Numer Beaty

W matematyce $jako$ w teorii mnogości liczby to pewna sekwencja liczb ( również pozaskończone ) $,$ gdzie drugą literą hebrajską ( beth ). Liczby beth są powiązane z liczbami aleph ( ${\ Displaystyle \ aleph _ {0}, \ \ aleph _ {1}, \ \ kropki}$ ), ale chyba że uogólniona hipoteza kontinuum jest prawdziwa, nie to liczby indeksowane przez $\ aleph}$ displaystyle , które nie są indeksowane przez ${\ displaystyle \ beth}$

Definicja

Liczby Beth są definiowane przez rekurencję pozaskończoną :

${\ Displaystyle \ beth _ {0} = \ aleph _ {0},}$
${\ Displaystyle \ beth _ {\ alfa + 1} = 2 ^ {\ beth _ {\ alfa}},}$
${\ Displaystyle \ beth _ {\ lambda} = \ sup \ {\ beth _ {\ alfa}: \ alfa <\ lambda \},}$

gdzie $porządkową$ $porządkową$ i jest liczbą graniczną .

Kardynał $takiego$ licznością dowolnego nieskończonego zbioru, jak zbiór liczb , tak że ${N}}$ mathbb ${\ Displaystyle \ beth _ {0} = | \ mathbb {N} |}$ .

Niech $będzie$ $liczbą porządkową$ i zbiorem ${\ Displaystyle \ beth _ {\ alfa} = | A _ {\ alfa} |}$ . Następnie,

$mathcal {P}} (A _ {\ alfa})}$ ${\ Displaystyle A _ {\ alfa}}$ $zbiór$ potęg ( tj . zbiór wszystkich podzbiorów ),
zbiór ${\ Displaystyle 2 ^ {A _ {\ alfa}} \ podzbiór {\ mathcal {P}} (A_ {\ alfa} \ razy 2)} oznacza zbiór$ wszystkich funkcje od do {0,1}, ZA ${\ Displaystyle A _ {\ alfa}$
kardynał $_$ wynikiem i _
${\ Displaystyle \ beth _ {\ alfa + 1} = 2 ^ {\ beth _ {\ alfa}} = | 2 ^ {A _ {\ alfa}} | = | {\ mathcal {P}} (A_ {\ alfa} })|}$ to liczność zbioru mocy ZA $}$ .

Biorąc pod uwagę tę definicję,

{\ Displaystyle \ beth _ {0}, \ \ beth _ {1}, \ \ beth _ {2}, \ \ beth _ {3}, \ \ kropki}

są odpowiednio licznościami

{\ Displaystyle \ mathbb {N}, \ {\ mathcal {P}} (\ mathbb {N}), \ {\ mathcal {P}} ({\ mathcal {P}} (\ mathbb {N})), \ {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N})}),\ \dots .}

tak, że druga liczba beth jest równa , $\ Displaystyle \$ kontinuum (liczności zbioru liczb rzeczywistych ) $beth _ {1}$ } , a trzeci numer beth $.$ zbioru mocy kontinuum

Z powodu twierdzenia Cantora każdy zbiór w poprzedzającym ciągu ma liczność ściśle większą od poprzedzającego go zbioru. Dla nieskończonych granicznych liczb porządkowych , λ, odpowiednia liczba bet jest zdefiniowana jako supremum liczb bet dla wszystkich liczb porządkowych ściśle mniejszych niż λ:

{\ Displaystyle \ beth _ {\ lambda} = \ sup \ {\ beth _ {\ alfa}: \ alfa <\ lambda \}.}

Można również pokazać, że $_ {\ omega + \ alfa}}$ von Neumanna mają liczność . $\ Displaystyle V$ .

Związek z liczbami alefów

Zakładając aksjomat wyboru , nieskończone liczności są uporządkowane liniowo ; żadne dwie liczebności nie mogą nie być porównywalne. Tak więc, ponieważ z definicji między $,$ wynika z tego, że ℵ $displaystyle \ aleph _ {0}}$

{\ Displaystyle \ beth _ {1} \ geq \ aleph _ {1}.}

Powtarzanie tego argumentu (patrz indukcja pozaskończona ) daje dla wszystkich liczb porządkowych $Displaystyle \ beth _ {\ alfa} \ geq \ aleph _ {\ alfa}$ $}$ .

Hipoteza kontinuum jest równoważna

{\ Displaystyle \ beth _ {1} = \ aleph _ {1}.}

Uogólniona hipoteza kontinuum mówi $.$ sekwencja liczb beth jest taka sama jak sekwencja , tj dla wszystkich liczby porządkowe ${\ displaystyle \ alpha}$ .

Konkretni kardynałowie

Beth null

Ponieważ jest to zdefiniowane jako $null$ aleph , zestawy z licznością $ℵ {\ Displaystyle \ aleph _ {0}}$ :

liczby naturalne N
liczby wymierne Q
liczby algebraiczne
liczby obliczalne i zbiory obliczalne
zbiór skończonych zbiorów liczb całkowitych
zbiór skończonych multizbiorów liczb całkowitych
zbiór skończonych ciągów liczb całkowitych

Beta jeden

Zestawy z licznością obejmują: ${\ Displaystyle \ beth _ {1}}$

liczby transcendentalne
liczby niewymierne
liczby rzeczywiste r
liczby zespolone C
nieobliczalne liczby rzeczywiste
Przestrzeń euklidesowa R ⁿ
zbiór potęg liczb naturalnych (zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych)
zbiór ciągów liczb całkowitych (tj. wszystkie funkcje N → Z , często oznaczane Z ^N )
zbiór ciągów liczb rzeczywistych, R ^N
zbiór wszystkich rzeczywistych funkcji analitycznych od R do R
zbiór wszystkich funkcji ciągłych od R do R
zbiór skończonych podzbiorów liczb rzeczywistych
zbiór wszystkich funkcji analitycznych od C do C ( funkcje holomorficzne )

Beta dwa

${\ Displaystyle \ beth _ {2}}$ (wymawiane beth dwa ) jest również określane jako 2 ^do (wymawiane dwa do potęgi c ).

Zestawy z licznością obejmują: ${\ displaystyle \ beth _ {2}}$

Potęga zbioru liczb rzeczywistych , czyli liczba podzbiorów prostej rzeczywistej , czyli liczba zbiorów liczb rzeczywistych
Potęgowy zbiór potęg zbioru liczb naturalnych
Zbiór wszystkich funkcji od R do R ( R ^R )
Zbiór wszystkich funkcji ^od Rm ^do Rn
Potęga zbioru wszystkich funkcji od zbioru liczb naturalnych do samej siebie, czyli jest to liczba zbiorów ciągów liczb naturalnych
Stone'a - Čecha R , Q i N
Zbiór deterministycznych fraktali w R ⁿ
Zbiór losowych fraktali w R ⁿ

Beata Omega

${\ Displaystyle \ beth _ {\ omega}}$ (wymawiane beth omega ) to najmniejszy niepoliczalny silny limit kardynalny .

Uogólnienie

Bardziej ogólny symbol $porządkowych$ liczb i kardynałów jest czasami Jest to określone przez:

{\ Displaystyle \ beth _ {0} (\ kappa) = \ kappa,}

{\ Displaystyle \ beth _ {\ alfa + 1} (\ kappa) = 2 ^ {\ beth _ {\ alfa} (\ kappa)}}

{\ Displaystyle \ beth _ {\ lambda }(\kappa )=\sup\{\beth _{\alpha }(\kappa):\alpha <\lambda \}}

jeśli λ jest graniczną liczbą porządkową.

Więc

{\ Displaystyle \ beth _ {\ alfa} = \ beth _ {\ alfa} (\ aleph _ {0}).}

W teorii mnogości Zermelo-Fraenkla (ZF) dla dowolnych kardynałów κ i μ istnieje liczba porządkowa α taka, że:

{\ Displaystyle \ kappa \ równoważnik \ beth _ {\ alfa} (\ mu).}

A w ZF dla dowolnych kardynałów κ i porządkowych α i β :

{\ Displaystyle \ beth _ {\ beta} (\ beth _ {\ alfa} (\ kappa)) = \ beth _ {\ alfa + \ beta} (\ kappa).}

W konsekwencji, w ZF nieobecnych elementów ur z aksjomatem wyboru lub bez , dla dowolnych kardynałów κ i μ , równość

{\ Displaystyle \ beth _ {\ beta} (\ kappa) = \ beth _ {\ beta} (\ mu)}

dotyczy wszystkich dostatecznie dużych liczb porządkowych β. Oznacza to, że istnieje liczba porządkowa α taka, że równość zachodzi dla każdej liczby porządkowej β ≥ α .

Dotyczy to również teorii mnogości Zermelo-Fraenkla z elementami ur (z aksjomatem wyboru lub bez), pod warunkiem, że elementy ur tworzą zbiór, który jest równoliczny z czystym zbiorem (zbiorem, którego domknięcie przechodnie nie zawiera elementów ur ). Jeśli obowiązuje aksjomat wyboru, to każdy zbiór elementów ur jest równoliczny z czystym zbiorem.

Determinacja Borela

Determinacja borelowska jest implikowana przez istnienie wszystkich zakładów o policzalnym indeksie.

Zobacz też

^ Jech, Tomasz (2002). Teoria mnogości (wydanie z trzeciego tysiąclecia, poprawione i rozszerzone. Poprawione wydanie czwarte, wyd. 2006). Skoczek. P. 55. ISBN 978-3-540-44085-7 .
^ ^a ^b „numery bet” . planetmath.org . Źródło 2020-09-05 .
^ Soltanifar, Mohsen (2021). „Uogólnienie twierdzenia o wymiarze Hausdorffa dla fraktali deterministycznych” . Matematyka . 9 (13): 1546. doi : 10.3390/math9131546 .
^ Soltanifar, Mohsen (2022). „Drugie uogólnienie twierdzenia o wymiarze Hausdorffa dla losowych fraktali” . Matematyka . 10 (5): 706. doi : 10.3390/math10050706 .
^ Leinster, Tom (23 lipca 2021). „Wyznaczanie Borela nie wymaga wymiany” . Kawiarnia kategorii n . Uniwersytet Teksasu w Austin . Źródło 25 sierpnia 2021 r .

Bibliografia

TE Forster , Set Theory with a Universal Set: Exploring an Untyped Universe , Oxford University Press , 1995 — Liczba Beth jest zdefiniowana na stronie 5.
Bell, John Lane ; Slomson, Alan B. (2006) [1969]. Modele i ultraprodukty: wprowadzenie (przedruk z 1974 r.). Publikacje Dover . ISBN 0-486-44979-3 . Zobacz strony 6 i 204–205, aby znaleźć numery bet.
Roitman, Judyta (2011). Wprowadzenie do współczesnej teorii mnogości . Uniwersytet Wirginii Commonwealth . ISBN 978-0-9824062-4-3 . Zobacz stronę 109, gdzie znajdziesz numery bet.

[1] Jech, Tomasz (2002). Teoria mnogości (wydanie z trzeciego tysiąclecia, poprawione i rozszerzone. Poprawione wydanie czwarte, wyd. 2006). Skoczek. P. 55. ISBN 978-3-540-44085-7 .

[:1-2] „numery bet” . planetmath.org . Źródło 2020-09-05 .

[:3-3] Soltanifar, Mohsen (2021). „Uogólnienie twierdzenia o wymiarze Hausdorffa dla fraktali deterministycznych” . Matematyka . 9 (13): 1546. doi : 10.3390/math9131546 .

[:4-4] Soltanifar, Mohsen (2022). „Drugie uogólnienie twierdzenia o wymiarze Hausdorffa dla losowych fraktali” . Matematyka . 10 (5): 706. doi : 10.3390/math10050706 .

[5] Leinster, Tom (23 lipca 2021). „Wyznaczanie Borela nie wymaga wymiany” . Kawiarnia kategorii n . Uniwersytet Teksasu w Austin . Źródło 25 sierpnia 2021 r .