Spektrum teorii

W teorii modeli , gałęzi logiki matematycznej , widmo teorii jest określone przez liczbę klas izomorfizmu modeli w różnych licznościach . Dokładniej, dla dowolnej kompletnej teorii T w języku zapisujemy I ( T , κ ) dla liczby modeli T (z dokładnością do izomorfizmu) o liczności κ . Problem widma polega na opisaniu możliwych zachowań ja ( T , κ ) jako funkcja κ . Został on prawie całkowicie rozwiązany dla przypadku teorii policzalnej T .

Wczesne wyniki

W tej sekcji T jest przeliczalną teorią zupełną, a κ jest liczbą kardynalną.

Twierdzenie Löwenheima-Skolema pokazuje, że jeśli I ( T , κ ) jest niezerowe dla jednego nieskończonego kardynała, to jest niezerowe dla wszystkich z nich.

Twierdzenie Morleya o kategoryczności było pierwszym głównym krokiem w rozwiązaniu problemu widma: stwierdza, że jeśli I ( T , κ ) wynosi 1 dla jakiegoś nieprzeliczalnego κ , to jest 1 dla wszystkich nieprzeliczalnych κ .

₀₀₀ Robert Vaught pokazał, że I ( T ,ℵ ) nie może wynosić 2. Łatwo jest znaleźć przykłady, gdzie jest to dowolna nieujemna liczba całkowita inna niż 2. Morley udowodnił, że jeśli I ( T ,ℵ ) jest nieskończone, to musi być ℵ lub ℵ ₁ lub 2 ^{ℵ ₀} . Nie wiadomo, czy może to być ℵ ₁ , jeśli hipoteza kontinuum jest fałszywa: nazywa się to hipotezą Vaughta i jest głównym pozostałym otwartym problemem (w 2005 r.) W teorii widma.

Problem Morleya był przypuszczeniem (obecnie twierdzeniem) zaproponowanym po raz pierwszy przez Michaela D. Morleya , że I ( T , κ ) nie maleje w κ dla niepoliczalnego κ . Zostało to udowodnione przez Saharon Shelah . W tym celu udowodnił bardzo głębokie twierdzenie o dychotomii.

Saharon Shelah dał prawie kompletne rozwiązanie problemu widma. Dla danej kompletnej teorii T albo ja ( T , κ ) = 2 ^κ dla wszystkich niezliczonych kardynałów κ , albo ${\ Displaystyle \ textstyle I (T, \ aleph _{\xi })<\beth _{\omega _{1}}(|\xi |)}$ dla wszystkich liczb porządkowych ξ (Zobacz numer Aleph i Numer Beth dla wyjaśnienia zapisu), który jest zwykle znacznie mniejszy niż granica w pierwszym przypadku. Z grubsza mówiąc oznacza to, że albo istnieje maksymalna możliwa liczba modeli we wszystkich niezliczonych licznościach, albo jest tylko „niewiele” modeli we wszystkich niezliczonych licznościach. Shelah podał również opis możliwych widm w przypadku niewielkiej liczby modeli.

Lista możliwych widm teorii policzalnej

Rozszerzając pracę Shelaha, Bradd Hart, Ehud Hrushovski i Michael C. Laskowski podali następujące kompletne rozwiązanie problemu widma dla policzalnych teorii w niezliczonych licznościach. Jeżeli T jest przeliczalną teorią zupełną, to liczba I( T , ℵ _α ) klas izomorfizmu modeli jest podawana dla liczb porządkowych α>0 o minimum 2 ^{ℵ _α} i jedną z następujących map:

2 ^{ℵ _α} . Przykłady: istnieje wiele przykładów, w szczególności każda nieklasyfikowalna lub głęboka teoria, taka jak teoria grafu losowego .
₀ ${\ Displaystyle \ beth _ {d + 1} (|\ alfa + \ omega |)}$ dla jakiejś policzalnej nieskończonej liczby porządkowej re . (Skończone d patrz przypadek 8.) Przykłady: Teoria z relacjami równoważności E _β dla wszystkich β z β+1< d , taka, że każda klasa E _γ jest sumą nieskończenie wielu klas E _β , a każda klasa E jest nieskończona .
${\ Displaystyle \ beth _ {d-1} (| \ alfa + \ omega | ^ {2 ^ {\ aleph _ {0}}})}$ dla jakiegoś skończonego dodatnia liczba porządkowa d . Przykład (dla d =1): teoria przeliczalnie wielu niezależnych predykatów jednoargumentowych.
${\ Displaystyle \ beth _ {d-1} (| \ alfa + \ omega | ^ {\ aleph _ {0}} + \ beth _ {2} )}$ dla jakiejś skończonej dodatniej liczby porządkowej d .
${\ Displaystyle \ beth _ {d-1} (|\ alfa + \ omega | + \ beth _ {2})}$ dla jakiejś skończonej dodatniej liczby porządkowej d ;
${\ Displaystyle \ beth _ {d-1} (|\ alfa + \ omega | ^ {\ aleph _ {0}})}$ dla jakiejś skończonej dodatniej liczby porządkowej re . Przykład (dla d =1): teoria przeliczalnych wielu rozłącznych predykatów jednoargumentowych.
${\ Displaystyle \ beth _ {d-1} (| \ alfa + \ omega | + \ beth _ {1})}$ dla jakiejś skończonej liczby porządkowej d ≥ 2;
${\ Displaystyle \ beth _ {d-1} (| \ alfa + \ omega |)}$ dla jakiejś skończonej dodatniej liczby porządkowej d ;
${\ Displaystyle \ beth _ {d-2} (|\ alfa + \ omega | ^ {|\ alfa + 1 |})}$ dla jakiejś skończonej liczby porządkowej d ≥2; Przykłady: podobnie jak w przypadku 2.
${\ Displaystyle \ beth _ {2}}$ . Przykład: teoria liczb całkowitych postrzeganych jako grupa abelowa.
${\ Displaystyle | (\ alfa + 1) ^ {n} / G | - | \ alfa ^ {n} / G |}$ dla skończonej α i | α | dla nieskończonego α, gdzie G jest pewną podgrupą grupy symetrycznej na n ≥ 2 elementach. Tutaj utożsamiamy α ⁿ ze zbiorem ciągów o długości n elementów zbioru o rozmiarze α. G działa na α ⁿ przez permutację elementów sekwencji i |α ⁿ / G | oznacza liczbę orbit tego działania. : teoria zbioru ω × n , na którą działa iloczyn wieńca G ze wszystkimi permutacjami ω.
${\ displaystyle 1}$ . Przykłady: teorie, które są kategoryczne w niezliczonych liczbach kardynalnych, takie jak teoria ciał algebraicznie domkniętych w danej charakterystyce.
${\ styl wyświetlania 0}$ . Przykłady: teorie z modelem skończonym i teoria sprzeczna.

Co więcej, wszystkie powyższe możliwości występują jako widmo pewnej przeliczalnej kompletnej teorii.

Liczba d na powyższej liście to głębia teorii. Jeśli T jest teorią, definiujemy nową teorię 2 ^T jako teorię z taką relacją równoważności, że istnieje nieskończenie wiele klas równoważności, z których każda jest modelem T . ${\ Displaystyle \ beth _ {n} (T)}$ przez $}$ T , ${\ Displaystyle \ beth _ {n + 1} (T) = 2 ^ {\ beth _ {n} (T)}}$ . wtedy ${\ Displaystyle I (\ beth _ {n} (T), \ lambda) = \ min ( \beth _{n}(I(T,\lambda )),2^{\lambda})}$ . Można to wykorzystać do skonstruowania przykładów teorii z widmami z powyższej listy dla nieminimalnych wartości d z przykładów dla minimalnej wartości d .

Zobacz też

Widmo zdania

CC Chang , HJ Keisler , Teoria modeli . ISBN 0-7204-0692-7
Saharon Shelah , „Teoria klasyfikacji i liczba modeli nieizomorficznych”, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics , tom. 92, IX, 1.19, s. 49 (Holandia Północna, 1990).
Hart, Bradd; Hruszowski, Ehud; Laskowski, Michael C. (2000). „Niepoliczalne widma policzalnych teorii”. Roczniki matematyki . 152 (1): 207–257. arXiv : matematyka/0007199 . Bibcode : 2000math......7199H . doi : 10.2307/2661382 . JSTOR 2661382 .
Bradd Hart, Michael C. Laskowski, „Przegląd niezliczonych widm teorii policzalnych”, Algebraic Model Theory , pod redakcją Harta, Lachlana, Valeriote (Springer, 1997). ISBN 0-7923-4666-1