Ogromny kardynał

W matematyce liczbę kardynalną κ nazywamy ogromną , jeśli istnieje elementarne osadzenie j : V → M z V w przechodni model wewnętrzny M z punktem krytycznym κ i

${\ Displaystyle {} ^ {j (\ kappa)} M \ podzbiór M. \!}$

Tutaj ^α M jest klasą wszystkich ciągów o długości α, których elementy są w M.

Ogromne kardynały zostały wprowadzone przez Kennetha Kunena ( 1978 ).

Warianty

W dalszej części j ⁿ odnosi się do n -tej iteracji elementarnego osadzania j, to znaczy j złożonego ze sobą n razy, dla skończonej liczby porządkowej n . Również ^<α M jest klasą wszystkich sekwencji o długości mniejszej niż α, których elementy są w M. Zauważ, że dla wersji „super” γ powinno być mniejsze niż j (κ), a nie j n $Displaystyle {j^{n}(\kappa)}}$ .

κ jest prawie n-wielkie wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje j : V → M z punktem krytycznym κ i

${\ Displaystyle {} ^ {<j ^ {n} (\ kappa)} M \ podzbiór M. \!}$

κ jest super prawie n-wielkie wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby porządkowej γ istnieje j : V → M z punktem krytycznym κ, γ<j(κ), oraz

${\ Displaystyle {} ^ {<j ^ {n} (\ kappa)} M \ podzbiór M. \!}$

κ jest n-wielkie wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje j : V → M z punktem krytycznym κ i

${\ Displaystyle {} ^ {j ^ {n} (\ kappa)} M \ podzbiór M. \!}$

κ jest super n-wielkie wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby porządkowej γ istnieje j : V → M z punktem krytycznym κ, γ<j(κ), oraz

${\ Displaystyle {} ^ {j ^ {n} (\ kappa)} M \ podzbiór M. \!}$

Zauważ, że 0-wielkie to to samo, co mierzalne kardynalne ; a 1-ogromny jest tym samym, co ogromny. Kardynał spełniający jeden z rangi jest n -wielki dla wszystkich skończonych n .

Istnienie prawie ogromnego kardynała sugeruje, że zasada Vopěnki jest konsekwentna; dokładniej każdy prawie ogromny kardynał jest także kardynałem Vopěnka .

Siła spójności

Kardynałowie są ułożeni w kolejności rosnącej siły konsystencji w następujący sposób:

• prawie n -ogromny
• super prawie n -ogromny
• n -ogromny
• super n -ogromny
• prawie n +1-ogromny

Spójność ogromnego kardynała implikuje spójność superzwartego kardynała , niemniej jednak najmniej duży kardynał jest mniejszy niż najmniej superzwarty kardynał (zakładając, że oba istnieją).

ω-wielkie kardynały

Można spróbować zdefiniować ω-wielkiego kardynała κ jako takiego, że elementarne osadzenie j : V → M z V w przechodni model wewnętrzny M z punktem krytycznym κ i λ M ⊆ M , ^gdzie λ jest supremum j n ⁽ κ ) dla dodatnich liczb całkowitych n . Jednak twierdzenie Kunena o niespójności pokazuje, że takie kardynały są niespójne w ZFC, chociaż nadal pozostaje otwarte, czy są one spójne w ZF. Zamiast tego ω-wielki kardynał κ jest definiowany jako punkt krytyczny elementarnego osadzania z pewnego rzędu V _λ+1 Do siebie. Jest to ściśle związane z szeregowania w szeregi I ₁ .

Zobacz też

• Lista dużych właściwości kardynalnych
• Porządek Dehornoya na grupie warkoczy był motywowany właściwościami ogromnych kardynałów.

•   Kanamori, Akihiro (2003), Wyższa nieskończoność: duże kardynały w teorii mnogości od ich początków (wyd. 2), Springer, ISBN 3-540-00384-3 .
•      Kunen, Kenneth (1978), „Nasycone ideały”, The Journal of Symbolic Logic , 43 (1): 65–76, doi : 10.2307/2271949 , ISSN 0022-4812 , JSTOR 2271949 , MR 0495118 , S2CID 13379542 .
•    Maddy, Penelope (1988), "Believing the Aksjomaty. II" , The Journal of Symbolic Logic , 53 (3): 736-764 (szczególnie 754-756), doi : 10.2307/2274569 , JSTOR 2274569 , S2CID 16544090 . Kopia części I i II tego artykułu wraz z poprawkami jest dostępna na stronie internetowej autora .