Podwójny (teoria kategorii)

W teorii kategorii , gałęzi matematyki , dwoistość jest zgodnością między właściwościami kategorii C i dualnymi właściwościami przeciwnej kategorii Cop ^. Mając dane stwierdzenie dotyczące kategorii C , poprzez zamianę źródła i celu każdego morfizmu , jak również poprzez zamianę kolejności tworzenia dwóch morfizmów, otrzymujemy odpowiadające mu zdanie dualne dotyczące przeciwnej kategorii C ^op . Dwoistość jako taka jest twierdzeniem, że prawda jest niezmienna w ramach tej operacji na zdaniach. Innymi słowy, jeśli zdanie jest prawdziwe w odniesieniu do ^C , to jego zdanie dualne jest prawdziwe w odniesieniu do Cop . Ponadto, jeśli zdanie jest fałszywe w odniesieniu do C , to jego podwójna wypowiedź musi być fałszywa w odniesieniu do C ^op .

Biorąc pod uwagę konkretną kategorię C , często zdarza się, że przeciwna kategoria C ^per se jest abstrakcyjna. Cop nie musi ^być kategorią wynikającą z praktyki matematycznej. W tym ^przypadku inna kategoria D jest również określana jako dualistyczna z C , jeśli D i Cop są równoważne jako kategorie .

W przypadku, gdy ^{C i jego przeciwieństwo Cop} są równoważne , taka kategoria jest samodualna.

Definicja formalna

Definiujemy elementarny język teorii kategorii jako dwusortowany język pierwszego rzędu z przedmiotami i morfizmami jako odrębnymi rodzajami, wraz z relacjami obiektu będącego źródłem lub celem morfizmu i symbolem składającym się na dwa morfizmy.

Niech σ będzie dowolnym stwierdzeniem w tym języku. Podwójne σ ^op tworzymy w następujący sposób:

Zamień każde wystąpienie „źródła” w σ na „cel”.
Zamień kolejność komponowania morfizmów. Oznacza to, że zamień każde wystąpienie ${\ Displaystyle g \ circ f}$ na ${\ displaystyle f \ circ g}$

Nieformalnie warunki te stwierdzają, że liczba podwójna instrukcji jest tworzona przez odwrócenie strzałek i kompozycji .

Dualność to obserwacja, że σ jest prawdziwe dla pewnej kategorii C wtedy i tylko wtedy, gdy σ ^op jest prawdziwe dla C ^op .

Przykłady

morfizm $sol$ monomorfizmem $circ h}$ jeśli implikuje { $=h}$ Displaystyle f \ circ ${\ displaystyle$ . Wykonując podwójną operację, otrzymujemy stwierdzenie, że implikuje ${\ Displaystyle g \ circ f = h \ circ$ $= h.}$ $jest$ Dla morfizmu to dokładnie to, co , f jest epimorfizmem Krótko mówiąc, właściwość bycia monomorfizmem jest podwójna w stosunku do właściwości bycia epimorfizmem.

Stosując dualność, oznacza to, że morfizm w jakiejś kategorii C jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy morfizm odwrotny w przeciwnej kategorii C ^op jest epimorfizmem.

Przykładem jest odwrócenie kierunku nierówności w częściowym porządku . Więc jeśli X jest zbiorem i ≤ relacją częściowego porządku, możemy zdefiniować nową relację częściowego rzędu ≤ _nowy przez

x ≤ _nowy y wtedy i tylko wtedy, gdy y ≤ x .

Ten przykład dotyczący porządków jest przypadkiem szczególnym, ponieważ porządki częściowe odpowiadają pewnemu rodzajowi kategorii, w której Hom( A , B ) może mieć co najwyżej jeden element. W zastosowaniach logicznych wygląda to wtedy na bardzo ogólny opis negacji (to znaczy dowody przebiegają w przeciwnym kierunku). Na przykład, jeśli weźmiemy przeciwieństwo kraty , przekonamy się, że łączenia i łączenia mają zamienione role. Jest to abstrakcyjna forma praw De Morgana lub dualności zastosowanych do krat.

Granice i współgranice to pojęcia dualne.
Fibracje i kofibracje są przykładami pojęć dualnych w topologii algebraicznej i teorii homotopii . W tym kontekście dualność jest często nazywana dualnością Eckmanna-Hiltona .

Zobacz też

„Podwójna kategoria” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
„Zasada dualności” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
„Dwoistość” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
Mac Lane, Saunders (1978). Kategorie dla pracującego matematyka (wyd. Drugie). Nowy Jork, NY: Springer Nowy Jork. P. 33. ISBN 1441931236 . OCLC 851741862 .
Awodey, Steve (2010). Teoria kategorii (wyd. 2). Oksford: Oxford University Press. s. 53–55. ISBN 978-0199237180 . OCLC 740446073 .