polska przestrzeń

W matematycznej dyscyplinie topologii ogólnej przestrzeń polska jest separowalną , całkowicie metryzowalną przestrzenią topologiczną ; to znaczy przestrzeń homeomorficzna z pełną przestrzenią metryczną , która ma policzalny gęsty podzbiór. Polskie przestrzenie są tak nazwane, ponieważ po raz pierwszy były szeroko badane przez polskich topologów i logików — Sierpińskiego , Kuratowskiego , Tarskiego i inni. Jednak polskie przestrzenie są dziś najczęściej badane, ponieważ są podstawowym miejscem dla opisowej teorii mnogości , w tym badania borelowskich relacji równoważności . Polskie przestrzenie są również dogodnym miejscem dla bardziej zaawansowanej teorii miary , w szczególności dla teorii prawdopodobieństwa .

Typowymi przykładami polskich przestrzeni są linia rzeczywista , dowolna rozdzielna przestrzeń Banacha , przestrzeń Cantora i przestrzeń Baire'a . Dodatkowo niektóre przestrzenie, które nie są kompletnymi przestrzeniami metrycznymi w zwykłej metryce, mogą być polskie; np. przedział otwarty (0, 1) jest polski.

Pomiędzy dowolnymi dwoma nieprzeliczalnymi polskimi przestrzeniami istnieje izomorfizm Borela ; to znaczy bijekcja , która zachowuje strukturę Borela. W szczególności każda nieprzeliczalna polska przestrzeń ma liczność kontinuum .

Przestrzenie Lusina , przestrzenie Suslina i przestrzenie Radona są uogólnieniami przestrzeni polskich.

Nieruchomości

  1. Każda polska przestrzeń jest sekundowo przeliczalna (dzięki temu, że jest separowalna metryzowalna).
  2. ( Twierdzenie Aleksandrowa ) Jeśli X jest polskie to każdy G δ podzbiór X .
  3. Podprzestrzeń Q polskiej przestrzeni P jest polską wtedy i tylko wtedy, gdy Q jest przecięciem ciągu otwartych podzbiorów P . (Jest to odwrotność twierdzenia Aleksandrowa).
  4. ( Twierdzenie Cantora-Bendixsona ) Jeśli X jest językiem polskim, to każdy domknięty podzbiór X można zapisać jako sumę rozłączną zbioru doskonałego i zbioru przeliczalnego. Ponadto, jeśli polska przestrzeń X jest nieprzeliczalna, można ją zapisać jako sumę rozłączną zbioru doskonałego i przeliczalnego zbioru otwartego.
  5. Każda polska przestrzeń jest homeomorficzna z podzbiorem G δ sześcianu Hilberta (to znaczy z I N , gdzie I jest przedziałem jednostkowym, a N jest zbiorem liczb naturalnych).

Następujące przestrzenie są polskie:

Charakteryzacja

Istnieje wiele charakterystyk, które mówią, kiedy przeliczalna wtórnie przestrzeń topologiczna jest metryzowalna, na przykład twierdzenie Urysohna o metryzacji . Problem określenia, czy przestrzeń metryzowalna jest całkowicie metryzowalna, jest trudniejszy. Przestrzenie topologiczne, takie jak otwarty przedział jednostkowy (0,1), mogą mieć zarówno metryki pełne, jak i niekompletne, generujące ich topologię.

Istnieje charakterystyka kompletnych separowalnych przestrzeni metrycznych w kategoriach gry znanej jako silna gra Choqueta . Oddzielna przestrzeń metryczna jest całkowicie metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy drugi gracz ma zwycięską strategię w tej grze.

Druga charakterystyka wynika z twierdzenia Aleksandrowa. że ​​rozdzielna przestrzeń metryczna jest całkowicie metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzbiorem jej uzupełnienia w oryginalnej metryce

Polskie przestrzenie metryczne

Chociaż przestrzenie polskie są metryzowalne, same w sobie nie są przestrzeniami metrycznymi ; każda polska przestrzeń dopuszcza wiele pełnych metryk dających początek tej samej topologii, ale żadna z nich nie jest wyróżniona ani wyróżniona. Polską przestrzeń z wyróżnioną metryką zupełną nazywamy polską przestrzenią metryczną . Alternatywnym podejściem, równoważnym z podanym tutaj, jest najpierw zdefiniowanie „polskiej przestrzeni metrycznej” jako „całkowitej separowalnej przestrzeni metrycznej”, a następnie zdefiniowanie „polskiej przestrzeni” jako przestrzeni topologicznej otrzymanej z polskiej przestrzeni metrycznej przez zapomnienie metryka.

Uogólnienia przestrzeni polskich

Przestrzenie Łużyckie

Przestrzeń topologiczna jest przestrzenią Lusina , jeśli jest homeomorficzna z podzbiorem borelowskim zwartej przestrzeni metrycznej. Jakaś silniejsza topologia sprawia, że ​​Lusin staje się polską przestrzenią.

Istnieje wiele sposobów tworzenia przestrzeni Lusin. W szczególności:

  • Każda polska przestrzeń to Lusin
  • Podprzestrzeń przestrzeni Lusina jest Lusinem wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbiorem borelowskim.
  • Każda policzalna suma lub przecięcie podprzestrzeni Lusina w przestrzeni Hausdorffa to Lusin.
  • Iloczynem policzalnej liczby przestrzeni Lusin jest Lusin.
  • Rozłączną sumą policzalnej liczby przestrzeni Lusin jest Lusin.

Przestrzenie Suslina

Przestrzeń Suslina jest obrazem przestrzeni polskiej w ciągłym odwzorowaniu. Zatem każda przestrzeń Lusina to Suslin. W polskiej przestrzeni podzbiór jest przestrzenią Suslina wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbiorem Suslina (obraz operacji Suslina ).

Oto przestrzenie Suslina:

  • zamknięte lub otwarte podzbiory przestrzeni Suslina,
  • iloczyny przeliczalne i sumy rozłączne przestrzeni Suslina,
  • przeliczalne przecięcia lub przeliczalne sumy podprzestrzeni Suslina przestrzeni topologicznej Hausdorffa,
  • ciągłe obrazy przestrzeni Suslina,
  • Podzbiory borelowskie przestrzeni Suslina.

Mają następujące właściwości:

  • Każda przestrzeń Suslina jest rozdzielna.

Przestrzenie radonowe

Przestrzeń Radona , nazwana na cześć Johanna Radona , jest przestrzenią topologiczną taką, że każda miara prawdopodobieństwa Borela na M jest regularna wewnętrzna . Ponieważ miara prawdopodobieństwa jest globalnie skończona, a więc lokalnie skończona , każda miara prawdopodobieństwa w przestrzeni Radona jest również miarą Radona . W szczególności rozdzielna kompletna przestrzeń metryczna ( M , d ) jest przestrzenią Radona.

Każda przestrzeń Suslina to Radon.

grupy polskie

Grupa polska to grupa topologiczna G , która jest również przestrzenią polską, innymi słowy homeomorficzną z rozdzielną zupełną przestrzenią metryczną. Istnieje kilka klasycznych wyników Banacha , Freudenthala i Kuratowskiego na temat homomorfizmów między polskimi grupami. Po pierwsze, argument Banacha (1932 , s. 23) stosuje się mutatis mutandis do nieabelowych grup polskich: jeśli G i H są separowalnymi przestrzeniami metrycznymi z G polskim, to każdy homomorfizm Borela z G do H jest ciągła. Po drugie, istnieje wersja twierdzenia o otwartym odwzorowaniu lub twierdzenia o grafie zamkniętym ze względu na Kuratowskiego (1933 , s. 400) : ciągły homomorfizm iniekcyjny polskiej podgrupy G na inną polską grupę H jest mapowaniem otwartym. W rezultacie jest niezwykłym faktem w przypadku polskich grup, że odwzorowania mierzalne Baire'a (tj. dla których przedobraz dowolnego zbioru otwartego ma własność Baire'a ), które są między nimi homomorfizmami, są automatycznie ciągłe. Grupa homeomorfizmów sześcianu Hilberta [0,1] N jest uniwersalną grupą polską w tym sensie, że każda grupa polska jest izomorficzna z jej zamkniętą podgrupą.

Przykłady:

  • Wszystkie skończenie wymiarowe grupy Liego z policzalną liczbą składowych są grupami polskimi.
  • Grupą unitarną separowalnej przestrzeni Hilberta (z silną topologią operatora ) jest grupa polska.
  • Grupa homeomorfizmów zwartej przestrzeni metrycznej jest grupą polską.
  • Iloczynem przeliczalnej liczby grup polskich jest grupa polska.
  • Grupa izometrii rozdzielnej zupełnej przestrzeni metrycznej to grupa polska

Zobacz też

Dalsza lektura

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Polish_space&oldid=1099534785 ”