Włókno (matematyka)

W matematyce termin włókno ( US English ) lub włókno ( brytyjski angielski ) może mieć dwa znaczenia, w zależności od kontekstu:

W naiwnej teorii mnogości włókno elementu w zbiorze pod mapą jest $odwrotnym$ obrazem singletonu fa $do Y$ $Displaystyle f$ \ : X ${\ Displaystyle \ {y \}}$ pod ${\ Displaystyle f.}$
W geometrii algebraicznej pojęcie włókna morfizmu schematów musi być dokładniej zdefiniowane, ponieważ generalnie nie każdy punkt jest domknięty.

Definicje

Włókno w naiwnej teorii mnogości

Niech ${\ displaystyle f: X \ do Y}$ będzie funkcją między zbiorami.

Włókno elementu (lub włókno nad ) pod mapą jest zbiorem $}$ $Y$ \ $Displaystyle y \$

{\ Displaystyle f ^ {- 1} (y) = \ {x \ w X: f (x) = y \}}

to znaczy zestaw elementów, które są mapowane

funkcję

. Jest to przedobraz singletona

{\ Displaystyle \ {y \}.}

{\ displaystyle f}

Zwykle bierze się obraz

,

aby uniknąć

}

{\ Displaystyle f ^ {- 1} (

y ) jest zbiorem pustym .)

Zbiór wszystkich włókien $}$ $X$ tworzy podział domeny ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (f (x)).}$ $Włókno$ element jest zbiorem Na przykład włókna mapy projekcji ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2} \ do \ mathbb {R}}$ które wysyłają $do$ pionowe linie $,$

Jeśli jest funkcją o wartościach rzeczywistych kilku zmiennych rzeczywistych $,$ włókna funkcji są zbiorami poziomów $\ displaystyle f}$ . Jeśli $displaystyle$ również ${\ Displaystyle f ^ {-1} (y)}$ ciągłą i $y$ na obrazie zestawu poziomów $($ będzie zazwyczaj krzywą w 2D , powierzchnią w 3D i bardziej ogólnie hiperpowierzchnią w dziedzinie ${\ Displaystyle f.}$

Włókno w geometrii algebraicznej

W geometrii algebraicznej , jeśli $do$ morfizmem schematów , włókno punktu w jest iloczynem $włókien$ schematów $Y}$ \ displaystyle f: X

{\ Displaystyle X \ razy _ {Y} \ nazwa operatora {Spec} k (p)}

gdzie

{\ Displaystyle k (p)}

jest polem pozostałości w

{\ Displaystyle s.}

Włókna w topologii

Każde włókno lokalnego homeomorfizmu jest dyskretną podprzestrzenią swojej dziedziny. Jeśli $\ do Y}$ ${\ Displaystyle f (X)}$ $X$ jest funkcją ciągłą i jeśli (lub bardziej ogólnie, jeśli ) jest T. ₁ spacja , to każde włókno jest zamkniętym podzbiorem ${\ Displaystyle X.}$

Funkcję między przestrzeniami topologicznymi nazywamy monotoniczną , jeśli każde włókno jest spójną podprzestrzenią swojej domeny. Funkcja jest monotonna w tym topologicznym sensie wtedy i tylko wtedy, gdy nie rośnie lub nie maleje , co jest zwykłym znaczeniem ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ do \ mathbb {R}}$ „ funkcji monotonicznej ” w analizie rzeczywistej .

Funkcja między przestrzeniami topologicznymi jest (czasami) nazywana mapą właściwą , jeśli każde włókno jest zwartą podprzestrzenią swojej dziedziny. Jednak wielu autorów używa innych, nierównoważnych, konkurencyjnych definicji „mapy właściwej”, dlatego zawsze warto sprawdzić, jak dany autor definiuje to pojęcie. Ciągłą zamkniętą funkcję surjektywną , której wszystkie włókna są zwarte , nazywamy odwzorowaniem doskonałym .

Zobacz też

Cytaty

Lee, John M. (2011). Wprowadzenie do rozmaitości topologicznych (wyd. 2). Springer Verlag . ISBN 978-1-4419-7940-7 .