Opisowa teoria mnogości

W logice matematycznej opisowa teoria mnogości ( DST ) jest badaniem pewnych klas „ dobrych ” podzbiorów prostej rzeczywistej i innych polskich przestrzeni . Oprócz tego, że jest jednym z głównych obszarów badań w teorii mnogości , ma zastosowanie w innych obszarach matematyki, takich jak analiza funkcjonalna , teoria ergodyczna , badanie algebr operatorów i działań grupowych oraz logika matematyczna .

polskie przestrzenie

Opisowa teoria mnogości zaczyna się od badania polskich przestrzeni i ich zbiorów borelowskich .

Przestrzeń polska jest drugą przeliczalną przestrzenią topologiczną , która jest metryzowalna z pełną metryką . Heurystycznie jest to kompletna rozdzielna przestrzeń metryczna , której metryka została „zapomniana”. $Przykłady$ obejmują linię $rzeczywistą$ , przestrzeń przestrzeń Cantora $_$ _ kostka Hilberta ja $\ Displaystyle I ^ {\ mathbb {N}}}$ .

Właściwości uniwersalności

Klasa przestrzeni polskich ma kilka własności uniwersalności, które pokazują, że rozważanie przestrzeni polskich o pewnych formach ograniczonych nie powoduje utraty ogólności.

Każda polska przestrzeń jest homeomorficzna z podprzestrzenią G _δ sześcianu Hilberta , a każda podprzestrzeń G _δ sześcianu Hilberta jest polska.
Każda polska przestrzeń jest otrzymywana jako ciągły obraz przestrzeni Baire'a; właściwie każda polska przestrzeń jest obrazem bijekcji ciągłej określonej na domkniętym podzbiorze przestrzeni Baire'a. Podobnie każda zwarta polska przestrzeń jest ciągłym obrazem przestrzeni Cantora.

Ze względu na te właściwości uniwersalności i ponieważ przestrzeń Baire'a ma wygodną właściwość, że jest homeomorficzna z $\ Displaystyle {\ mathcal {N}} ^ {\ omega$ $}$ , wiele wyników w opisowej teorii mnogości zostało udowodnionych w kontekście samej przestrzeni Baire'a.

Zestawy Borela

Klasa zbiorów borelowskich przestrzeni topologicznej X składa się ze wszystkich zbiorów najmniejszej σ-algebry zawierającej zbiory otwarte X . Oznacza to, że zbiory Borela X są najmniejszym zbiorem zbiorów takich, że:

Każdy otwarty podzbiór X jest zbiorem borelowskim.
Jeśli A jest zbiorem borelowskim, tak samo jest ${\ displaystyle X \ setminus A}$ . Oznacza to, że klasa zbiorów borelowskich jest domknięta pod wpływem dopełnienia.
Jeśli A _n $.$ zbiorem borelowskim dla każdej liczby naturalnej , suma jest zbiorem borelowskim Oznacza to, że zbiory Borela są domknięte pod przeliczalnymi związkami.

Fundamentalny wynik pokazuje, że dowolne dwie nieprzeliczalne polskie przestrzenie X i Y są borelowskie izomorficzne : istnieje bijekcja od X do Y taka, że preobrazem dowolnego zbioru borelowskiego jest borelowski, a obrazem dowolnego zbioru borelowskiego jest borelowski. Daje to dodatkowe uzasadnienie praktyce ograniczania uwagi do przestrzeni Baire'a i przestrzeni Cantora, ponieważ te i inne polskie przestrzenie są wszystkie izomorficzne na poziomie zbiorów borelowskich.

Hierarchia Borela

Każdy zbiór borelowski polskiej przestrzeni jest klasyfikowany w hierarchii borelowskiej na podstawie tego, ile razy należy wykonać operacje sumowania przeliczalnego i dopełniania, aby otrzymać zbiór, zaczynając od zbiorów otwartych. Klasyfikacja jest pod względem policzalnych liczb porządkowych . Dla każdej niezerowej policzalnej liczby porządkowej α istnieją klasy ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {\ alfa} ^ {0}}$ , ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Pi} _ {\ alfa} ^ {0 }}$ i ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Delta} _ {\ alfa} ^ {0}}$ .

Każdy zbiór otwarty jest deklarowany jako ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {1} ^ {0}}$ .
Zbiór deklaruje się jako ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Pi} _ {\ alfa} ^ {0}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jego uzupełnieniem jest ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {\ alfa} ^{0}}$ .
Zbiór A deklaruje się jako $każdy$ δ 1, jeśli istnieje sekwencja ⟨ A _i ⟩ zestawów, z których jest ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Pi} _ {\ lambda (i)} ^ {0}}$ dla pewnego λ ( ja ) < δ , tak że ${\ Displaystyle A = \ bigcup A_ {i}}$ .
Zbiór jest ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Delta} _ {\ alfa} ^ {0}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest zarówno ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {\ alfa} ^ {0 }}$ i ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Pi} _ {\ alfa} ^ {0}}$ .

Twierdzenie pokazuje, że każdy zbiór, który jest ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {\ alfa} ^ {0}}$ lub ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Pi} _ {\ alfa} ^ {0} Δ$ $+ 1} ^ {0}}$ alfa dowolna ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Delta} _ {\ beta} ^ {0} }$ zestaw jest zarówno ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {\ alfa} ^ {0}},$ jak i dla wszystkich α ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Pi} _ {\ alfa} ^ {0}}$ > β . Zatem hierarchia ma następującą strukturę, gdzie strzałki wskazują włączenie.

${\ Displaystyle {\begin{macierz}&&\mathbf {\Sigma } _{1}^{0}&&&&\mathbf {\Sigma} _{2}^{0}&&\cdots \\&\nearrow &&\searrow &&\nearrow \\\mathbf {\Delta} _ {1}^{0}&&&&\mathbf {\Delta} _{2}^{0}&&&&\cdots \\&\searrow &&\nearrow &&\searrow \\&&\mathbf {\Pi} _{1}^ {0}&&&&\mathbf {\Pi} _{2}^{0}&&\cdots \end{matrix}}{\begin{matrix}&&\mathbf {\Sigma} _{\alpha}^{0}&&& \cdots \\&\nearrow &&\searrow \\\quad \mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}&&&&\mathbf {\Delta } _{\alpha +1}^{0}&\cdots \\&\searrow &&\nearrow \\&&\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}&&&\cdots \end{macierz}}}$

Własności regularności zbiorów borelowskich

Klasyczna opisowa teoria mnogości obejmuje badanie właściwości regularności zbiorów borelowskich. Na przykład wszystkie zbiory borelowskie polskiej przestrzeni mają własność Baire'a i własność zbioru doskonałego . Nowoczesna opisowa teoria mnogości obejmuje badanie sposobów, w jakie te wyniki uogólniają się lub nie uogólniają na inne klasy podzbiorów polskich przestrzeni.

Zbiory analityczne i koanalityczne

Tuż za złożonością zbiorów Borela znajdują się zbiory analityczne i koanalityczne . Podzbiór polskiej przestrzeni X jest analityczny , jeśli jest obrazem ciągłym podzbioru borelowskiego innej polskiej przestrzeni. Chociaż każdy ciągły preobraz zbioru borelowskiego jest borelowski, nie wszystkie zbiory analityczne są zbiorami borelowskimi. Zbiór jest koanalityczny , jeśli jego dopełnienie jest analityczne.

Zbiory rzutowe i stopnie Wadge'a

Wiele pytań w opisowej teorii mnogości ostatecznie zależy od rozważań dotyczących teorii mnogości oraz właściwości liczb porządkowych i kardynalnych . Zjawisko to jest szczególnie widoczne w zbiorach projekcyjnych . Są one definiowane za pomocą hierarchii rzutowej na polskiej przestrzeni X :

Zbiór jest deklarowany jako ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {1} ^ {1}},$ jeśli jest analityczny.
Zbiór jest ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Pi} _ {1} ^ {1}},$ jeśli jest koanalityczny.
Zbiór A to ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {n + 1} ^ {1}},$ jeśli istnieje ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Pi} _ {n} ^ {1}}$ podzbiór B z ${\ displaystyle X \ razy X}$ taki, że A jest rzutem B na pierwszą współrzędną.
Zbiór A to ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Pi} _ {n + 1} ^ {1}},$ jeśli istnieje ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {n} ^ {1}}$ podzbiór B z ${\ displaystyle X \ razy X}$ taki, że A jest rzutem B na pierwszą współrzędną.
Zbiór to ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Delta} _ {n} ^ {1}},$ jeśli jest zarówno ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Pi} _ {n} ^ {1}}$ i ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {n} ^ {1}}$ .

Podobnie jak w przypadku hierarchii Borela, dla każdego n , każdy zestaw jest zarówno ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Delta} _ {n} ^ {1}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {n+1}^{1}}$ i ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Pi} _ {n + 1} ^ {1}.}$

Właściwości zbiorów rzutowych nie są całkowicie określone przez ZFC. Przy założeniu V = L , nie wszystkie zbiory rzutowe mają właściwość zbioru doskonałego lub własność Baire'a. Jednak przy założeniu determinacji rzutowej wszystkie zbiory rzutowe mają zarówno właściwość zbioru doskonałego, jak i właściwość Baire'a. Jest to związane z faktem, że ZFC dowodzi determinacji Borela , ale nie determinacji rzutowej.

Mówiąc bardziej ogólnie, cały zbiór zbiorów elementów polskiej przestrzeni X można pogrupować w klasy równoważności, znane jako stopnie Wadge'a , które uogólniają hierarchię rzutową. Stopnie te są uporządkowane w hierarchii Wadge'a . Z aksjomatu determinacji wynika, że hierarchia Wadge'a na dowolnej polskiej przestrzeni jest dobrze ugruntowana i ma długość Θ , ze strukturą rozszerzającą hierarchię rzutową.

Borelowskie relacje równoważności

Współczesny obszar badań opisowej teorii mnogości bada relacje równoważności borelowskiej . Relacja równoważności borelowskiej na polskiej przestrzeni X jest podzbiorem borelowskim ${\ displaystyle X \ razy X},$ czyli relacją równoważności na X .

Efektywna opisowa teoria mnogości

Obszar efektywnej opisowej teorii mnogości łączy metody opisowej teorii mnogości z metodami uogólnionej teorii rekurencji (zwłaszcza teorii hiperarytmetycznej ). W szczególności skupia się na jasnych analogach hierarchii klasycznej opisowej teorii mnogości. W ten sposób hierarchia hiperarytmetyczna jest badana zamiast hierarchii Borela, a hierarchia analityczna zamiast hierarchii rzutowej. Badania te dotyczą słabszych wersji teorii mnogości, takich jak teoria mnogości Kripkego-Plateka i arytmetyka drugiego rzędu .

Tabela

Jasna twarz		Pogrubiona czcionka
⁰ ₀⁰ ₀⁰ ₀ Σ = Π = Δ (czasami to samo co Δ ⁰ ₁ )		Σ ⁰ ₀ = Π ⁰ ₀ = Δ ⁰ ₀ (jeśli zdefiniowano)
Δ ⁰ ₁ = rekurencyjny		Δ ⁰ ₁ = domknięty
Σ ⁰ ₁ = rekurencyjnie przeliczalny	Π ⁰ ₁ = współrekurencyjnie przeliczalny	Σ ⁰ ₁ = G = otwarte	Π ⁰ ₁ = F = zamknięty
Δ ⁰ ₂		Δ ⁰ ₂
Σ ⁰ ₂	Π ⁰ ₂	Σ ⁰ ₂ = fa _σ	Π ⁰ ₂ = G _δ
Δ ⁰ ₃		Δ ⁰ ₃
Σ ⁰ ₃	Π ⁰ ₃	Σ ⁰ ₃ = G _δσ	Π ⁰ ₃ = fa _σδ
⋮		⋮
Σ ⁰ _<ω = Π ⁰ _<ω = Δ ⁰ _<ω = Σ ¹ ₀ = Π ¹ ₀ = Δ ¹ ₀ = arytmetyczne		Σ ⁰ _<ω = Π ⁰ _<ω = Δ ⁰ _<ω = Σ ¹ ₀ = Π ¹ ₀ = Δ ¹ ₀ = pogrubiona czcionka arytmetyczna
⋮		⋮
Δ ⁰ _α (α rekurencyjny )		Δ ⁰ _α (α policzalne )
Σα ⁰ _{_}	Πα ⁰ _{_}	Σα ⁰ _{_}	Πα ⁰ _{_}
⋮		⋮
Σ ⁰ _{ω ^CK₁} = Π ⁰ _{ω ^CK₁} = Δ ⁰ _{ω ^CK₁} = Δ ¹₁ = hiperarytmetyczny		Σ ⁰ _{ω ₁} = Π ⁰ _{ω ₁} = Δ ⁰ _{ω ₁} = Δ ¹₁ = B = Borel
Σ ¹₁ = analityk jasnej twarzy	Π ¹₁ = koanalityczny o jasnej twarzy	Σ ¹₁ = A = analityczny	Π ¹₁ = CA = koanalityczny
Δ ¹₂		Δ ¹₂
Σ ¹₂	Π ¹₂	Σ ¹₂ = PCA	Π ¹₂ = CPCA
Δ ¹₃		Δ ¹₃
Σ ¹₃	Π ¹₃	Σ ¹₃ = PCPCA	Π ¹₃ = CPCPCA
⋮		⋮
Σ ¹_<ω = Π ¹_<ω = Δ ¹_<ω = Σ ² ₀ = Π ² ₀ = Δ ² ₀ = analityczny		Σ ¹_<ω = Π ¹_<ω = Δ ¹_<ω = Σ ² ₀ = Π ² ₀ = Δ ² ₀ = P = rzutowa
⋮		⋮

Zobacz też

Kechris, Aleksander S. (1994). Klasyczna opisowa teoria mnogości . Springer-Verlag. ISBN 0-387-94374-9 .
Moschovakis, Yiannis N. (1980). Opisowa teoria mnogości . Północna Holandia. P. 2. ISBN 0-444-70199-0 .

Linki zewnętrzne

Opisowa teoria mnogości , David Marker, 2002. Notatki z wykładów.