Mocno zwarty kardynał
W teorii mnogości , gałęzi matematyki , silnie zwarta liczba kardynalna jest pewnym rodzajem dużej liczby kardynalnej .
Kardynał κ jest silnie zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy każdy filtr κ-zupełny można rozszerzyć do ultrafiltra κ-zupełnego.
Silnie zwarte liczby kardynalne zostały pierwotnie zdefiniowane w kategoriach logiki nieskończonej , w której operatorzy logiczni mogą przyjmować nieskończenie wiele argumentów. Logika regularnego kardynała κ jest zdefiniowana przez wymaganie, aby liczba operandów dla każdego operatora była mniejsza niż κ; wtedy κ jest silnie zwarty, jeśli jego logika spełnia analogię właściwości zwartości logiki skończonej. W szczególności stwierdzenie, które wynika z innego zbioru stwierdzeń, powinno również wynikać z pewnego podzbioru o liczności mniejszej niż κ.
Właściwość silnej zwartości można osłabić, wymagając zachowania tej właściwości zwartości tylko wtedy, gdy oryginalny zbiór stwierdzeń ma liczność poniżej pewnego kardynała λ; możemy wtedy odnieść się do λ-zwartości. Kardynał jest słabo zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest κ-zwarty; taka była pierwotna definicja tego pojęcia.
Silna zwartość implikuje mierzalność i jest implikowana przez superzwartość . Biorąc pod uwagę, że istnieją odpowiednie liczby kardynalne, jest zgodne z ZFC, że albo pierwsza mierzalna liczba kardynalna jest silnie zwarta, albo pierwsza silnie zwarta liczba kardynalna jest superzwarta; jednak oba nie mogą być prawdziwe. Mierzalna granica silnie zwartych kardynałów jest silnie zwarta, ale najmniejsza taka granica nie jest superzwarta.
Siła konsystencji o dużej zwartości jest zdecydowanie wyższa niż w przypadku kardynała Woodina . Niektórzy teoretycy mnogości przypuszczają, że istnienie silnie zwartej kardynała jest równozgodne z istnieniem kardynała superzwartego. Jednak dowód jest mało prawdopodobny, dopóki nie zostanie opracowana kanoniczna teoria modelu wewnętrznego dla superkompaktowych kardynałów.
Rozszerzalność jest analogiem drugiego rzędu silnej zwartości.
Zobacz też
- Drake, FR (1974). Teoria mnogości: wprowadzenie do dużych kardynałów (Studia z logiki i podstawy matematyki; V. 76) . Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2 .