Aksjomat nieskończoności

W aksjomatycznej teorii mnogości oraz gałęziach matematyki i filozofii , które jej używają, aksjomat nieskończoności jest jednym z aksjomatów teorii mnogości Zermelo – Fraenkla . Gwarantuje istnienie co najmniej jednego zbioru nieskończonego , a mianowicie zbioru zawierającego liczby naturalne . Po raz pierwszy została opublikowana przez Ernsta Zermelo jako część jego teorii mnogości w 1908 roku.

Oświadczenie formalne

W formalnym języku aksjomatów Zermelo – Fraenkla aksjomat brzmi:

${\ Displaystyle \ istnieje \ mathbf {I} \, (\ pusty zbiór \ w \ mathbf {I} \, \ ziemia \, \ forall x \ in \ mathbf {I} \, (\, (x \ kubek \ {x \})\w \mathbf {I} )).}$

Słowem, istnieje zbiór I (zbiór , który postuluje się jako nieskończony), taki, że zbiór pusty jest w I , i taki, że ilekroć dowolny x jest członkiem I , zbiór utworzony przez połączenie x z jego singleton { x } jest również członkiem I . Taki zbiór nazywany jest czasem zbiorem indukcyjnym .

Interpretacja i konsekwencje

Aksjomat ten jest ściśle powiązany z konstrukcją liczb naturalnych von Neumanna w teorii mnogości, w której następnik x jest zdefiniowany jako x ∪ { x }. Jeśli x jest zbiorem, to z innych aksjomatów teorii mnogości wynika, że ​​następca ten jest również zbiorem jednoznacznie zdefiniowanym. Następniki są używane do definiowania zwykłego kodowania liczb naturalnych w teorii mnogości . W tym kodowaniu zero jest zbiorem pustym:

0 = {}.

Liczba 1 jest następcą 0:

1 = 0 ∪ {0} = {} ∪ {0} = {0} = {{}}.

Podobnie, 2 jest następcą 1:

2 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {0,1} = { {}, {{}} },

i tak dalej:

3 = {0,1,2} = { {}, {{}}, {{}, {{}}}};

4 = {0,1,2,3} = { {}, {{}}, { {}, {{}} }, { {}, {{}}, {{}, {{}}} } }.

Konsekwencją tej definicji jest to, że każda liczba naturalna jest równa zbiorowi wszystkich poprzedzających ją liczb naturalnych. Liczba elementów w każdym zestawie na najwyższym poziomie jest taka sama jak reprezentowana liczba naturalna, a głębokość zagnieżdżenia najgłębiej zagnieżdżonego zbioru pustego {}, w tym jego zagnieżdżenia w zbiorze reprezentującym liczbę, której jest część, jest również równa liczbie naturalnej, którą reprezentuje zbiór.

Ta konstrukcja tworzy liczby naturalne. Jednak inne aksjomaty są niewystarczające, aby udowodnić istnienie zbioru wszystkich liczb naturalnych. ${\ displaystyle \ mathbb {N} _ {0}}$ . Dlatego jego istnienie jest traktowane jako aksjomat – aksjomat nieskończoności. Ten aksjomat stwierdza, że ​​istnieje zbiór I , który zawiera 0 i jest domknięty w wyniku operacji przyjmowania następnika; to znaczy dla każdego elementu I , następnik tego elementu jest również w I .

Zatem istotą aksjomatu jest:

Istnieje zbiór I , który zawiera wszystkie liczby naturalne.

Aksjomat nieskończoności jest również jednym z aksjomatów von Neumanna – Bernaysa – Gödla .

Wyciąganie liczb naturalnych ze zbioru nieskończonego

Zbiór nieskończony I jest nadzbiorem liczb naturalnych. Aby pokazać, że same liczby naturalne stanowią zbiór, schemat aksjomatu specyfikacji w celu usunięcia niepożądanych elementów, pozostawiając zbiór N wszystkich liczb naturalnych. Ten zestaw jest wyjątkowy ze względu na aksjomat ekstensjonalności .

Aby wyodrębnić liczby naturalne, potrzebujemy definicji, które zbiory są liczbami naturalnymi. Liczby naturalne można zdefiniować w sposób, który nie zakłada żadnych aksjomatów poza aksjomatem ekstensjonalności i aksjomatem indukcji — liczba naturalna jest albo zerem, albo następnikiem, a każdy jej element jest albo zerem, albo następnikiem innego ze swoich elementy. W języku formalnym definicja mówi:

${\ Displaystyle \ forall n (n \ in \ mathbf {N} \ iff ([n = \ pusty zbiór \, \, \ lor \, \, \ istnieje k (n = k \ kubek \ {k \})] \ ,\,\land \,\,\forall m\in n[m=\emptyset \,\,\lor \,\,\exists k\in n(m=k\cup \{k\})]) ).}$

Lub jeszcze bardziej formalnie:

${\ Displaystyle \ forall n (n \ w \ mathbf {N} \iff ([\forall k(\lnot k\in n)\lor \exists k\forall j(j\in n\iff (j\in k\lor j=k))]\land }$

$_ \forall m(m\in n\Strzałka w prawo [\forall k(\lnot k\in m)\lor \exists k(k\in n\land \forall j(j\in m\iff (j\in k\ lub j=k)))]))).}$

Alternatywna metoda

Alternatywna metoda jest następująca. Niech będzie formułą, która mówi, że „x jest indukcyjne”; ${\ displaystyle \ Phi (x)}$ tj. ${\ Displaystyle \ Phi (x) = (\ pusty zestaw \ w x \ klin \ dla wszystkich y ( y\w x\to (y\cup \{y\}\in x)))}$ . Nieformalnie zajmiemy się przecięciem wszystkich zbiorów indukcyjnych. Bardziej formalnie, chcemy udowodnić istnienie unikalnego zestawu takiego, że ${\ displaystyle W}$

${\ Displaystyle \ forall x (x \ in W \ leftrightarrow \ for all I (\ Phi (I) \ do x \ in I)).}$ (*)

Dla istnienia użyjemy Aksjomatu Nieskończoności w połączeniu ze schematem Aksjomatu specyfikacji . Niech $zbiorem$ indukcyjnym gwarantowanym przez aksjomat nieskończoności. $}}$ używamy $_ ($$\$ - tj. jest zbiorem wszystkich elementów, $które$ są również elementami każdego innego zestawu indukcyjnego To wyraźnie spełnia hipotezę (*), ponieważ jeśli , to jest $zbiorze$ indukcyjnym, a jeśli jest w każdym zbiorze indukcyjnym $Displaystyle$$x \ w W} ,$ to jest w szczególności w $więc$ musi być również $.$

Aby uzyskać wyjątkowość, najpierw zauważ, że każdy zestaw, który spełnia (*) sam jest indukcyjny, ponieważ 0 występuje we wszystkich zestawach indukcyjnych, a jeśli element znajduje się we wszystkich zestawach indukcyjnych, to zgodnie z właściwością indukcyjną jest również jego następcą ${\ displaystyle x}$ . Tak $mielibyśmy$$Displaystyle W \ subseteq W'}$ istniał inny zestaw $,$$),$ to ponieważ i $jest$ indukcyjny . ${\ displaystyle W = W'$ } . Niech $oznacza ten$ element.

$\ styl wyświetlania I=\omega}$$jest$ ponieważ natychmiast następuje zasada indukcji : $indukcyjny$ , to także więc .

$, które$ aksjomaty arytmetyki drugiego rzędu , ponieważ aksjomat zbioru potęg pozwala nam kwantyfikować na zbiorze potęg , jak w logice drugiego rzędu . Tak więc oba całkowicie określają izomorficzne , a ponieważ są izomorficzne pod mapą tożsamości , w rzeczywistości muszą być równe .

Z pozoru słabsza wersja

Niektóre stare teksty używają pozornie słabszej wersji aksjomatu nieskończoności, a mianowicie:

${\ Displaystyle \ istnieje x \, (\ istnieje y \, (y \ w x) \, \ ziemia \, \ forall y (y \ w x \, \ strzałka w prawo \, \ istnieje z (z \ w x \, \land \,y\subsetneq z)))\,.}$

To mówi, że istnieje element w x i dla każdego elementu y w x istnieje inny element x , który jest ścisłym nadzbiorem y . Oznacza to, że x jest zbiorem nieskończonym, nie mówiąc wiele o jego strukturze. Jednak za pomocą innych aksjomatów ZF możemy pokazać, że implikuje to istnienie ω. Po pierwsze, jeśli weźmiemy potęgę dowolnego nieskończonego zbioru x , to ta potęga będzie zawierała elementy, które są podzbiorami x o każdej skończonej liczności (między innymi podzbiorami x ). Udowodnienie istnienia tych skończonych podzbiorów może wymagać albo aksjomatu separacji, albo aksjomatów parowania i łączenia. Następnie możemy zastosować aksjomat zastępowania, aby zastąpić każdy element tego potęgi x przez początkową liczbę porządkową o tej samej liczności (lub zero, jeśli nie ma takiej liczby porządkowej). Rezultatem będzie nieskończony zbiór liczb porządkowych. Następnie możemy zastosować do tego aksjomat sumy, aby otrzymać liczbę porządkową większą lub równą ω.

Niezależność

Aksjomatu nieskończoności nie można udowodnić na podstawie innych aksjomatów ZFC, jeśli są one spójne. (Aby zobaczyć dlaczego, zauważ, że ZFC ${\ displaystyle \ vdash} Con (ZFC - Infinity) i użyj$ drugiego twierdzenia Gödla o niezupełności .)

Zaprzeczenia aksjomatu nieskończoności nie można wyprowadzić z pozostałych aksjomatów ZFC, jeśli są one spójne. (Jest to równoznaczne ze stwierdzeniem, że ZFC jest niesprzeczne, jeśli inne aksjomaty są niesprzeczne.) Wierzymy w to, ale nie możemy tego udowodnić (jeśli to prawda).

Rzeczywiście, używając wszechświata von Neumanna , możemy zbudować model ZFC – Nieskończoność + (¬Nieskończoność). Jest to klasa dziedzicznie $skończonych$ zbiorów z odziedziczoną relacją Należy zauważyć, że jeśli aksjomat zbioru pustego nie jest traktowany jako część tego systemu (ponieważ można go wyprowadzić z ZF + Nieskończoność), to pusta dziedzina również spełnia ZFC – Nieskończoność + ¬Nieskończoność, ponieważ wszystkie jej aksjomaty są uniwersalnie skwantyfikowane, a zatem trywialnie spełnione, jeśli nie istnieje żaden zbiór.

Liczność zbioru liczb naturalnych, aleph null ( $.$ , ma wiele właściwości dużego kardynała Tak więc aksjomat nieskończoności jest czasami uważany za pierwszy duży aksjomat kardynalny i odwrotnie, duże aksjomaty kardynalne są czasami nazywane silniejszymi aksjomatami nieskończoności.

Zobacz też

• Aksjomaty Peano
• Finizm

•   Paul Halmos (1960) Naiwna teoria mnogości . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company. Przedruk 1974 przez Springer-Verlag. ISBN 0-387-90092-6 .
•   Thomas Jech (2003) Teoria mnogości: wydanie z trzeciego tysiąclecia, poprawione i rozszerzone . Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2 .
•   Kenneth Kunen (1980) Teoria mnogości: wprowadzenie do dowodów niezależności . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 .
•   Hrbaczek, Karel; Jech, Thomas (1999). Wprowadzenie do teorii mnogości (wyd. 3). Marcela Dekkera. ISBN 0-8247-7915-0 .