Kardynał Ramsey
W matematyce kardynał Ramseya jest pewnym rodzajem dużej liczby kardynalnej wprowadzonej przez Erdősa i Hajnala (1962) i nazwanej na cześć Franka P. Ramseya , którego twierdzenie stwierdza, że ω ma pewną właściwość, którą kardynałowie Ramseya uogólniają na przypadek nieprzeliczalny .
Niech [ κ ] <ω oznacza zbiór wszystkich skończonych podzbiorów κ . Liczba kardynalna κ nazywana jest Ramseyem jeśli dla każdej funkcji
- fa : [ κ ] <ω → {0, 1}
istnieje zbiór A liczności κ , który jest jednorodny dla f . Oznacza to, że dla każdego n funkcja f jest stała w podzbiorach liczności n z A . Kardynał κ nazywa się niewypowiedzianie Ramseyem , jeśli A można wybrać jako stacjonarny podzbiór κ . Kardynał κ nazywa się praktycznie Ramseyem, jeśli dla każdej funkcji
- fa : [ κ ] <ω → {0, 1}
istnieje C , zamknięty i nieograniczony podzbiór κ , tak że dla każdego λ w C o nieprzeliczalnej współkońcowości istnieje nieograniczony podzbiór λ , który jest jednorodny dla f ; nieco słabsze jest pojęcie prawie Ramseya , gdzie dla każdego λ < κ wymagane są jednorodne zbiory dla f rzędu λ .
Istnienie któregokolwiek z tych rodzajów kardynałów Ramseya wystarczy, aby udowodnić istnienie 0 # lub w istocie, że każdy zbiór o randze mniejszej niż κ ma krzyżyk .
Każdy mierzalny kardynał jest kardynałem Ramseya, a każdy kardynał Ramseya jest kardynałem Rowbottoma .
Własnością pośrednią pomiędzy Ramseynessem a mierzalnością jest istnienie κ -zupełnego normalnego ideału niegłównego I na κ takiego, że dla każdego A ∉ I i dla każdej funkcji
- fa : [ κ ] <ω → {0, 1}
istnieje zbiór B ⊂ A nie należący do I , który jest jednorodny dla f . Jest to ściśle silniejsze niż κ będące niewysłowionym Ramseyem.
Istnienie kardynała Ramseya implikuje istnienie 0 # , a to z kolei implikuje fałszywość Aksjomatu Konstruowalności Kurta Gödla .
- Drake, Francja (1974). Teoria mnogości: wprowadzenie do wielkich kardynałów (Studia z logiki i podstaw matematyki; V. 76) . Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2 .
- Erdős, Paweł ; Hajnal, András (1962), „Kilka uwag dotyczących naszego artykułu „O strukturze odwzorowań zbiorów . Nieistnienie dwuwartościowej miary σ dla pierwszego nieprzeliczalnego, niedostępnego kardynała”, Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae , 13 (1–2): 223–226, doi : 10.1007/BF02033641 , ISSN 0001-5954 , MR 0141603 , S2CID 121179872
- Kanamori, Akihiro (2003). Wyższy nieskończony: wielcy kardynałowie w teorii mnogości od ich początków (wyd. 2). Skoczek. ISBN 3-540-00384-3 .