Element (teoria kategorii)

W teorii kategorii koncepcja elementu lub punktu uogólnia bardziej powszechną koncepcję teorii mnogości elementu zbioru na obiekt dowolnej kategorii . Pomysł ten często pozwala na przekształcenie definicji lub właściwości morfizmów (takich jak monomorfizm lub iloczyn ) nadanych przez właściwość uniwersalną w bardziej znane terminy, określając ich związek z elementami. Niektóre bardzo ogólne twierdzenia, takie jak lemat Yonedy i twierdzenie Mitchella o osadzeniu , są do tego bardzo przydatne, ponieważ pozwalają pracować w kontekście, w którym te tłumaczenia są ważne. Takie podejście do teorii kategorii – w szczególności wykorzystanie w ten sposób lematu Yonedy – zawdzięczamy Grothendieckowi i jest często nazywane metodą funktora punktów .

Definicja

Załóżmy, że C jest dowolną kategorią , a A , T są dwoma obiektami C . Punkt A o wartości T jest po prostu morfizmem ${\ Displaystyle p \ okrężnica T \ do A}$ . Zbiór wszystkich punktów A o wartościach T zmienia się funkcjonalnie z T , dając początek „funktorowi punktów” A ; zgodnie z lematem Yonedy , to całkowicie określa A jako przedmiot C.

Własności morfizmów

Wiele właściwości morfizmów można przedstawić w postaci punktów. Na przykład mówi się, $,$ mapa jest monomorfizmem jeśli

Dla wszystkich map ${\ displaystyle g}$ , ${\ displaystyle h}$ , jeśli ${\ Displaystyle f \ circ g = f \ circ h}$ to ${\ displaystyle g = h}$ .

Załóżmy, ${\ Displaystyle f \ dwukropek B \ do C}$ i ${\ Displaystyle g, h \ dwukropek A \ do B}$ w do . Wtedy g i h są punktami B o wartościach A , a zatem monomorfizm jest równoważny bardziej znanemu stwierdzeniu

f jest monomorfizmem, jeśli jest funkcją iniekcyjną w punktach B .

Konieczna jest pewna ostrożność. f jest epimorfizmem , jeśli spełniony jest warunek podwójny :

Dla wszystkich map sol , h (jakiegoś odpowiedniego typu), implikuje ${\ Displaystyle g \ circ f = h \ circ f}$${\ displaystyle g = h}$ .

W teorii mnogości termin „epimorfizm” jest synonimem „ surjekcji ”, tj

Każdy punkt C jest obrazem , pod f , jakiegoś punktu B.

Oczywiście nie jest to tłumaczenie pierwszego stwierdzenia na język punktów, aw rzeczywistości zdania te nie są ogólnie równoważne. Jednak w niektórych kontekstach, takich jak kategorie abelowe , „monomorfizm” i „epimorfizm” są poparte wystarczająco silnymi warunkami, które w rzeczywistości pozwalają na taką reinterpretację punktów.

Podobnie konstrukcje kategoryczne , takie jak produkt, mają spiczaste odpowiedniki. Przypomnijmy, że jeśli A , B są dwoma obiektami C , ich iloczyn A × B jest takim obiektem, że

Istnieją mapy ${\ Displaystyle p \ dwukropek A \ razy B \ do A,}$${\ Displaystyle q \ dwukropek A \ razy B \ do B}$ i dla dowolne T i mapy ${\ Displaystyle f \ dwukropek T \ do A, g \ dwukropek T \ do B}$ , istnieje unikalna mapa ${\ displaystyle h \ dwukropek T \ do A \ razy B}$ takie, że ${\ Displaystyle f = p \ circ h}$ i ${\ displaystyle g = q \ circ h}$ .

W tej definicji f i g są odpowiednio punktami A i B o wartości T , podczas gdy h jest punktem o wartości T A × B . Alternatywna definicja produktu jest zatem następująca:

A × b $okrężnica A$ obiektem C razem z mapami projekcji $:$ ZA , takie, że p i q dostarczają bijekcji między punktami A × B i parami punktów A i B .

Jest to bardziej znana definicja iloczynu dwóch zbiorów.

Pochodzenie geometryczne

Zobacz też: Racjonalny punkt

Terminologia ma pochodzenie geometryczne; w geometrii algebraicznej Grothendieck wprowadził pojęcie schematu w celu ujednolicenia przedmiotu z geometrią arytmetyczną , która zajmowała się tą samą ideą badania rozwiązań równań wielomianowych (tzn. rozmaitości algebraicznych ), ale rozwiązaniami nie były liczby zespolone , lecz liczby wymierne , liczby całkowite , a nawet elementy jakiegoś skończonego pola . Schemat jest więc tylko tym: schematem zbierania razem wszystkich przejawów różnorodności zdefiniowanej przez te same równania, ale z rozwiązaniami przyjętymi w różnych zestawach liczb. $punktami$ złożoną różnorodność, której punkty są jego , a także zbiorem $(\ operatorname {Spec} \ mathbb {Q} )}$${$ -wartościowe punkty (racjonalne rozwiązania równań), a nawet ${\ Displaystyle (\ operatorname {Spec} \ mathbb {F} _ {p} )}$ -punkty o wartościach (rozwiązania modulo p ).

Z tego przykładu widać wyraźnie jedną cechę języka punktów: generalnie nie wystarczy rozpatrywać tylko punkty z wartościami w pojedynczym obiekcie. Na przykład równanie $rozwiązań$ które definiuje schemat) nie ma , ma złożone rozwiązania, a mianowicie $displaystyle \ pm i}$ . Ma również jedno rozwiązanie modulo 2 i dwa modulo 5, 13, 29 itd. (wszystkie liczby pierwsze to 1 modulo 4). Samo przyjęcie rzeczywistych rozwiązań nie dałoby żadnych informacji.

Związek z teorią mnogości

Sytuacja jest analogiczna do przypadku, gdy C jest kategorią Zbiór , zbiorów rzeczywistych elementów. W tym przypadku mamy „jednopunktowy” zbiór {1}, a elementy dowolnego zbioru S są takie same jak {1}-wartościowe punkty zbioru S . Oprócz tego istnieją jednak o wartości {1,2} , które są parami elementów S , lub elementami S × S . W kontekście zbiorów te wyższe punkty są zbędne: S jest całkowicie określony przez swoje {1}-punkty . Jednak, jak pokazano powyżej, jest to szczególne (w tym przypadku dzieje się tak, ponieważ wszystkie zbiory są iterowanymi koproduktami {1}).

• Barr, Michał; Wells, Charles (1985). Toposy, trójki i teorie (PDF) . Skoczek.
•   Awodey, Steve (2006). Teoria kategorii . Oxford University Press. Sekcja 2.3. ISBN 0-19-856861-4 .