Punkt krytyczny (teoria mnogości)

W teorii mnogości punktem krytycznym elementarnego osadzania klasy przechodniej w innej klasie przechodniej jest najmniejsza liczba porządkowa , która nie jest odwzorowana na siebie.

Załóżmy, że $\$$klasami$${$ Displaystyle M $są$ przechodnimi i można ${\ Displaystyle j}$ zdefiniować w $\ displaystyle N}$ przez formułę teorii mnogości z parametrami z ${\ displaystyle N}$ . Następnie $.$ przyjmować liczby porządkowe do liczb porządkowych i $musi$ rosnąć Również ${\ Displaystyle j (\ omega) = \ omega}$ . Jeśli jot $j (\ alfa) = \ alfa}$$(\ kappa)$ dla wszystkich i $κ$ , to mówi $displaystyle$ , że jest to punkt krytyczny $j}$ .

Jeśli to $displaystyle N }$ , to $punkt$ krytyczny ) $jest$ zawsze mierzalną liczbą kardynalną , tj . niepoliczalną liczbą kardynalną κ taką, istnieje $displaystyle \ kappa}$${\$ -kompletny, niegłówny ultrafiltr nad ${\ displaystyle \ kappa}$ . W szczególności można przyjąć filtr jako ${\ Displaystyle \ {A \ mid A \ subseteq \ kappa \ ziemia \ kappa \ w j (A) \}}$ . Ogólnie rzecz biorąc, będzie wiele innych < κ -kompletnych, niegłównych ultrafiltrów nad ${\ displaystyle \ kappa}$ . Jednak może się różnić od $ultramocy$ z takiego filtra (ów).

Jeśli i $są$ takie same, a funkcją tożsamości na $displaystyle$$,$$N$$}$ to nazywa się to „trywialnym Jeśli klasa przechodnia $,$ wewnętrznym modelem ZFC i nie ma punktu krytycznego, tj. Każda liczba porządkowa odwzorowuje się na $siebie$$to$ trywialna