Policzalny stan łańcucha

W teorii porządku mówi się , że częściowo uporządkowany zbiór X spełnia warunek łańcucha przeliczalnego lub jest ccc , jeśli każdy silny antyłańcuch w X jest przeliczalny .

Przegląd

Tak naprawdę są dwa warunki: warunki łańcucha policzalnego w górę iw dół . To nie są równoważne. Warunek łańcucha policzalnego oznacza warunek łańcucha policzalnego w dół, innymi słowy żadne dwa elementy nie mają wspólnej dolnej granicy.

Nazywa się to raczej „przeliczalnym warunkiem łańcucha” niż bardziej logicznym terminem „przeliczalnym warunkiem przeciwłańcuchowym” z powodów historycznych związanych z pewnymi łańcuchami zbiorów otwartych w przestrzeniach topologicznych i łańcuchami w pełnych algebrach Boole'a, gdzie warunki łańcuchowe czasami są równoważne z antyłańcuchowymi warunki. Na przykład, jeśli κ jest kardynałem, to w pełnej algebrze Boole'a każdy antyłańcuch ma rozmiar mniejszy niż κ wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma malejącej sekwencji κ elementów, więc warunki łańcucha są równoważne warunkom antyłańcucha.

aksjomatu Martina używane są częściowe rzędy i spacje spełniające ccc .

W teorii forsowania stosuje się rzędy częściowe ccc, ponieważ forsowanie z dowolnym zbiorem rodzajowym nad takim porządkiem zachowuje liczebności główne i kofinalności. Ponadto właściwość ccc jest zachowywana przez skończone iteracje wsparcia (patrz forsowanie iteracyjne ). Aby uzyskać więcej informacji na temat ccc w kontekście wymuszania, zobacz Wymuszanie (teoria mnogości) § Przeliczalny warunek łańcucha .

Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli κ jest liczbą kardynalną, to mówi się, że poset spełnia warunek łańcucha κ , jeśli każdy antyłańcuch ma rozmiar mniejszy niż κ. Warunek łańcucha policzalnego to warunek łańcucha ℵ ₁ .

Przykłady i własności w topologii

przestrzeń topologiczna spełnia warunek łańcucha przeliczalnego lub warunek Suslina , jeśli częściowo uporządkowany zbiór niepustych podzbiorów otwartych X spełnia warunek łańcucha przeliczalnego, tj . każdy parami rozłączny zbiór niepustych podzbiorów otwartych X jest przeliczalny . Nazwa pochodzi od problemu Suslina .

• Każda separowalna przestrzeń topologiczna to ccc. Co więcej, przestrzeń iloczynu $co najwyżej przestrzeni$ jest rozdzielną, a zatem
• Przestrzeń metryczna jest ccc wtedy i tylko wtedy, gdy jest rozdzielna.
• Ogólnie rzecz biorąc, przestrzeń topologiczna ccc nie musi być separowalna. $topologią$ przykład z produktu ccc rozdzielić .
• Parakompaktowe przestrzenie ccc to Lindelöf .

•   Jech, Thomas (2003), Teoria mnogości: Millennium Edition , Springer Monographs in Mathematics , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-44085-7
• Produkty Separable Spaces, KA Ross i AH Stone. Amerykański miesięcznik matematyczny 71 (4): s. 398–403 (1964)