1186–1198. arXiv : matematyka/9909029 . doi : 10.2307/2695100 . JSTOR 2695100 . S2CID 6269487 .
•   Johnstone, Thomas A. (2008). „Silnie rozkładane kardynały stały się niezniszczalne”. Dziennik logiki symbolicznej . 73 (4): 1215–1248. doi : 10.2178/jsl/1230396915 . S2CID 30534686 .
• Joela Davida Hamkinsa; Džamonja, Mirna (2004). „Diament (w przypadku stałych bywalców) może zawieść przy każdym silnie rozwijalnym kardynale”. arXiv : matematyka/0409304 . Bibcode : 2004math......9304H . {{ cite journal }} : Cite journal wymaga |journal= ( pomoc )