Dyskretna przestrzeń

W topologii przestrzeń dyskretna jest szczególnie prostym przykładem przestrzeni topologicznej lub podobnej struktury, w której punkty tworzą nieciągłą sekwencję , co oznacza, że ​​są w pewnym sensie odizolowane od siebie. Topologia dyskretna jest najlepszą topologią, jaką można podać na zbiorze. Każdy podzbiór jest otwarty w topologii dyskretnej, tak że w szczególności każdy podzbiór singleton jest zbiorem otwartym w topologii dyskretnej.

Definicje

Biorąc pod uwagę zestaw ${\ displaystyle X}$ : X {\ displaystyle X}

• dyskretna topologia na $displaystyle X}$ zdefiniowana przez pozwolenie, aby każdy podzbiór był otwarty (a więc także zamknięty $)$ , a $jeśli$ dyskretną przestrzenią topologiczną, jest wyposażona w \ topologia dyskretna;
• dyskretną jednorodność na ${\ displaystyle X}$ definiuje się, pozwalając każdemu nadzbiorowi przekątnej w X $\}}$ w $displaystyle X \ razy X}$$\$ być świtą , a jest jednolitą przestrzenią , jeśli jest wyposażona w swoją dyskretną jednorodność.
• dyskretna { metryka jest zdefiniowana przez ${\ displaystyle \ rho}$ na $\ displaystyle X}$
  $${\ Displaystyle \ rho (x, y) = {\ rozpocząć {przypadki} 1 i {\ tekst {jeśli}} \ x \ neq y \ \0&{\text{if}}\ x=y\end{przypadki}}}$$
  dla dowolnego $w X.}$$dyskretną$ W tym przypadku nazywa się przestrzenią metryczną lub izolowanych punktów .
• dyskretna podprzestrzeń pewnej danej przestrzeni topologicznej $odnosi$$\ displaystyle (Y,$$)$ podprzestrzeni ( Y podzbiór $\ displaystyle Y}$ wraz z topologią podprzestrzeni , którą na niej $indukuje$ równa topologii Na przykład, jeśli ${\ Displaystyle Y: = \ mathbb {R}}$ ma swoją zwykłą topologię euklidesową , to ${\ Displaystyle S = \ lewo \ {{{ \tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}} ($ z topologią podprzestrzeni) jest dyskretną podprzestrzenią z $},$$ale$ nie jest
• zbiór jest dyskretny w przestrzeni metrycznej $($$\ Displaystyle (X, d)}$${\ Displaystyle S \ subseteq X,}$ dla jeśli każdego ${\ Displaystyle x \ w S,}$$y)> \ delta}$ jakiś (w zależności od $taki$ , że $x$${\ Displaystyle d ($ dla wszystkich ${\ Displaystyle y \ w S \ setminus \ {x \}}$ ; taki zbiór składa się z izolowanych punktów . Zbiór jest jednostajnie dyskretny w przestrzeni metrycznej $\ Displaystyle (X, d)}$${\ Displaystyle \ varepsilon > 0}$ dla ${\ Displaystyle S \ subseteq X,}$$⊆$ istnieje takie, że dla dowolnych dwóch różnych ${\ Displaystyle x, y \ w S, d (x, y)> \ varepsilon.}$

$x$$\ displaystyle x, y \ in mi,}$ przestrzeń metryczna $jest$ równomiernie , promień taki , że $dla$ jeden ma albo ${\ displaystyle x = y}$ lub ${\ Displaystyle d (x, y)> r.}$ Topologia leżąca u podstaw przestrzeni metrycznej może być dyskretna, bez metryki jednostajnie dyskretnej: na przykład zwykła metryka na zbiorze ${\ Displaystyle \ lewo \ {2 ^ {- n}: n \ w \ mathbb {N} _ {0} \ prawo \}.}$

Dowód, że przestrzeń dyskretna niekoniecznie jest jednostajnie dyskretna

Niech ${\ textstyle X = \ lewo \ {2 ^ {- n}: n \ w \ mathbb { N} _{0}\right\}=\left\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}}, \dots \right\},}$ rozważmy ten zbiór używając zwykłej metryki liczb rzeczywistych. Wtedy ${\ Displaystyle X}$ jest dyskretną przestrzenią, ponieważ dla każdego punktu możemy go otoczyć ${\ Displaystyle x_ {n} = 2 ^ {- n} \ w X}$ przedział otwarty ${\ Displaystyle (x_ {n} - \ varepsilon, x_ {n} + \ varepsilon),}$ gdzie ${\ Displaystyle \ varepsilon = {\ tfrac {1} {2}} \ lewo (x_ {n} -x_ {n + 1} \ prawo) = 2 ^ {- (n + 2)}.}$ Przecięcie $_$ _ ${\ Displaystyle \ {x_ {n} \}.$ Ponieważ przecięcie otwartego zbioru liczb rzeczywistych i $n$ otwarte dla topologii indukowanej, wynika z tego, że $\ displaystyle \ { x_ {n} \}}$ jest otwarty, więc singletony są otwarte i $.$ przestrzenią dyskretną

Jednak nie może być $jednostajnie$ . ${\ Displaystyle x \ neq y.}$$x$$załóżmy$ że istnieje , Wystarczy pokazać, że istnieją co najmniej dwa punkty i $y}$$displaystyle$ w $displaystyle X}$ , które są bliżej siebie niż $}$$Displaystyle x_ {n + 1}}$ Ponieważ odległość między sąsiednimi punktami i $\$ wynosi $^ {- (n + 1)},}$${\ Displaystyle$ musimy znaleźć taką , która spełnia tę nierówność: ${\ displaystyle n}$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} 2 ^ {- (n + 1)} & <r \\1 i <2 ^ {n + 1} r \\ r ^ {- 1} &<2^{n+1}\\\log _{2}\left(r^{-1}\right)&<n+1\\-\log _{2}(r)&<n+ 1\\-1-\log _{2}(r)&<n\end{wyrównane}}}$$

$X}$ zawsze jest $liczba$ rzeczywista, wynika z tego, że zawsze będą co najmniej dwa punkty w, które są bliżej siebie niż jakakolwiek dodatnia $,$${\ displaystyle$$jednostajnie$ więc nie jest dyskretny.

Nieruchomości

Podstawową jednorodnością w dyskretnej przestrzeni metrycznej jest dyskretna jednorodność, a podstawową topologią w dyskretnej przestrzeni jednorodnej jest topologia dyskretna. Zatem różne pojęcia przestrzeni dyskretnej są ze sobą kompatybilne. Z drugiej strony podstawowa topologia niedyskretnej jednolitej lub metrycznej przestrzeni może być dyskretna; przykładem jest przestrzeń metryczna (z metryką odziedziczoną z linii rzeczywistej ${\ Displaystyle X = \ {n ^ {-1}: n \ in \ mathbb {N} \}}$ i podane przez ${\ Displaystyle d (x, y) = \ lewo | xy \ prawo |}$ ). To nie jest dyskretna metryka; również ta przestrzeń nie jest kompletna , a zatem nie jest dyskretna jako przestrzeń jednolita. Niemniej jednak jest dyskretny jako przestrzeń topologiczna. Mówimy, że jest $topologicznie$ , ale nie jednorodnie dyskretny lub metrycznie dyskretny .

Dodatkowo:

• Wymiar topologiczny przestrzeni dyskretnej jest równy 0.
• Przestrzeń topologiczna jest dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy jej singletony są otwarte, co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera żadnych punktów skupienia .
• Singletony stanowią podstawę topologii dyskretnej.
• Przestrzeń $,$$_$ i _ _ _
• Każda dyskretna przestrzeń topologiczna spełnia każdy z aksjomatów separacji ; w szczególności każda przestrzeń dyskretna jest Hausdorffa , to znaczy oddzielona.
• Przestrzeń dyskretna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończona .
• Każda dyskretna przestrzeń jednostajna lub metryczna jest zupełna .
• Łącząc powyższe dwa fakty, każda dyskretna przestrzeń jednostajna lub metryczna jest całkowicie ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończona.
• Każda dyskretna przestrzeń metryczna jest ograniczona .
• Każda przestrzeń dyskretna jest najpierw przeliczalna ; jest ponadto przeliczalny wtórnie wtedy i tylko wtedy, gdy jest przeliczalny .
• Każda dyskretna przestrzeń jest całkowicie rozłączona .
• Każda niepusta przestrzeń dyskretna jest drugiej kategorii .
• Każde dwie dyskretne przestrzenie o tej samej liczności są homeomorficzne .
• Każda przestrzeń dyskretna jest metryzowalna (według metryki dyskretnej).
• Przestrzeń skończona jest metryzowalna tylko wtedy, gdy jest dyskretna.
• Jeśli $jest$ przestrzenią topologiczną i $równomiernie$ topologię $pokryta$ , $jest$ przez mapa projekcji jest pożądanym pokryciem)
• Topologia podprzestrzeni na liczbach całkowitych jako podprzestrzeń linii rzeczywistej to topologia dyskretna.
• Przestrzeń dyskretna jest separowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest przeliczalna.
• Każda podprzestrzeń topologiczna (z jej zwykłą $),$ euklidesową która jest dyskretna, jest z konieczności policzalna .

Każda funkcja z dyskretnej przestrzeni topologicznej do innej przestrzeni topologicznej jest ciągła , a każda funkcja z dyskretnej przestrzeni jednolitej do innej przestrzeni jednorodnej jest jednostajnie ciągła . Oznacza to, że przestrzeń dyskretna jest wolna na zbiorze w kategorii przestrzeni $ciągłych$$.$ lub w kategorii przestrzeni jednolitych i map jednostajnie ciągłych Te fakty są przykładami znacznie szerszego zjawiska, w którym dyskretne struktury są zwykle wolne na zbiorach.

W przypadku przestrzeni metrycznych sprawa jest bardziej skomplikowana, ponieważ istnieje kilka kategorii przestrzeni metrycznych, w zależności od tego, co zostanie wybrane dla morfizmów . Z pewnością dyskretna przestrzeń metryczna jest wolna, gdy wszystkie morfizmy są odwzorowaniami jednostajnie ciągłymi lub wszystkimi odwzorowaniami ciągłymi, ale to nie mówi nic ciekawego o strukturze metrycznej , a jedynie o strukturze jednolitej lub topologicznej. Kategorie bardziej odpowiednie dla struktury metrycznej można znaleźć, ograniczając morfizmy do ciągłych Lipschitza lub map krótkich ; jednak te kategorie nie mają wolnych obiektów (na więcej niż jednym elemencie). Jednak dyskretna przestrzeń metryczna jest dowolna w kategorii przestrzeni metrycznych ograniczonych i przekształceń ciągłych Lipschitza oraz jest dowolna w kategorii przestrzeni metrycznych ograniczonych przez 1 i przekształceń krótkich. Oznacza to, że każda funkcja z dyskretnej przestrzeni metrycznej do innej ograniczonej przestrzeni metrycznej jest ciągła Lipschitza, a każda funkcja z dyskretnej przestrzeni metrycznej do innej przestrzeni metrycznej ograniczonej przez 1 jest krótka.

Idąc w innym kierunku, funkcja $do$ przestrzeni topologicznej przestrzeni dyskretnej $jest ciągła wtedy i tylko wtedy$$,$ jest lokalnie stała w tym sensie, że każdy punkt ${\ displaystyle Y}$ ma sąsiedztwo $stała$ w którym jest .

Każdy ultrafiltr na niepustym zbiorze $Displaystyle \$ powiązać z topologią $= {\ mathcal {U} }} \ cup \ lewo \ {\ varnothing \ right \}}$${ \$ na ${\ displaystyle X}$ z właściwością, że każdy niepusty właściwy podzbiór z $S {\ displaystyle S} z$ jest albo otwartym podzbiorem ${\ displaystyle X}$ lub też zamknięty podzbiór , ale nigdy oba jednocześnie. Mówiąc inaczej, każdy podzbiór jest otwarty lub zamknięty, ale (w przeciwieństwie do topologii dyskretnej) jedynymi podzbiorami , które są zarówno otwarte ${\ displaystyle X}$ jak i zamknięte (tj. Clopen $)$ są i . Dla porównania, $każdy$ podzbiór jest otwarty i zamknięty w topologii dyskretnej

Przykłady i zastosowania

Struktura dyskretna jest często używana jako „struktura domyślna” w zestawie, który nie zawiera żadnej innej naturalnej topologii, jednorodności ani metryki; struktury dyskretne mogą być często używane jako „skrajne” przykłady do testowania określonych przypuszczeń. Na przykład dowolną grupę można uznać za grupę topologiczną , nadając jej topologię dyskretną, co oznacza, że ​​twierdzenia o grupach topologicznych mają zastosowanie do wszystkich grup. Rzeczywiście, analitycy mogą odnosić się do zwykłych, nietopologicznych grup badanych przez algebraistów jako do „ grup dyskretnych ”. W niektórych przypadkach można to z pożytkiem zastosować, na przykład w połączeniu z dualnością Pontriagina . Rozmaitość 0-wymiarowa (lub rozmaitość różniczkowalna lub analityczna) jest niczym innym jak dyskretną i policzalną przestrzenią topologiczną (nieprzeliczalna przestrzeń dyskretna nie jest przeliczalna wtórnie). Możemy zatem postrzegać dowolną dyskretną przeliczalną grupę jako 0-wymiarową grupę Liego .

Iloczyn policzalnie nieskończonych kopii dyskretnej przestrzeni liczb naturalnych jest homeomorficzny z przestrzenią liczb niewymiernych , z homeomorfizmem wynikającym z dalszego rozszerzania ułamka . Iloczyn policzalnie nieskończonych $;$ przestrzeni dyskretnej homeomorficzny Cantora iw rzeczywistości jednolicie homeomorficzny do zbioru Cantora, jeśli użyjemy jednorodności produktu na produkcie. Taki homeomorfizm uzyskuje się za pomocą trójskładnikowego zapisu liczb. (Patrz Przestrzeń Cantora .) Każde włókno funkcji iniekcyjnej lokalnie jest z konieczności dyskretną podprzestrzenią swojej dziedziny .

W podstawach matematyki badanie właściwości zwartości iloczynów ma $kluczowe znaczenie$ topologicznego podejścia do lematu ultrafiltra równoważnie twierdzenia Boole'a o pierwszym ) które jest słabą formą aksjomatu wyboru .

Przestrzenie niedyskretne

Główny artykuł: Trywialna topologia

W pewnym sensie przeciwieństwem topologii dyskretnej jest topologia trywialna (zwana także topologią niedyskretną ), która ma najmniejszą możliwą liczbę zbiorów otwartych (tylko zbiór pusty i sama przestrzeń). Tam, gdzie topologia dyskretna jest początkowa lub wolna, topologia niedyskretna jest ostateczna lub współswobodna : każda funkcja od przestrzeni topologicznej do przestrzeni niedyskretnej jest ciągła itd.

Zobacz też

• Zestaw cylindrów
• Lista topologii
• Geometria taksówki

•     Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1978). Kontrprzykłady w topologii (wyd. 2). Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag . ISBN 3-540-90312-7 . MR 0507446 . Zbl 0386.54001 .
•    Wilansky, Albert (17 października 2008) [1970]. Topologia do analizy . Mineola, Nowy Jork: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-46903-4 . OCLC 227923899 .