Regularny zestaw otwarty

Podzbiór przestrzeni $topologicznej$ nazywany jest regularnym zbiorem otwartym $,$ jeśli jest wnętrzu domknięcia ; wyrażone symbolicznie, jeśli ${\ Displaystyle \ operatorname {Int} ({\ overline {S}}) = S}$ lub równoważnie, jeśli ${\ Displaystyle \ częściowe ({\ overline {S}}) = \ częściowe S}$ gdzie ${\ Displaystyle \ operatorname {Int} S,}$${\ Displaystyle {\ overline {S}}}$ i $oznaczają$ odpowiednio wnętrze, ${\ Displaystyle S.}$ granicę S

Podzbiór nazywa się $, jeśli$ zbiorem zamkniętym $jest równy$ jego wnętrza; wyrażone symbolicznie, jeśli ${\ Displaystyle {\ overline {\ nazwa operatora {Int} S}} = S}$ lub równoważnie, jeśli ${\ Displaystyle \ częściowe (\ nazwa operatora {Int} S) = \ częściowe S.}$

Przykłady

Jeśli ma swoją zwykłą topologię euklidesową $,$ to zbiór otwarty ${\ Displaystyle S = (0,1) \ kubek (1,2)$ nie jest regularnym zbiorem otwartym, ponieważ ${\ Displaystyle \ operatorname {Int} ({\ overline {S}}) = (0,2) \ neq S.}$ Co przedział otwarty w jest regularnym $zbiorem$ otwartym, a każdy niezdegenerowany przedział domknięty (to znaczy przedział domknięty zawierający co najmniej dwa różne punkty) jest zbiorem regularnym zamkniętym Singleton $jest$ zamkniętym podzbiorem $\ varnothing, }$ ale nie zwykłym zbiorem zamkniętym, ponieważ jego wnętrze jest zbiorem pustym $∅$ tak, że ${\ Displaystyle {\ overline {\ operatorname {Int} \ {x \}}} = {\ overline {\ varnothing}} = \ varnothing \ neq \ {x \}.}$

Nieruchomości

Podzbiór $jest$ regularnym zbiorem otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy jego uzupełnienie w $jest$ zamkniętym. Każdy zbiór regularny otwarty jest zbiorem otwartym , a każdy zbiór regularny domknięty jest zbiorem domkniętym .

Każdy podzbiór zamknięty ( który obejmuje $sam$ sam $) jest$$zamkniętym$ zwykłym podzbiorem otwartym i zwykłym podzbiorem

Wnętrze zamkniętego podzbioru $\$ regularnym otwartym podzbiorem $displaystyle$$X} i$ domknięcie otwartego podzbioru jest regularnym zamkniętym podzbiorem ${\ displaystyle X.}$ Przecięcie (ale niekoniecznie suma) dwóch regularnych zbiorów otwartych jest zwykłym zbiorem otwartym. Podobnie suma (ale niekoniecznie przecięcie) dwóch regularnych zbiorów zamkniętych jest regularnym zbiorem zamkniętym.

Zbiór wszystkich regularnych zbiorów otwartych w $kompletną$ algebrę Boole'a ; operacja łączenia jest dana przez ${\ Displaystyle U \ vee V = \ operatorname {Int} ({\ overline {U \ cup V}}),$ } spotkanie to ${\ Displaystyle U \ ziemia V = U \ czapka V}$ i dopełnieniem jest ${\ Displaystyle \ neg U = \ operatorname {Int} (X \ setminus U).}$

Zobacz też

• Lista topologii - Lista konkretnych topologii i przestrzeni topologicznych
• Przestrzeń regularna - przestrzeń topologiczna, w której punkt i zbiór domknięty są, jeśli są rozłączne, rozdzielne przez sąsiedztwo Strony wyświetlające opisy danych wiki jako rozwiązanie awaryjne
• Przestrzeń półregularna
• Aksjomat separacji - Aksjomaty w topologii definiujące pojęcia „separacji”

Notatki

•   Lynn Arthur Steen i J. Arthur Seebach, Jr., Kontrprzykłady w topologii . Springer-Verlag, Nowy Jork, 1978. Przedruk: Dover Publications, Nowy Jork, 1995. ISBN 0-486-68735-X (wydanie Dover).
•    Willard, Stephen (2004) [1970]. Topologia ogólna . Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7 . OCLC 115240 .