Przecięcie (teoria mnogości)

Aby uzyskać szersze omówienie tego tematu, zobacz Przecięcie (matematyka) .

Skrzyżowanie

Przecięcie $dwóch$ i $reprezentowane$ przez ${\ Displaystyle A \ cap B}$ jest na czerwono.
Typ	Ustaw operację
Pole	Teoria mnogości
Oświadczenie	Przecięcie to zestaw elementów, który istnieje zarówno w zbiorze, $A }$ iw zbiorze ${\ displaystyle$ .
Symboliczne stwierdzenie	${\ Displaystyle A \ czapka B = \ {x: x \ w A {\ tekst {i}} x \ w B \}}$

W teorii mnogości $B}$ dwóch zbiorów i oznaczane przez jest zawierającym wszystkie elementy ZA ${$$A$$\$$A.$$należą$ do ${\ Displaystyle A.}$ , wszystkie elementy które również należą do

Notacja i terminologia

$;$ symbolu „ między terminami to znaczy w notacji infiksowej . Na przykład:

$${\ Displaystyle \ {1,2,3 \} \ czapka \ {2,3,4 \} = \ {2,3 \}}$$

$${\ Displaystyle \ {1,2,3 \} \ czapka \ {4,5,6 \} = \ varnothing}$$

$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} \ czapka \ mathbb {N} = \ mathbb {N}}$$

$${\ Displaystyle \ {x \ w \ mathbb {R}: x ^ {2} = 1 \} \ czapka \ mathbb {N} = \ {1 \}}$$

Przecięcie więcej niż dwóch zestawów (przecięcie uogólnione) można zapisać jako:

$${\ Displaystyle \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} A_ {i}}$$

co jest podobne do notacji kapitał-sigma .

Wyjaśnienie symboli użytych w tym artykule znajduje się w tabeli symboli matematycznych .

Definicja

Przecięcie trzech zestawów: ${\ Displaystyle ~ A \ czapka B \ czapka C}$

Skrzyżowania nieakcentowanych współczesnych pism greckich , łacińskich i cyrylicy , biorąc pod uwagę tylko kształty liter i ignorując ich wymowę

Przykład przecięcia ze zbiorami

Przecięcie dwóch zbiorów $oznaczone$ przez , ${$$displaystyle$ , które są członkami obu zbiorów ZA $} styl wyświetlania A}$ i ${\ Displaystyle B.}$ W symbolach:

$${\ Displaystyle A \ cap B = \ {x: x \ w A {\ tekst {i}} x \ w B \}.}$$

Oznacza to, $jak$ jest elementem przecięcia wtedy i tylko wtedy, gdy jest zarówno elementem, i elementem $\ cap B}$${\ displaystyle$$x}$ z ${\ Displaystyle B.}$

Na przykład:

• Przecięcie zbiorów {1, 2, 3} i {2, 3, 4} to {2, 3}.
• Liczba 9 nie leży na przecięciu zbioru liczb pierwszych {2, 3, 5, 7, 11, ...} i zbioru liczb nieparzystych {1, 3, 5, 7, 9, 11, .. .}, ponieważ 9 nie jest liczbą pierwszą.

Zbiory przecinające się i rozłączne

Mówimy, że przecina się $A},$ spełnia) ${\ Displaystyle B$$},$ jeśli istnieje jakiś element , który jest elementem zarówno ZA $Displaystyle$ jak i ${\ Displaystyle B,} w$ $($ spotyka) w $przecina$$przypadku$ mówimy również, że się Równoważnie przecina ${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ displaystyle x \ w A \ cap B.}$$jest$ przecięcie zbiorem zamieszkałym , oznacza, że ​​istnieje jakiś , że $∈$

Mówimy $,$$z$ i są rozłączne $,$ jeśli nie ${\ displaystyle B.}$ Mówiąc prostym językiem, nie mają one żadnych wspólnych elementów. ${\ displaystyle A}$ i ${\ displaystyle B}$ są rozłączne, jeśli ich przecięcie jest puste , oznaczone ${\ Displaystyle A \ czapka B = \ varnic.}$

$_$ zbiory i $rozłączne$ przecina wielokrotności 3 przy wielokrotnościach 6.

Właściwości algebraiczne

Zobacz też: Lista tożsamości i relacji zbiorów oraz Algebra zbiorów

Przecięcie binarne jest operacją asocjacyjną ; to znaczy dla dowolnych zestawów i ma się ZA $Displaystyle A,$$}$

$${\ Displaystyle A \ czapka (B \ czapka C) = (A \ czapka B) \ czapka C.}$$

Zatem nawiasy można pominąć bez dwuznaczności: każde z powyższych można zapisać jako ${\ Displaystyle A \ nasadka B \ nasadka C}$ . Przecięcie jest również przemienne . Oznacza to, że dla każdego ma się ${\ displaystyle A}$ i ${\ displaystyle B}$

$${\ Displaystyle A \ czapka B = B \ czapka A.}$$

Przecięcie dowolnego zestawu ze zbiorem pustym daje zbiór pusty; to znaczy , że dla dowolnego zestawu ${\ displaystyle A}$

$${\ Displaystyle A \ czapka \ varnothing = \ varnothing}$$

Ponadto operacja przecięcia jest idempotentna ; to znaczy każdy zestaw $to$ ZA $\ Displaystyle A \ cap A = A}$ . Wszystkie te własności wynikają z analogicznych faktów dotyczących koniunkcji logicznej .

Przecięcie rozdziela się na sumę , a suma rozdziela na przecięciu. Oznacza to, że dla dowolnych zbiorów i $}$ się ZA $\ Displaystyle A,$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} A \ czapka (B\kubek C)=(A\nasadka B)\nasadka (A\nasadka C)\\A\nasadka (B\nasadka C)=(A\nasadka B)\nasadka (A\nasadka C)\koniec{ wyrównany}}}$$

Wewnątrz wszechświata można zdefiniować $displaystyle U}$ z $A}$$displaystyle$ jako zbiór wszystkich elementów ${$ w \ ${\ Displaystyle A.}$ Ponadto, przecięcie $Displaystyle$ i $B}$ może być zapisane jako dopełnienie sumy ich dopełnień, łatwo wywodzące się z ZA {\ displaystyle A} Prawa De Morgana :

$${\ Displaystyle A \ czapka B = \ lewo (A ^ {c} \ kubek B ^ {c} \ prawej) ^ {c}}$$

Dowolne skrzyżowania

Dalsze informacje: Iterowana operacja binarna

Najbardziej ogólnym pojęciem jest przecięcie dowolnego niepustego zbioru zbiorów. Jeśli jest niepustym zbiorem $A}$$którego$ same są zbiorami, to jest elementem przecięcia wtedy i tylko wtedy, gdy $dla$ każdego elementu $displaystyle$ z ${\ displaystyle M,}$${\ displaystyle x}$ jest elementem ${\ Displaystyle A.}$ W symbolach:

$${\ Displaystyle \ lewo (x \ w \ bigcap _ {A \ w M} A \ w prawo) \ Strzałka w lewo \ w lewo (\ dla wszystkich A \ w M, \ x \ w A \ w prawo).}$$

Notacja dla tej ostatniej koncepcji może się znacznie różnić. Teoretycy mnogości czasami piszą „ $”$ , podczas gdy inni zamiast tego piszą „ $\ in M} A}$ . Ten zapis można uogólnić na „ $się do$ kolekcji ${\ Displaystyle \ lewo \ {A_ {i}: i \ w I \ prawej \}.}$ Tutaj ${\ displaystyle I}$ jest niepustym zbiorem, a jest zbiorem dla każdego ${\ displaystyle A_ {i}}$${\ Displaystyle i \ w ja.}$

W przypadku, gdy $ja {\ displaystyle I}$ indeksów jest zbiorem liczb naturalnych , można zobaczyć zapis analogiczny do iloczynu nieskończonego :

$${\ Displaystyle \ bigcap _ {i = 1} ^ {\ infty} A_ {i}.}$$

Gdy formatowanie jest trudne, można to również zapisać „ ${\ Displaystyle A_ {1} \ cap A_ {2} \ cap A_ {3} \ cap \ cdots}$ ". Ten ostatni przykład, przecięcie niezliczonej liczby zbiorów, jest w rzeczywistości bardzo powszechny; na przykład zobacz artykuł o σ-algebrach .

Skrzyżowanie zerowe

Spójniki argumentów w nawiasach Koniunkcja bez argumentu jest tautologią (porównaj: pusty iloczyn ); odpowiednio przecięcie żadnego zbioru nie jest wszechświatem .

$, że w$$)$ sekcji wykluczyliśmy przypadek, w którym zbiorem pustym ( . Powód jest następujący: Przecięcie kolekcji jest zdefiniowane jako zbiór (patrz notacja konstruktora zestawu ) ${\ displaystyle M}$

$${\ Displaystyle \ bigcap _ {A \ w M} A = \ {x: {\ tekst {dla wszystkich}} A \ w M, x \ w A \}.}$$

Jeśli jest pusta, nie ma żadnych zestawów $\$ M $M,},$$displaystyle$$więc$ pytanie brzmi: „które warunek?”. Odpowiedzią wydaje się być każdy możliwy ${\ displaystyle x}$ . Gdy $pusty$ , warunek podany powyżej jest przykładem pustej prawdy . Zatem przecięcie pustej rodziny powinno być zbiorem uniwersalnym ( element identyczny dla operacji przecięcia), ale w standardowej teorii mnogości ( ZF ) zbiór uniwersalny nie istnieje.

Jednak w teorii typów $jest$ określonego typu $Displaystyle \ operatorname$ przecięcie jest rozumiane jako typu $zestaw} \ \ tau}$$w$ rodzaj zbiorów, których elementy $zdefiniować$ jako zbiór ${\ Displaystyle \ operatorname {zbiór} \ \ tau}$ (zbiór, którego elementami są dokładnie wszystkie terminy typu ${\ displaystyle \ tau}$ ).

Zobacz też

• Algebra zbiorów – Tożsamości i relacje między zbiorami
• Kardynalność – Definicja liczby elementów w zbiorze
• Uzupełnienie – zbiór elementów nienależących do danego podzbioru
• Przecięcie (geometria euklidesowa) - Kształt utworzony z punktów wspólnych dla innych kształtów Strony wyświetlające krótkie opisy celów przekierowania
• Wykres przecięcia - Wykres przedstawiający przecięcia między danymi zestawami
• Teoria przecięć – Dział geometrii algebraicznej
• Wykaz tożsamości i relacji zbiorów – Równości dla kombinacji zbiorów
• Koniunkcja logiczna – Spójnik logiczny AND
• MinHash – Technika eksploracji danych
• Naiwna teoria mnogości - Nieformalne teorie mnogości
• Różnica symetryczna – Elementy w dokładnie jednym z dwóch zestawów
• Union – Zestaw elementów w dowolnym z niektórych zestawów

Dalsza lektura

•   Devlin, KJ (1993). Radość zestawów: podstawy współczesnej teorii mnogości (wyd. Drugie). Nowy Jork, NY: Springer-Verlag. ISBN 3-540-94094-4 .
•   Munkres, James R. (2000). „Teoria mnogości i logika”. Topologia (wyd. Drugie). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2 .
•   Rosen, Kenneth (2007). „Struktury podstawowe: zbiory, funkcje, sekwencje i sumy”. Matematyka dyskretna i jej zastosowania (wyd. Szóste). Boston: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-322972-0 .

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Przecięcie” . MathWorld .