Pusta domena




obowiązują tylko sprzeczności w kwadracie opozycji , ponieważ domeny mogą być puste. (Czarne obszary są puste, czerwone obszary nie są puste).

W logice pierwszego rzędu pusta . dziedzina jest pustym zbiorem, który nie ma członków W logice tradycyjnej i klasycznej dziedziny logiki są w ograniczonym stopniu niepuste, aby pewne twierdzenia były ważne. Interpretacje z pustą domeną okazują się błahymi przypadkami przez konwencję zapoczątkowaną co najmniej w 1927 roku przez Bernaysa i Schönfinkela (choć prawdopodobnie wcześniej), ale często przypisywaną Quine'owi 1951. Konwencja polega na przypisaniu dowolnej formuły zaczynającej się od uniwersalnego kwantyfikatora wartość prawda , podczas gdy każda formuła rozpoczynająca się od kwantyfikatora egzystencjalnego ma przypisaną wartość fałsz . Wynika to z idei, że twierdzenia skwantyfikowane egzystencjalnie mają znaczenie egzystencjalne (tj. implikują istnienie czegoś), podczas gdy twierdzenia skwantyfikowane uniwersalnie nie. Ta interpretacja podobno wywodzi się od George'a Boole'a z końca XIX wieku, ale jest to dyskusyjne. We współczesnej teorii modeli od razu wynikają warunki prawdziwości zdań skwantyfikowanych:

Innymi słowy, kwantyfikacja egzystencjalna formuły otwartej φ jest prawdziwa w modelu, jeśli istnieje jakiś element w dziedzinie (modelu), który spełnia formułę; tzn. jeśli ten element ma właściwość określoną formułą otwartą. Uniwersalna kwantyfikacja formuły otwartej φ jest prawdziwa w modelu, jeśli każdy element w dziedzinie spełnia tę formułę. (Zauważ, że w metajęzyku „wszystko, co jest takie, że X jest takie, że Y” jest interpretowane jako uniwersalne uogólnienie warunku materialnego „jeśli coś jest takie, że X, to jest takie, że Y”. Podane są również kwantyfikatory ich zwykłe przedmiotowe odczytania, tak że pozytywne twierdzenie egzystencjalne ma znaczenie egzystencjalne, podczas gdy uniwersalne nie.) Analogiczny przypadek dotyczy pustej koniunkcji i pustej dysjunkcji. Zdania semantyczne odpowiednio dla spójników i alternatyw są podane przez

  • .

Łatwo zauważyć, że pusta koniunkcja jest trywialnie prawdziwa, a pusta dysjunkcja trywialnie fałszywa.

Logiki, których twierdzenia są ważne w każdej dziedzinie, w tym pustej, zostały po raz pierwszy rozważone przez Jaskowskiego 1934, Mostowskiego 1951, Hailperina 1953, Quine'a 1954, Leonarda 1956 i Hintikkę 1959. Podczas gdy Quine nazwał taką logikę logiką „inkluzywną”, obecnie nazywa się ją logiką jako wolna logika .

Zobacz też