Superkompaktowy kardynał

W teorii mnogości kardynał superkompaktowy jest typem dużego kardynała . Wykazują różnorodne właściwości odblaskowe.

Definicja formalna

Jeśli λ jest dowolną liczbą porządkową , κ jest λ -superzwartość oznacza, że istnieje elementarne osadzenie j ze wszechświata V w przejściowy model wewnętrzny M z punktem krytycznym κ , j ( κ )> λ i

{\ Displaystyle {} ^ {\ lambda} M \ subseteq M \,.}

Oznacza to, że M zawiera wszystkie swoje sekwencje λ . Wtedy κ jest superzwarte oznacza, że jest λ -superzwarte dla wszystkich liczb porządkowych λ .

Alternatywnie, niepoliczalny kardynał κ jest superzwarty , jeśli dla każdego A taki, że | | _ ≥ κ istnieje miara normalna nad [ A ] ^{< κ} , w następującym sensie.

[ A ] ^{< κ} definiuje się następująco:

{\ Displaystyle [A] ^ {<\ kappa}: = \ {x \ subseteq A||x|<\ kappa \} \,.}

Ultrafiltr U nad [ ${\ Displaystyle \ {x \ w [A] ^ {<\ kappa} | a \ w x \} \ w U}$ ] < ^{κ jest} w porządku , jeśli jest κ -zupełny i { , dla każdego ${\ Displaystyle a \ w A}$ . Miara normalna nad [ A ] ^{< κ} jest dokładnym ultrafiltrem U nad [ ZA ] ^{< κ} z dodatkową właściwością, że każda funkcja ${\ Displaystyle f: [A] ^ {<\ kappa} \ do A}$ taka, że ${\ Displaystyle \ {x \ w [A] ^ {<\ kappa} | f (x) \ w x \} \ w U}$ na zbiorze $.$ Tutaj „stała na zbiorze w U ” oznacza ${\ Displaystyle \ {x \ w [A] ^ {<\ kappa} | f (x) = a \} \ w U}$ że istnieje takie, że za ${\ Displaystyle a \ in A}$ .

Nieruchomości

Superkompaktowe kardynały mają właściwości odbijające. Jeśli kardynał o jakiejś własności (powiedzmy kardynał 3-wielki ), o czym świadczy struktura o ograniczonej randze, istnieje powyżej kardynała superzwartego κ , to kardynał o tej własności istnieje poniżej κ. Na przykład, jeśli κ jest superkompaktowe, a hipoteza uogólnionego kontinuum (GCH) zachodzi poniżej κ , to obowiązuje wszędzie, ponieważ bijekcja między potęgą ν a kardynałem co najmniej ν ⁺⁺ byłaby świadkiem ograniczonej rangi niepowodzenia GCH Na ν, więc musiałby istnieć również poniżej κ .

Znalezienie kanonicznego modelu wewnętrznego dla superkompaktowych kardynałów jest jednym z głównych problemów teorii modeli wewnętrznych .

Najmniej superkompaktowy kardynał jest najmniej $taki$ że dla każdej struktury ${\ Displaystyle (M, R_ {1}, \ ldots, R_ {n})}$ , z kardynalnością dziedziny ${\ Displaystyle \ vert M \ vert \ geq \ kappa}$ i dla każdego zdania ${\ Displaystyle \ Pi _ {1} ^ {1}}$ zdanie ${\ Displaystyle \ phi}$ takie, że ${\ Displaystyle (M, R_ {1}, \ ldots, R_ {n}) \ vDash \ phi}$ , istnieje elementarna podstruktura $_$ _ ${\ Displaystyle \ vert M '\ vert <\ vert M \ vert}$ ).

Zobacz też

Drake, Francja (1974). Teoria mnogości: wprowadzenie do dużych kardynałów (Studia z logiki i podstawy matematyki; V. 76) . Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2 .
Jech, Thomas (2002). Teoria mnogości, wydanie z trzeciego tysiąclecia (poprawione i rozszerzone) . Skoczek. ISBN 3-540-44085-2 .
Kanamori, Akihiro (2003). Wyższa nieskończoność: wielcy kardynałowie w teorii mnogości od ich początków (wyd. 2). Skoczek. ISBN 3-540-00384-3 .

Cytaty