Idealny zestaw

W topologii ogólnej podzbiór przestrzeni topologicznej jest doskonały , jeśli jest domknięty i nie ma punktów izolowanych . $\$ : zbiór jest doskonały $S}$ jeśli , gdzie $oznacza$ wszystkich punktów granicznych $=$ displaystyle S znany również jako zbiór pochodny ${\ displaystyle S}$ .

W idealnym zbiorze każdy punkt można dowolnie dobrze aproksymować innymi punktami ze zbioru: biorąc pod uwagę dowolny punkt z dowolnego punktu i dowolne sąsiedztwo tego punktu, istnieje inny punkt z ${\$ $displaystyle S}$ , który leży w obrębie sąsiedztwo. Co więcej, każdy punkt przestrzeni, który można tak przybliżyć punktami należy do $}$ $displaystyle S$ .

Należy zauważyć, że termin przestrzeń doskonała jest również używany, w sposób niezgodny, w odniesieniu do innych właściwości przestrzeni topologicznej, takich jak bycie przestrzenią G _δ . Jako inne możliwe źródło nieporozumień, zauważ również, że posiadanie idealnej właściwości zestawu nie jest tym samym, co bycie idealnym zestawem.

Przykłady

Przykładami doskonałych podzbiorów prostej rzeczywistej $domknięte$ zbiór pusty , wszystkie przedziały , sama linia rzeczywista i zbiór Cantora . Ten ostatni jest godny uwagi, ponieważ jest całkowicie odłączony .

To, czy zestaw jest doskonały, czy nie (i czy jest zamknięty, czy nie) zależy od otaczającej go przestrzeni. Na przykład zbiór jest doskonały jako podzbiór przestrzeni, ale ${\ Displaystyle S = [0,1] \ cap$ $mathbb {Q}}$ nie jest doskonały jako podzbiór przestrzeni. ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ .

Połączenie z innymi właściwościami topologicznymi

Każdą przestrzeń topologiczną można zapisać w unikalny sposób jako rozłączną sumę zbioru doskonałego i zbioru rozproszonego .

Cantor udowodnił, że każdy domknięty podzbiór prostej rzeczywistej można jednoznacznie zapisać jako rozłączną sumę zbioru doskonałego i zbioru przeliczalnego . Dotyczy to również bardziej ogólnie wszystkich zamkniętych podzbiorów polskich przestrzeni , w którym to przypadku twierdzenie to jest znane jako twierdzenie Cantora – Bendixsona .

$,$ że każdy niepusty doskonały podzbiór prostej rzeczywistej ma liczność , liczność kontinuum Wyniki te są rozszerzone w opisowej teorii mnogości w następujący sposób:

Jeśli X jest kompletną przestrzenią metryczną bez punktów izolowanych, to przestrzeń Cantora 2 ^ω może być w sposób ciągły osadzona w X . Zatem X ma liczność co najmniej ${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$ . Jeśli X jest rozdzielną , kompletną przestrzenią metryczną bez izolowanych punktów, liczność X wynosi dokładnie ${\ Displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$ .
Jeśli X jest lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa bez punktów izolowanych, istnieje funkcja iniekcyjna (niekoniecznie ciągła) od przestrzeni Cantora do X , więc X ma liczność co najmniej ${\ Displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0} }}$ .

Zobacz też

Notatki

Engelking, Ryszard, Topologia ogólna , Heldermann Verlag Berlin, 1989. ISBN 3-88538-006-4
Kechris, AS (1995), Klasyczna opisowa teoria mnogości , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 3540943749
Levy, A. (1979), Podstawowa teoria mnogości , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag
Perła, Elliott, wyd. (2007), Otwarte problemy w topologii. II , Elsevier , ISBN 978-0-444-52208-5 , MR 2367385