Aksjomat separacji
|
Aksjomaty separacji w przestrzeniach topologicznych | |
|---|---|
| Klasyfikacja Kołmogorowa | |
| T0 | (Kołmogorow) |
| T 1 | (Frechet) |
| T 2 | (Hausdorffa) |
| T 2 ½ | (Urysohn) |
| całkowicie T2 | (całkowicie Hausdorffa) |
| T 3 | (zwykły Hausdorff) |
| T 3½ | (Tychonow) |
| T4 _ | (normalny Hausdorff) |
| T 5 |
(całkowicie normalny Hausdorff) |
| T 6 |
(całkowicie normalny Hausdorff) |
W topologii i pokrewnych dziedzinach matematyki istnieje kilka ograniczeń, które często nakłada się na rodzaje przestrzeni topologicznych , które chce się rozważyć. Niektóre z tych ograniczeń wynikają z aksjomatów separacji . Są one czasami nazywane aksjomatami separacji Tychonowa , na cześć Andrieja Tychonowa .
Aksjomaty separacji nie są podstawowymi aksjomatami , jak te z teorii mnogości , ale raczej definiującymi właściwościami, które można określić w celu rozróżnienia pewnych typów przestrzeni topologicznych. Aksjomaty separacji są oznaczone literą „T” po niemieckim Trennungsaxiom („ aksjomat separacji”), a rosnące indeksy liczbowe oznaczają coraz silniejsze właściwości.
Dokładne definicje aksjomatów separacji zmieniały się w czasie . Zwłaszcza w starszej literaturze różni autorzy mogą mieć różne definicje każdego stanu.
Definicje wstępne
Zanim zdefiniujemy same aksjomaty separacji, nadajemy konkretne znaczenie pojęciu rozdzielonych zbiorów (i punktów) w przestrzeniach topologicznych . (Zestawy rozdzielone to nie to samo, co rozdzielone spacje , zdefiniowane w następnej sekcji).
Aksjomaty separacji dotyczą użycia środków topologicznych do rozróżniania zbiorów rozłącznych i odrębnych punktów. Nie wystarczy, aby elementy przestrzeni topologicznej były różne (czyli nierówne ); możemy chcieć, aby były rozróżnialne topologicznie . Podobnie nie wystarczy, aby podzbiory przestrzeni topologicznej były rozłączne; możemy chcieć ich rozdzielić (w dowolny sposób). Wszystkie aksjomaty separacji mówią, w taki czy inny sposób, że punkty lub zbiory, które są rozróżnialne lub rozdzielone w jakimś słabym sensie, muszą być również rozróżnialne lub rozdzielone w jakimś silniejszym sensie.
Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Wtedy dwa punkty x i y w X są rozróżnialne topologicznie , jeśli nie mają dokładnie tych samych sąsiedztw (lub równoważnie tych samych otwartych sąsiedztw); to znaczy, że przynajmniej jeden z nich ma sąsiedztwo, które nie jest sąsiedztwem drugiego (lub równoważnie istnieje zbiór otwarty , do którego należy jeden punkt, a drugi nie). Oznacza to, że przynajmniej jeden z punktów nie należy do domknięcia drugiego .
Dwa punkty x i y są rozdzielone , jeśli każdy z nich ma sąsiedztwo, które nie jest sąsiedztwem drugiego; to znaczy żaden nie należy do domknięcia drugiego . Mówiąc bardziej ogólnie, dwa podzbiory A i B z X są rozdzielone , jeśli każdy z nich jest rozłączny z domknięciem drugiego. (Same domknięcia nie muszą być rozłączne.) Wszystkie pozostałe warunki separacji zbiorów można również zastosować do punktów (lub punktu i zbioru) za pomocą zbiorów pojedynczych. Punkty x a y będzie uważane za oddzielone sąsiedztwami, zamkniętymi sąsiedztwami, funkcją ciągłą, dokładnie funkcją, wtedy i tylko wtedy, gdy ich zbiory singletonowe { x } i { y } są rozdzielone według odpowiedniego kryterium.
Podzbiory A i B są oddzielone sąsiedztwami, jeśli mają rozłączne sąsiedztwa. Są one oddzielone zamkniętymi sąsiedztwami, jeśli mają rozłączne zamknięte sąsiedztwa. Są one oddzielone funkcją ciągłą, jeśli istnieje funkcja ciągła f od przestrzeni X do prostej rzeczywistej R taka, że A jest podzbiorem przedobrazu f −1 ( {0}), a B jest podzbiorem przedobrazu f − 1 ({1}). Wreszcie są one dokładnie oddzielone funkcją ciągłą, jeśli istnieje funkcja ciągła f od X do R taka, że A równa się przedobrazowi f −1 ({0}), a B równa się f −1 ({1}).
Warunki te są podane w kolejności rosnącej siły: dowolne dwa rozróżnialne topologicznie punkty muszą być różne, a dowolne dwa oddzielone punkty muszą być rozróżnialne topologicznie. Dowolne dwa oddzielne zbiory muszą być rozłączne, dowolne dwa zbiory oddzielone sąsiedztwami muszą być rozdzielone i tak dalej.
Główne definicje
Wszystkie te definicje wykorzystują zasadniczo powyższe definicje wstępne .
Wiele z tych nazw ma alternatywne znaczenie w niektórych tekstach matematycznych ; na przykład znaczenia „normalny” i „T 4 ” są czasami zamieniane, podobnie „zwykły” i „T 3 ” itp. Wiele pojęć ma również kilka nazw; jednak ten wymieniony jako pierwszy jest zawsze najmniej niejednoznaczny.
Większość z tych aksjomatów ma alternatywne definicje o tym samym znaczeniu; podane tutaj definicje układają się w spójny wzorzec, który łączy różne pojęcia separacji zdefiniowane w poprzedniej sekcji. Inne możliwe definicje można znaleźć w poszczególnych artykułach.
We wszystkich poniższych definicjach X ponownie jest przestrzenią topologiczną .
- 0 X to T 0 lub Kołmogorow , jeśli dowolne dwa różne punkty w X są rozróżnialne topologicznie . (Powszechnym motywem wśród aksjomatów separacji będzie posiadanie jednej wersji aksjomatu wymagającego T i jednej wersji, która tego nie wymaga).
- X to R 0 lub symetryczny , jeśli dowolne dwa rozróżnialne topologicznie punkty w X są rozdzielone.
- 00 X to T 1 , dostępny lub Fréchet , jeśli dowolne dwa różne punkty w X są rozdzielone. Równoważnie, każdy zbiór jednopunktowy jest zbiorem domkniętym. Zatem X jest T 1 wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie T i R . (Chociaż można powiedzieć takie rzeczy jak „przestrzeń T 1 ”, „topologia Frécheta” i „załóżmy, że przestrzeń topologiczna X jest Fréchet”; należy unikać mówienia „przestrzeń Frécheta” w tym kontekście, ponieważ istnieje zupełnie inne pojęcie przestrzeni Frécheta w analizie funkcjonalnej ).
- 0 X to R 1 , czyli preregularny , jeśli dowolne dwa rozróżnialne topologicznie punkty w X są oddzielone sąsiedztwem. Każda przestrzeń R 1 to także R .
- 0 X to Hausdorff lub T 2 lub oddzielone , jeśli dowolne dwa odrębne punkty w X są oddzielone sąsiedztwem. Zatem X jest Hausdorffem wtedy i tylko wtedy, gdy jest zarówno T, jak i R1 . Każda przestrzeń Hausdorffa to także T 1 .
- X to T 2½ lub Urysohn , jeśli dowolne dwa różne punkty w X są oddzielone zamkniętymi sąsiedztwami. Każda przestrzeń T 2½ jest również Hausdorffem.
- X jest całkowicie Hausdorffa lub całkowicie T 2 , jeśli dowolne dwa różne punkty w X są oddzielone funkcją ciągłą. Każda przestrzeń całkowicie Hausdorffa jest również T 2½ .
- X jest regularny , jeśli przy danym dowolnym punkcie x i zbiorze domkniętym F w X takim, że x nie należy do F , są one oddzielone sąsiedztwami. (W rzeczywistości w przestrzeni regularnej dowolne takie x i F będą również oddzielone zamkniętymi sąsiedztwami.) Każda przestrzeń regularna to także R 1 .
- 0 X jest regularnym Hausdorffem lub T 3 , jeśli jest zarówno T, jak i regularnym. Każda regularna przestrzeń Hausdorffa to także T 2½ .
- X jest całkowicie regularny , jeśli przy danym dowolnym punkcie x i zbiorze domkniętym F w X takim, że x nie należy do F , są one oddzielone funkcją ciągłą. Każda całkowicie regularna przestrzeń jest również regularna.
- 0 X to Tychonoff lub T 3½ , całkowicie T 3 lub całkowicie regularny Hausdorff , jeśli jest zarówno T, jak i całkowicie regularny. Każda przestrzeń Tichonowa jest zarówno zwykłym Hausdorffem, jak i całkowicie Hausdorffem.
- X jest normalne , jeśli dowolne dwa rozłączne domknięte podzbiory X są oddzielone sąsiedztwem. (W rzeczywistości przestrzeń jest normalna wtedy i tylko wtedy, gdy dowolne dwa rozłączne zbiory domknięte można oddzielić funkcją ciągłą; jest to lemat Urysohna ).
- 0 X jest normalnym regularnym, jeśli jest zarówno R, jak i normalnym. Każda normalna regularna przestrzeń jest również całkowicie regularna.
- X jest normalnym Hausdorffem lub T 4 , jeśli jest zarówno T 1 , jak i normalnym. Każda normalna przestrzeń Hausdorffa jest zarówno Tychonowa, jak i normalną regularną.
- X jest całkowicie normalne , jeśli dowolne dwa oddzielne zbiory są oddzielone sąsiedztwem. Każda całkowicie normalna przestrzeń jest też normalna.
- X jest całkowicie normalnym Hausdorffem lub T 5 lub całkowicie T 4 , jeśli jest zarówno całkowicie normalne, jak i T 1 . Każda całkowicie normalna przestrzeń Hausdorffa jest również normalnym Hausdorffem.
- X jest całkowicie normalne , jeśli dowolne dwa rozłączne zbiory domknięte są dokładnie oddzielone funkcją ciągłą. Każda doskonale normalna przestrzeń jest jednocześnie całkowicie normalna i całkowicie regularna.
- 0 X jest doskonale normalnym Hausdorffem lub T 6 lub doskonale T 4 , jeśli jest zarówno doskonale normalne, jak i T . Każda doskonale normalna przestrzeń Hausdorffa jest również całkowicie normalną przestrzenią Hausdorffa.
Poniższa tabela podsumowuje aksjomaty separacji, jak również implikacje między nimi: scalone komórki reprezentują równoważne właściwości, każdy aksjomat implikuje te w komórkach po jego lewej stronie, a jeśli przyjmiemy aksjomat T 1, to każdy aksjomat implikuje również jedynki w komórkach powyżej (na przykład wszystkie normalne przestrzenie T1 są również całkowicie regularne) .
| Rozdzielony | Oddzielone dzielnicami | Oddzielone zamkniętymi dzielnicami | Oddzielone według funkcji | Dokładnie oddzielone według funkcji | |
|---|---|---|---|---|---|
| Punkty wyróżniające | Symetryczny | przedregularne | |||
| Wyraźne punkty | Frechet | Hausdorffa | Urysohna | Całkowicie Hausdorffa | Idealnie Hausdorffa |
| Zestaw zamknięty i punkt na zewnątrz | Symetryczny | Regularny | Całkowicie regularne | Całkowicie normalne | |
| Rozłączne zbiory domknięte | zawsze | Normalna | |||
| Oddzielne zestawy | zawsze | Całkowicie normalne | dyskretna przestrzeń | ||
Relacje między aksjomatami
000 T jest wyjątkowy, ponieważ można go nie tylko dodać do własności (tak, że całkowicie regularny plus T to Tychonoff), ale także odjąć od własności (tak, że Hausdorff minus T to R 1 ), w dość precyzyjnym sensie; zobacz iloraz Kołmogorowa, aby uzyskać więcej informacji. W zastosowaniu do aksjomatów separacji prowadzi to do relacji w tabeli po lewej stronie poniżej. W tej tabeli przechodzi się od prawej do lewej strony, dodając wymaganie T 0 , a przechodzi się z lewej strony na prawą, usuwając ten wymóg, używając operacji ilorazu Kołmogorowa. (Nazwy w nawiasach podane po lewej stronie tej tabeli są na ogół niejednoznaczne lub przynajmniej mniej znane, ale są używane na poniższym diagramie).
| Wersja T 0 | Wersja bez T 0 |
|---|---|
| T0 | (Żadnych wymagań) |
| T 1 | R0 |
| Hausdorffa (T 2 ) | R 1 |
| T 2½ | (Brak specjalnej nazwy) |
| Całkowicie Hausdorffa | (Brak specjalnej nazwy) |
| Zwykły Hausdorff (T 3 ) | Regularny |
| Tychonowa (T 3½ ) | Całkowicie regularne |
| normalny T0 | Normalna |
| Normalny Hausdorffa (T 4 ) | Normalny regularny |
| Zupełnie normalny t0 | Całkowicie normalne |
| Całkowicie normalny Hausdorff (T 5 ) | Całkowicie normalny regularny |
| Całkowicie normalny Hausdorff (T 6 ) | Całkowicie normalne |
000 Inne niż włączenie lub wykluczenie T , relacje między aksjomatami separacji są pokazane na diagramie po prawej stronie. Na tym diagramie wersja warunku inna niż T znajduje się po lewej stronie ukośnika, a wersja T po prawej stronie. Litery są używane do skrótów w następujący sposób: „P” = „idealnie”, „C” = „całkowicie”, „N” = „normalny” i „R” (bez indeksu dolnego) = „zwykły”. Punktor wskazuje, że w tym miejscu nie ma specjalnej nazwy dla miejsca. Kreska na dole oznacza brak stanu.
00 Za pomocą tego diagramu można połączyć dwie właściwości, postępując zgodnie ze schematem w górę, aż obie gałęzie się spotkają. Na przykład, jeśli przestrzeń jest zarówno całkowicie normalna („CN”), jak i całkowicie Hausdorffowska („CT 2 ”), to podążając obiema gałęziami w górę, znajduje się miejsce „•/T 5 ”. Ponieważ całkowicie normalne przestrzenie Hausdorffa to T (nawet jeśli całkowicie normalne przestrzenie mogą nie być), bierze się stronę T ukośnika, więc całkowicie normalna całkowicie przestrzeń Hausdorffa jest taka sama jak przestrzeń T 5 (mniej dwuznacznie znana jako całkowicie normalna przestrzeń Hausdorffa spacji, jak widać w powyższej tabeli).
00 Jak widać na diagramie, normalna i R razem implikują wiele innych właściwości, ponieważ połączenie tych dwóch właściwości prowadzi przez wiele węzłów na gałęzi po prawej stronie. Ponieważ regularność jest najbardziej znaną z nich, przestrzenie, które są zarówno normalne, jak i R, są zwykle nazywane „normalnymi regularnymi przestrzeniami”. W nieco podobny sposób przestrzenie, które są zarówno normalne, jak i T 1, są często nazywane „normalnymi przestrzeniami Hausdorffa” przez ludzi, którzy chcą uniknąć niejednoznacznej notacji „T”. Konwencje te można uogólnić na inne przestrzenie regularne i przestrzenie Hausdorffa.
[Uwaga: ten diagram nie odzwierciedla tego, że doskonale normalne przestrzenie są zawsze regularne; redaktorzy pracują nad tym teraz.]
Inne aksjomaty separacji
Istnieją pewne inne warunki w przestrzeniach topologicznych, które są czasami klasyfikowane za pomocą aksjomatów separacji, ale nie pasują one tak całkowicie do zwykłych aksjomatów separacji. Inne niż ich definicje nie są tutaj omawiane; zobacz ich poszczególne artykuły.
- 0 X jest trzeźwy , jeśli dla każdego zbioru domkniętego C , który nie jest (prawdopodobnie nierozerwalną) sumą dwóch mniejszych zbiorów domkniętych, istnieje unikalny punkt p taki, że domknięcie { p } jest równe C . Mówiąc krótko, każdy nieredukowalny zbiór domknięty ma unikalny ogólny punkt. Każda przestrzeń Hausdorffa musi być trzeźwa, a każda trzeźwa przestrzeń musi być T .
- X jest słabym Hausdorffem , jeśli dla każdego ciągłego odwzorowania f do X ze zwartej przestrzeni Hausdorffa obraz f jest domknięty w X . Każda przestrzeń Hausdorffa musi być słabą przestrzenią Hausdorffa, a każda słaba przestrzeń Hausdorffa musi być T 1 .
- X jest półregularny , jeśli regularne zbiory otwarte tworzą podstawę dla zbiorów otwartych X . Każda regularna przestrzeń musi być również półregularna.
- X jest quasi-regularny, jeśli dla dowolnego niepustego zbioru otwartego G istnieje niepusty zbiór otwarty H taki, że domknięcie H zawiera się w G .
- X jest w pełni normalne , jeśli każda otwarta okładka ma wyrafinowanie otwartej gwiazdy . X jest w pełni T 4 lub w pełni normalnym Hausdorffem , jeśli jest zarówno T 1 , jak i w pełni normalny. Każda w pełni normalna przestrzeń jest normalna, a każda w pełni normalna przestrzeń T 4 to T 4 . Co więcej, można pokazać, że każda przestrzeń w pełni T4 jest parazwarta . W rzeczywistości w pełni normalne przestrzenie mają więcej wspólnego z parazwartością niż ze zwykłymi aksjomatami separacji.
- Aksjomat, że wszystkie zwarte podzbiory są domknięte, ma siłę ściśle między T 1 a T 2 (Hausdorff). Przestrzeń spełniająca ten aksjomat jest z konieczności T 1 , ponieważ każdy zbiór jednopunktowy jest z konieczności zwarty, a zatem domknięty, ale odwrotność niekoniecznie jest prawdziwa; dla topologii współskończonej w nieskończenie wielu punktach, czyli T 1 , każdy podzbiór jest zwarty, ale nie każdy podzbiór jest domknięty. Co więcej, każda przestrzeń T 2 (Hausdorffa) spełnia aksjomat, że wszystkie podzbiory zwarte są domknięte, ale niekoniecznie jest odwrotnie; dla topologia przeliczalna w niezliczonej liczbie punktów, wszystkie zbiory zwarte są skończone, a więc wszystkie domknięte, ale przestrzeń nie jest T 2 (Hausdorff).
Zobacz też
Notatki
- Schechter, Eric (1997). Podręcznik analizy i jej podstaw . San Diego: prasa akademicka. ISBN 0126227608 . (posiada m.in. aksjomaty R i )
- Willard, Stephen (1970). Topologia ogólna . Reading, Massachusetts: pub Addison-Wesley. Co ISBN 0-486-43479-6 . (posiada wszystkie nie-R i aksjomaty wymienione w Głównych definicjach, wraz z tymi definicjami)
- Merrifield, Richard E.; Simmons, Howard E. (1989). Metody topologiczne w chemii . Nowy Jork: Wiley. ISBN 0-471-83817-9 . (daje czytelne wprowadzenie do aksjomatów separacji z naciskiem na przestrzenie skończone)