Aksjomat globalnego wyboru

W matematyce , a konkretnie w teoriach klas , aksjomat globalnego wyboru jest silniejszym wariantem aksjomatu wyboru , który dotyczy zarówno właściwych klas zbiorów , jak i zbiorów zbiorów. Nieformalnie stwierdza, że ​​można jednocześnie wybrać element z każdego niepustego zbioru.

Oświadczenie

Aksjomat globalnego wyboru mówi, że istnieje globalna funkcja wyboru τ, czyli taka funkcja, że ​​dla każdego niepustego zbioru z , τ( z ) jest elementem z .

Aksjomatu globalnego wyboru nie można wyrazić bezpośrednio w języku ZFC ( teoria mnogości Zermelo –Fraenkla z aksjomatem wyboru), ponieważ funkcja wyboru τ jest klasą właściwą, aw ZFC nie można kwantyfikować po klasach. Można to stwierdzić dodając do języka ZFC nowy symbol funkcji τ, z tą właściwością, że τ jest funkcją globalnego wyboru. Jest to konserwatywne rozszerzenie ZFC: każde dające się udowodnić stwierdzenie tej rozszerzonej teorii, które można sformułować w języku ZFC, jest już dowodliwe w ZFC ( Fraenkel, Bar-Hillel i Levy 1973 , s.72). Alternatywnie, Gödel pokazał, że mając aksjomat konstrukcyjności można zapisać jawną (choć nieco skomplikowaną) funkcję wyboru τ w języku ZFC, więc w pewnym sensie aksjomat konstrukcyjności implikuje wybór globalny (w rzeczywistości (ZFC to udowadnia) w języku rozszerzonym o symbol funkcji jednoargumentowej τ, aksjomat konstruowalności implikuje, że jeśli τ jest funkcją jawnie definiowalną, to ta τ jest funkcją globalnego wyboru .

W języku teorii mnogości von Neumanna-Bernaysa-Gödla (NBG) i teorii mnogości Morse'a-Kelleya aksjomat globalnego wyboru można sformułować bezpośrednio ( Fraenkel, Bar-Hillel & Levy 1973 , s.133) i jest równoważny różne inne stwierdzenia:

• Każda klasa zbiorów niepustych ma funkcję wyboru .
• V \ {∅} ma funkcję wyboru (gdzie V jest klasą wszystkich zbiorów ).
• Istnieje dobre uporządkowanie V .
• Istnieje bijekcja między V a klasą wszystkich liczb porządkowych .

W teorii mnogości von Neumanna – Bernaysa – Gödla globalny wybór nie dodaje żadnych konsekwencji dotyczących zbiorów (nie klas właściwych) poza tym, co można by wywnioskować ze zwykłego aksjomatu wyboru.

Globalny wybór jest konsekwencją aksjomatu ograniczenia rozmiaru .

•    Fraenkel, Abraham A .; Bar-Hillel, Jehoszua ; Levy, Azriel (1973), Podstawy teorii mnogości , Studia z logiki i podstawy matematyki, tom. 67 (drugie poprawione wydanie), Amsterdam-Londyn: North-Holland Publishing Co., ISBN 978-0720422702 , MR 0345816
•   Jech, Thomas , 2003. Teoria mnogości: wydanie z trzeciego tysiąclecia, poprawione i rozszerzone . Skoczek. ISBN 3-540-44085-2 .
•   Johna L. Kelleya ; Topologia ogólna ; ISBN 0-387-90125-6