G δ przestrzeń

W matematyce, zwłaszcza w topologii , przestrzeń G _δ jest przestrzenią topologiczną , w której zbiory zamknięte są niejako „oddzielone” od ich dopełnień przy użyciu tylko przeliczalnie wielu zbiorów otwartych . Przestrzeń AG _δ można zatem uznać za przestrzeń spełniającą inny rodzaj aksjomatu separacji . W rzeczywistości normalne przestrzenie G _δ są określane jako przestrzenie doskonale normalne i spełniają najsilniejszy z aksjomatów separacji .

G _δ są również nazywane przestrzeniami doskonałymi . Termin doskonały jest również używany w sposób niezgodny w odniesieniu do przestrzeni bez punktów odosobnionych ; zobacz Zestaw idealny .

Definicja

Przeliczalne przecięcie zbiorów otwartych w przestrzeni topologicznej nazywamy zbiorem G _δ . Trywialnie każdy zbiór otwarty jest zbiorem G _δ . Podwójnie przeliczalna suma zbiorów domkniętych nazywana jest zbiorem F _σ . Trywialnie każdy zbiór domknięty jest zbiorem F _σ .

Przestrzeń topologiczna X nazywana jest przestrzenią G _δ , jeśli każdy domknięty podzbiór X jest zbiorem G _δ . Podwójnie i równoważnie przestrzeń G _δ to przestrzeń, w której każdy zbiór otwarty jest zbiorem F _σ .

Właściwości i przykłady

• Każda podprzestrzeń przestrzeni G _δ jest przestrzenią G _δ .
• Każda przestrzeń metryzowalna jest przestrzenią G _δ . To samo dotyczy przestrzeni pseudometryzowalnych .
• Każda druga policzalna przestrzeń regularna to przestrzeń G _δ . Wynika to z twierdzenia Urysohna o metryzacji w przypadku Hausdorffa, ale można je łatwo pokazać bezpośrednio.
• Każda przeliczalna przestrzeń regularna jest przestrzenią G _δ .
• Każda dziedzicznie regularna przestrzeń Lindelöfa jest przestrzenią G _δ . Takie przestrzenie są w rzeczywistości całkowicie normalne . To uogólnia poprzednie dwa elementy dotyczące drugich policzalnych i policzalnych regularnych przestrzeni.
• AG _δ nie musi być normalna, jak pokazuje R obdarzona topologią K. Ten przykład nie jest zwykłą przestrzenią. Przykładami Tychonowa G _δ , które nie są normalne, są płaszczyzna Sorgenfreya i płaszczyzna Niemytzkiego .
• W pierwszej przeliczalnej przestrzeni T ₁ każdy singleton jest zbiorem G _δ . To nie wystarczy, aby przestrzeń była przestrzenią G _δ , jak pokazuje na przykład topologia porządku leksykograficznego na kwadracie jednostkowym .
• Linia Sorgenfreya jest przykładem doskonale normalnej (tj. normalnej G _δ ) przestrzeni, która nie jest metryzowalna.
• Suma topologiczna rodziny rozłącznych przestrzeni topologicznych jest przestrzenią G ${i}}$$wtedy$ _i tylko wtedy, $Displaystyle$ jest przestrzenią G _δ .

Notatki

•   Engelking, Ryszard (1989). Topologia ogólna . Heldermann Verlag w Berlinie. ISBN 3-88538-006-4 .
•    Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover Publications przedruk z 1978 r.), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3 , MR 0507446
• Roy A. Johnson (1970). „Kompaktowa niemetryzowalna przestrzeń taka, że ​​każdy zamknięty podzbiór to G-Delta”. Amerykański miesięcznik matematyczny , tom. 77, nr 2, s. 172–176. w JStor