Kategoria funktora

W teorii kategorii , gałęzi matematyki , kategoria funktora to kategoria, w której obiektami są funktory i morfizmy $: C \ do$$re {\ displaystyle$ η ${\ Displaystyle \ eta: F \ do G} między$ fa (tutaj ${\ displaystyle G: C \ do D}$ jest kolejnym obiektem w tej kategorii) Kategorie funktorów są interesujące z dwóch głównych powodów:

• wiele powszechnie występujących kategorii to (ukryte) kategorie funktorów, więc każde stwierdzenie udowodnione dla ogólnych kategorii funktorów ma szerokie zastosowanie;
• każda kategoria jest osadzona w kategorii funktora (poprzez osadzanie Yoneda ); kategoria funktora często ma lepsze właściwości niż kategoria oryginalna, umożliwiając pewne operacje, które nie były dostępne w pierwotnym ustawieniu.

Definicja

Załóżmy, $jest$ małą kategorią (tj. obiekty i morfizmy tworzą zbiór, a nie $właściwą$ klasę ) a jest to dowolna kategoria. Kategoria funktorów od $}$ do ${\ displaystyle D}$ , zapisana jako Fun ( do ${\ displaystyle C}$ re $\ displaystyle D}$ ), Funct ( do {\ displaystyle $re {\ displaystyle$ , $} displaystyle D}$ ), ${\ Displaystyle [C, D]}$ lub $\ Displaystyle D ^ {C}}$ ma jako obiekty kowariantne funktory od do {\ displaystyle $}$ do re {\ displaystyle $} displaystyle D}$ , a jako morfizmy naturalne przekształcenia między takimi funktorami. Zauważ, że naturalne przekształcenia mogą być złożone: jeśli ${\ Displaystyle \ mu (X): F (X) \ do G (X)}$ jest naturalną transformacją z funktora ${\ Displaystyle F: C \ do D}$$re {\ Displaystyle G: C \ do D$ funktora i $): G (X) \ do H (X)}$${ \displaystyle \ eta ($${\ displaystyle H}$ jest naturalną transformacją z funktora do funktora $,$ a następnie kolekcji ${\ Displaystyle \ eta (X) \ mu (X): F (X) \ do H (X)}$ definiuje naturalną transformację z do ${\ displaystyle F}$${\ Displaystyle H}$ . Dzięki tej kompozycji naturalnych przekształceń (znanej jako kompozycja pionowa, patrz naturalna transformacja $spełnia$ , aksjomaty kategorii

W całkowicie analogiczny sposób można również rozważyć kategorię wszystkich funktorów kontrawariantnych od ${\ displaystyle C}$ do ${\ displaystyle D}$ ; piszemy to jako Funct ( ${\ displaystyle C ^ {\ tekst {op}}, D}$ ).

Jeśli oba są kategoriami przedaddytywnymi (tj. ich zbiory morfizmów są grupami $abelowymi$ , a skład morfizmów jest $dwuliniowy$ ) , to możemy kategorię wszystkich funktorów addytywnych do ${\ displaystyle$ , oznaczony przez Dodaj ( ${\ displaystyle C}$$,$ re $displaystyle D}$ ).

Przykłady

• Jeśli $zasadniczo$ małą dyskretną kategorią ( $\ displaystyle I}$$.$ jej jedynymi morfizmami są morfizmy tożsamościowe), to funktor od do I $\ displaystyle I}$ składa się z rodziny obiektów o ja $\ displaystyle C}$ , indeksowane przez ${\ displaystyle I}$ ; kategorię funktora $jej$ elementami są rodziny obiektów w, $ja$ morfizmy to rodziny morfizmów w do $displaystyle C}$ .

• Kategoria strzałek ( $\displaystyle {\mathcal {C}}} )$$obiekty$ są morfizmami , a których morfizmy to dojeżdżające kwadraty w $}$$}$ to po prostu , ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ mathbf {2}}}$ 2 to kategoria z dwoma obiektami i ich morfizmami tożsamości, także do 2 strzała z jednego obiektu do drugiego (ale nie kolejna strzała z powrotem w drugą stronę).
• Graf skierowany składa się z zestawu strzałek i zestawu wierzchołków oraz dwóch funkcji od zestawu strzałek do zbioru wierzchołków, określających wierzchołek początkowy i końcowy każdej strzałki. Kategoria wszystkich grafów skierowanych jest zatem niczym innym jak kategorią funktora $morfizmami$$gdzie$ jest kategorią z dwoma obiektami połączonymi dwoma równoległymi źródło i cel), a Zestaw oznacza kategorię zbiorów .
• Dowolną grupę można uznać za kategorię z jednym obiektem, w której każdy morfizm jest $odwracalny$ Kategoria wszystkich $G$ - jest taka sama jak kategoria funktorów Zbiór ^$}$ . Naturalne przekształcenia to $-mapy$ .
• Podobnie jak w poprzednim przykładzie, kategoria K -liniowych reprezentacji grupy ^{${\ displaystyle G}$} taka sama jak kategoria funktorów Vect _K $($ gdzie Vect _K oznacza kategorię wszystkich przestrzeni wektorowych nad pole K ).
• Każdy pierścień można uznać za kategorię preaddytywną z jednym obiektem; ${\ displaystyle R}$ kategoria lewych $\$ nad jest taka sama jak kategoria addytywnego funktora Dodaj ( gdzie $displaystyle R}$ , ${\ displaystyle {\ textbf {Ab}}} )$${\ displaystyle R} textbf {Ab}}}$ oznacza kategorię grup abelowych $R ^ {\ tekst {op}}}$ , a kategorią prawych -modułów jest Add ( ${\ displaystyle$ , ${\ displaystyle R} {\textbf {Ab}}}$ ). Z powodu tego przykładu dla dowolnej kategorii preaddytywnej $kategoria$ Dodaj ( , $displaystyle {\ textbf {Ab}}}$$\$ jest czasami nazywana „kategorią pozostawionych modułów ${\ displaystyle C}$ "i Add ( ${\ displaystyle C ^ {\ text {op}}}$ , ${\ displaystyle {\ textbf {Ab}}} )$ "kategoria właściwych modułów nad do {\ displaystyle $} " styl wyświetlania C}$ ".
• Kategoria snopów wstępnych $displaystyle$ przestrzeni topologicznej jest kategorią funktora: przekształcamy przestrzeń topologiczną w kategorię $jako$ otwarte zbiory w obiekty i pojedynczy morfizm $X}$ od ${\ displaystyle U}$ do $displaystyle V}$$\$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest zawarte w $\ displaystyle V}$ . Kategoria presnopów zbiorów (grupy abelowe, pierścienie) na ${$$textbf {Set}}}$ \ displaystyle $\$ ( lub ${\ Displaystyle {\ textbf {Ab}}}$ lub ${\ Displaystyle {\ textbf {Pierścień}}}$ . Z powodu tego $\$ kategoria Funct ( , $displaystyle {\ textbf {Set}}}$ ) jest czasami nazywana „ snopów wstępnych zestawów na ${\ displaystyle C}$ "nawet dla kategorii ogólnych, $nie$ wynikają z przestrzeni topologicznej. $.$ zdefiniować snopy w kategorii ogólnej $topologii$ potrzeba więcej struktury: Grothendiecka na (Niektórzy autorzy odnoszą się do kategorii, które $są$ z Ustaw kategorie wstępne ) .

Fakty

Większość konstrukcji, które można wykonać w $można$ również wykonać w $,$ wykonując je „komponentowo”, osobno dla $każdego$ Na przykład, jeśli dowolne dwa obiekty $fa}$ Y $Displaystyle$$Y}$$w$ mają iloczyn $D$ dowolne dwa funktory \ $displaystyle$ i $}$${\ Displaystyle (F \ razy G) (c) = F (c) \ razy G (c)}$ w ${\ displaystyle D ^ {C}}$ mają iloczyn ${\ displaystyle F \ razy G}$ , określony przez dla każdego obiektu $Displaystyle$ do {\ $}$ . Podobnie, jeśli $}: F (c) \ do G (c)}$ jest naturalną transformacją i każda $}}$${\ Displaystyle \ eta _ {$$\$ ma jądro w kategorii , a jądro w kategorii funktorów $Displaystyle$$C}}$${$$^$ jest funktorem z $($${\ Displaystyle K (c) = K_ {c}}$ obiektu $displaystyle$ do {\ $}$ .

W konsekwencji mamy ogólną zasadę , że kategoria funktora ma większość „ładnych” właściwości : re do $displaystyle$ \ $^ {C}$

• jeśli jest kompletna (lub kokompletna), to tak samo jest $re$$displaystyle D ^ {C}}$ ;
• jeśli jest kategorią abelową , to tak samo jest $re$$displaystyle D ^ {C}}$ ;

Mamy też:

• jeśli $jest$$kategorią$ , to kategoria jest toposem .

Tak więc z powyższych przykładów możemy od razu wywnioskować, że kategorie grafów skierowanych, $-zbiorów i snopów wstępnych w przestrzeni topologicznej są wszystkie toposami kompletnymi$ kokompletnymi, oraz że kategorie reprezentacji sol ${\ displaystyle$$moduły$ na pierścieniu $.$ grup abelowych w przestrzeni topologicznej są abelowe, kompletne i kokompletne

Osadzenie kategorii we wspomnianej wcześniej kategorii funktorów wykorzystuje $lemat$ Yoneda jako główne narzędzie Dla każdego obiektu $X$ będzie kontrawariantnym reprezentowalnym $\$ z { $displaystyle$$displaystyle$ , aby ${\ displaystyle {\ textbf {zestaw}}}$ . Lemat Yonedy stwierdza, że ​​zadanie

${\ Displaystyle X \ mapsto \ operatorname {Hom} (-, X)}$

jest pełnym osadzeniem kategorii do kategorii Funct ( , $}}} do op {\ displaystyle C ^ {$$displaystyle {\ textbf {$ \ $}}}$ . Więc $naturalnie siedzi$ toposu.

To samo można zrobić dla dowolnej kategorii przedaddytywnej $:$ Yoneda daje następnie pełne osadzenie w kategorii funktorów Dodaj ( do $} }$$displaystyle C ^ {\ tekst {$ Ab ${\ Displaystyle {\ textbf {Ab}}}$ . Więc $mieści$ w kategorii abelowej.

$)$ można wykonać w $można$ „podnieść” do można uściślić na kilka sposobów; najbardziej zwięzłe sformułowanie wykorzystuje język funktorów sprzężonych . Każdy funktor ${\ Displaystyle F: D \ do mi}$ indukuje funktor $}: D ^ {C} \ do E ^ {C}}$ (według kompozycji z ${\ displaystyle F}$ ). Jeśli i $}$ parą sprzężonych funktorów, to i $C}$$również$ parą fa do ${$ funktory sprzężone.

$Kategoria$ funktora wszystkie właściwości formalne obiektu wykładniczego w szczególności funktory z funktorów od $Displaystyle E \ razy C \ do D} pozostają$ naturalnej korespondencji jeden do jednego z funktorami od ${\ displaystyle E}$ do ${\ displaystyle D ^ { C}}$ . Kategoria $zamkniętą$ wszystkich małych kategorii z funktorami jako morfizmami jest zatem kategorią kartezjańską .

Zobacz też

• Diagram (teoria kategorii)