Podstruktura (matematyka)

W logice matematycznej ( indukowana ) podstruktura lub ( indukowana ) podalgebra jest strukturą , której dziedzina jest podzbiorem większej struktury i której funkcje i relacje są ograniczone do domeny podstruktury. Niektóre przykłady podalgebr to podgrupy , submonoidy , podpierścienie , pola podrzędne , podalgebry algebr nad ciałem lub podgrafy indukowane . Zmieniając punkt widzenia, większą strukturę nazywamy przedłużeniem lub nadbudową jej podstruktury.

W teorii modeli termin „ podmodel ” jest często używany jako synonim podstruktury, zwłaszcza gdy kontekst sugeruje teorię, której obie struktury są modelami.

W obecności relacji (tj. dla struktur takich jak uporządkowane grupy lub grafy , których sygnatura nie jest funkcjonalna) sensowne może być złagodzenie warunków na podalgebrze, tak aby relacje na słabej podstrukturze (lub słabej podalgebrze ) były co najwyżej takie indukowane z większej struktury. Podgrafy są przykładem, w którym rozróżnienie ma znaczenie, a termin „podwykres” rzeczywiście odnosi się do słabych podstruktur. Grupy uporządkowane , z drugiej strony, mają tę szczególną właściwość, że każda podstruktura grupy uporządkowanej, która sama jest grupą uporządkowaną, jest podstrukturą indukowaną.

Definicja

Biorąc pod uwagę dwie struktury A i B o tej samej sygnaturze σ, mówi się, że A jest słabą podstrukturą B lub słabą podalgebrą B , jeśli

dziedzina A jest podzbiorem dziedziny B ,
fa ^ZA = fa ^B | _{A ⁿ} dla każdego n -arnego symbolu funkcji f w σ, oraz
R ^ZA ${\ Displaystyle \ subseteq}$ R ^b ${\ Displaystyle \ cap}$ ZA ⁿ dla każdego n -arnego symbolu relacji R w σ.

Mówimy, że A jest podstrukturą B lub podalgebrą B , jeśli A jest słabą podalgebrą B , a ponadto

R ^ZA = R ^b ${\ Displaystyle \ cap}$ ZA ⁿ dla każdego n -arnego symbolu relacji R w σ.

Jeśli A jest podstrukturą B , to B nazywamy nadbudową A lub , zwłaszcza jeśli A jest podstrukturą indukowaną, przedłużeniem A .

Przykład

W języku składającym się z funkcji binarnych + i ×, relacji binarnej < oraz stałych 0 i 1 struktura ( Q , +, ×, <, 0, 1) jest podstrukturą ( R , +, ×, <, 0, 1). Mówiąc bardziej ogólnie, substruktury uporządkowanego pola (lub po prostu pola ) są właśnie jego podpolami. Podobnie w języku grup (×, ⁻¹ , 1) podstrukturami grupy są jej podgrupy . Jednak w języku (×, 1) monoidów podstrukturami grupy są jej submonoidy . Nie muszą to być grupy; a nawet jeśli są grupami, nie muszą być podgrupami.

W przypadku grafów (w sygnaturze składającej się z jednej relacji binarnej) podgrafy i ich słabe podstruktury są właśnie jego podgrafami.

Jako podobiekty

Dla każdej sygnatury σ indukowane podstruktury σ-struktur są podobiektami w konkretnej kategorii σ-struktur i silnych homomorfizmów (a także w konkretnej kategorii σ-struktur i σ- osadzeń ). Słabe podstruktury σ-struktur są podobiektami w konkretnej kategorii σ-struktur i homomorfizmów w potocznym tego słowa znaczeniu.

Podmodel

teorii modeli, biorąc pod uwagę strukturę M , która jest modelem teorii T , podmodel M w węższym znaczeniu jest podstrukturą M , która jest również modelem T. Na przykład, jeśli T jest teorią grup abelowych w sygnaturze (+, 0), to podmodele grupy liczb całkowitych ( Z , +, 0) są podstrukturami, które są również grupami abelowymi. Zatem liczby naturalne ( N , +, 0) tworzą podstrukturę ( Z , +, 0), który nie jest podmodelem, natomiast liczby parzyste (2 Z , +, 0) tworzą podmodel.

Inne przykłady:

Liczby algebraiczne tworzą podmodel liczb zespolonych w teorii ciał algebraicznie domkniętych .
Liczby wymierne tworzą podmodel liczb rzeczywistych w teorii pól .
Każda elementarna podstruktura modelu teorii T również spełnia T ; stąd jest to podmodel.

W kategorii modeli teorii i zagnieżdżeń między nimi podmodelami modelu są jego podobiekty .

Zobacz też

Burris, Stanley N.; Sankappanavar, HP (1981), Kurs algebry uniwersalnej , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag
Diestel, Reinhard (2005) [1997], Graph Theory , Graduate Texts in Mathematics, tom. 173 (wyd. 3), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-26183-4
Hodges, Wilfrid (1997), Krótsza teoria modeli , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58713-6