Twierdzenie o sprzeczności Kunena

W teorii mnogości gałąź matematyki, twierdzenie Kunena o niekonsystencji , udowodnione przez Kennetha Kunena ( 1971 ), pokazuje, że kilka prawdopodobnych dużych aksjomatów kardynalnych jest niezgodnych z aksjomatem wyboru .

Niektóre konsekwencje twierdzenia Kunena (lub jego dowodu) to:

• Nie ma nietrywialnego elementarnego osadzania wszechświata V w sobie. Innymi słowy, nie ma kardynała Reinhardta .
• Jeśli j jest elementarnym osadzeniem wszechświata V w wewnętrznym modelu M , a λ jest najmniejszym stałym punktem j powyżej punktu krytycznego κ z j , to M nie zawiera zbioru j "λ (obraz j ograniczony do λ).
• Nie ma ω-wielkiego kardynała .
• Nie ma nietrywialnego elementarnego osadzania V _λ+2 w sobie.

Nie wiadomo, czy twierdzenie Kunena nadal obowiązuje w ZF (ZFC bez aksjomatu wyboru), chociaż Suzuki (1999) wykazał, że nie ma definiowalnego elementarnego osadzania z V do V . To znaczy nie ma takiego wzoru J w języku teorii mnogości, że dla jakiegoś parametru p ∈ V dla wszystkich zbiorów x ∈ V i y ∈ V : ${\ Displaystyle j (x) = y \ strzałka w lewo w prawo J (x, y, p) \,.}$

Kunen użył w swoim dowodzie teorii mnogości Morse'a-Kelleya . Jeśli dowód zostanie przepisany, aby użyć ZFC, należy dodać założenie, że zamiana zachodzi dla formuł obejmujących j . W przeciwnym razie nie można by nawet pokazać, że j "λ istnieje jako zbiór. Zakazany zbiór j "λ jest kluczowy dla dowodu. Dowód najpierw pokazuje, że nie może być w M . Z tego wywodzą się pozostałe części twierdzenia.

Możliwe jest posiadanie modeli teorii mnogości, które mają elementarne osadzenie w sobie, przynajmniej jeśli przyjmie się pewne łagodne aksjomaty dużych kardynalnych. Na przykład, jeśli 0# istnieje, to istnieje elementarne osadzenie z konstruowalnego wszechświata L w sobie. Nie jest to sprzeczne z twierdzeniem Kunena, ponieważ jeśli istnieje 0#, to L nie może być całym wszechświatem zbiorów.

Zobacz też

• Ranga w rangę

•   Kanamori, Akihiro (2003), The Higher Infinite: Large Cardinals in mnogości od ich początków , Springer Monographs in Mathematics (wyd. 2), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-540-88867 -3 , ISBN 978-3-540-00384-7
•     Kunen, Kenneth (1971), „Elementarne osadzania i nieskończone kombinatoryki”, Journal of Symbolic Logic , 36 (3): 407–413, doi : 10,2307/2269948 , JSTOR 2269948 , MR 0311478 , S2CID 38948969
•      Suzuki, Akira (1999), „Żadne elementarne osadzanie z V do V nie jest definiowalne na podstawie parametrów”, Journal of Symbolic Logic , 64 (4): 1591–1594, doi : 10.2307/2586799 , ISSN 0022-4812 , JSTOR 2586799 , MR 1780073 , S2CID 40967369
•    Zapletal, Jindřich (1996), „Nowy dowód niespójności Kunena”, Proceedings of the American Mathematical Society , 124 (7): 2203–2204, doi : 10.1090 / S0002-9939-96-03281-9 , ISSN 0002-9939 , MR 1317054