Miara Banacha
W matematycznej dyscyplinie teorii miary miara Banacha jest pewnym rodzajem treści służących do formalizacji obszaru geometrycznego w problemach podatnych na aksjomat wyboru .
Tradycyjnie intuicyjne pojęcia powierzchni są sformalizowane jako klasyczna, przeliczalnie addytywna miara. Ma to niefortunny skutek w postaci pozostawiania niektórych zestawów bez dobrze zdefiniowanego obszaru; konsekwencją jest to, że niektóre przekształcenia geometryczne nie pozostawiają obszaru niezmiennego, co jest istotą Banacha-Tarskiego . Miara Banacha jest rodzajem miary uogólnionej mającej na celu ominięcie tego problemu.
Miara Banacha na zbiorze Ω jest skończoną , skończenie addytywną miarą μ ≠ 0 , zdefiniowaną dla każdego podzbioru ℘(Ω) , i której wartość wynosi 0 na skończonych podzbiorach.
Miara Banacha na Ω , która przyjmuje wartości w {0, 1 }, nazywana jest miarą Ulama na Ω .
Jak pokazuje paradoks Witalija , miar Banacha nie da się wzmocnić do przeliczalnie addytywnych.
Stefan Banach wykazał, że dla płaszczyzny euklidesowej można zdefiniować miarę Banacha zgodną ze zwykłą miarą Lebesgue'a . Oznacza to, że każdy podzbiór mierzalny Lebesgue'a przez Banacha, co oznacza, że obie miary są równe
Istnienie tej miary dowodzi niemożliwości paradoksu Banacha-Tarskiego w dwóch wymiarach: nie jest możliwe rozłożenie dwuwymiarowego zbioru skończonej miary Lebesgue'a na skończenie wiele zbiorów, które można ponownie złożyć w zbiór o innej mierze, ponieważ naruszyłoby to właściwości miary Banacha, która rozszerza miarę Lebesgue'a.