Diagram (teoria kategorii)

W teorii kategorii , gałęzi matematyki , diagram jest kategorycznym odpowiednikiem indeksowanej rodziny w teorii mnogości . Podstawowa różnica polega na tym, że w ustawieniu kategorycznym występują morfizmy , które również wymagają indeksowania. Indeksowana rodzina zestawów to zbiór zestawów, indeksowany przez stały zestaw; równoważnie funkcja ze stałego zestawu indeksów do klasy zbiorów . Diagram jest zbiorem obiektów i morfizmów, indeksowanych według ustalonej kategorii; równoważnie funktor z kategorii o stałym indeksie do jakiejś kategorii .

Funktorem uniwersalnym diagramu jest funktor diagonalny ; jego prawy łącznik jest granicą diagramu, a jego lewy łącznik jest kolimitem. Naturalne przekształcenie funktora diagonalnego w dowolny diagram nazywamy stożkiem .

Definicja

Formalnie diagram typu J w kategorii C jest funktorem ( kowariantnym ) .

D : J → C.

Kategoria J nazywana jest kategorią indeksową lub schematem diagramu D ; funktor jest czasami nazywany J. diagramem w kształcie litery Rzeczywiste obiekty i morfizmy w J są w dużej mierze nieistotne; liczy się tylko sposób, w jaki są one ze sobą powiązane. Diagram D jest uważany za indeksujący zbiór obiektów i morfizmów w C wzorowany na J .

Chociaż z technicznego punktu widzenia nie ma różnicy między pojedynczym diagramem a funktorem lub między schematem a kategorią , zmiana terminologii odzwierciedla zmianę perspektywy, podobnie jak w przypadku teorii mnogości: ustala się kategorię indeksu i pozwala funktora (i, wtórnie, kategorii docelowej), aby się zmieniać.

Najczęściej interesuje nas przypadek, w którym schemat J jest kategorią małą lub wręcz skończoną . Mówimy, że diagram jest mały lub skończony , gdy J jest.

Morfizm diagramów typu J w kategorii C jest naturalną transformacją między funktorami. Kategorię diagramów typu J można wówczas interpretować w C jako kategorię funktora C ^J , a diagram jest wówczas obiektem tej kategorii.

Przykłady

Mając dowolny obiekt A w C , mamy diagram stałych , który jest diagramem odwzorowującym wszystkie obiekty w J na A i wszystkie morfizmy J na morfizm tożsamości na A. Notacyjnie, często używa się podkreślnika do oznaczenia diagramu stałych: tak więc dla dowolnego obiektu $w$ , mamy diagram stałych ${\ displaystyle {\ podkreślenie {A}}}$ .
Jeśli J jest (małą) dyskretną kategorią , to diagram typu J jest zasadniczo po prostu indeksowaną rodziną obiektów w C (indeksowana przez J ). W przypadku użycia w konstrukcji limitu wynikiem jest iloczyn ; dla kolimitu otrzymujemy koprodukt . Na przykład, gdy J jest kategorią dyskretną z dwoma obiektami, wynikowa granica jest po prostu iloczynem binarnym.
Jeśli J = −1 ← 0 → +1, to diagram typu J ( A ← B → C ) jest rozpiętością , a jego colimit jest wypchnięciem . Gdyby „zapomnieć”, że diagram miał obiekt B i dwie strzałki B → A , B → C , wynikowy diagram byłby po prostu dyskretną kategorią z dwoma obiektami A i C , a colimit byłby po prostu binarny koprodukt. Zatem ten przykład pokazuje ważny sposób, w jaki idea diagramu uogólnia ideę indeksu w teorii mnogości: poprzez włączenie morfizmów B → A , B → C , odkrywa się dodatkową strukturę w konstrukcjach zbudowanych z diagramu, strukturę, która nie byłoby oczywiste, gdyby ktoś miał tylko zestaw indeksów bez relacji między obiektami w indeksie.
Podwójny do powyższego, jeśli J = −1 → 0 ← +1, to diagram typu J ( A → B ← C ) jest cospanem , a jego granicą jest cofnięcie .
Indeks nazywany jest „ dwoma $równoległymi$ morfizmami” lub kołczanem lub kołczanem Diagram $jest$ $_$ _ _ _ jego granicą jest korektor , a colimit jest koequalizerem .
Jeśli J jest kategorią pozetową , _to diagram typu J _jest rodziną obiektów _Di wraz z unikalnym morfizmem f _ij : Di → Dj zawsze, gdy i ≤ j . Jeśli J jest skierowany , to diagram typu J nazywany jest bezpośrednim układem obiektów i morfizmów. Jeśli diagram jest kontrawariantny , nazywa się go systemem odwrotnym .

Stożki i granice

Stożek o wierzchołku N diagramu D : J → C jest morfizmem ze stałego diagramu Δ ( N ) do D . Diagramem stałym jest diagram, który przesyła każdy obiekt J do obiektu N z C i każdy morfizm do morfizmu tożsamościowego na N .

Granicą diagramu D jest uniwersalny stożek do D . To znaczy stożek, przez który wszystkie inne stożki są jednoznacznie uwzględniane. Jeżeli granica istnieje w kategorii C dla wszystkich diagramów typu J otrzymujemy funktor

lim : C ^J → C

który wysyła każdy diagram do jego limitu.

Podwójnie, colimit diagramu D jest uniwersalnym stożkiem z D . Jeśli współgranica istnieje dla wszystkich diagramów typu J , jeden ma funktor

colim : C ^J → C

który wysyła każdy diagram do jego kolimitu.

Diagramy przemienne

Diagramy i kategorie funktorów są często wizualizowane za pomocą diagramów przemiennych , zwłaszcza jeśli kategoria indeksu jest kategorią skończoną z kilkoma elementami: rysuje się diagram przemienny z węzłem dla każdego obiektu w kategorii indeksu i strzałką dla zbioru generującego morfizmy , pomijając mapy tożsamości i morfizmy, które można wyrazić jako kompozycje. Przemienność odpowiada wyjątkowości mapy między dwoma obiektami w kategorii poset. I odwrotnie, każdy diagram przemienny przedstawia w ten sposób diagram (funktor z kategorii indeksu posetowego).

) $lub$ z diagram pojedynczego obiektu z endomorfizmem ( dwoma $.$ ( nie $_$ _ Co więcej, diagramy mogą być niemożliwe do narysowania (ponieważ są nieskończone) lub po prostu niechlujne (ponieważ jest zbyt wiele obiektów lub morfizmów); jednak schematyczne diagramy przemienne (dla podkategorii kategorii indeksu lub z elipsami, na przykład dla systemu skierowanego) są używane do wyjaśnienia takich złożonych diagramów.

Zobacz też

Adamek, Jiří; Horsta Herrlicha; George'a E. Streckera (1990). Kategorie abstrakcyjne i konkretne (PDF) . John Wiley & Synowie. ISBN 0-471-60922-6 . Teraz dostępne jako bezpłatne wydanie on-line (4,2 MB PDF).
Barr, Michał ; Wells, Charles (2002). Toposy, trójki i teorie (PDF) . ISBN 0-387-96115-1 . Poprawiona i poprawiona bezpłatna wersja online Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (278) Springer-Verlag, 1983).
schemat w n Lab

Linki zewnętrzne

Pogoń za diagramami w MathWorld
WildCats to pakiet teorii kategorii dla Mathematica . Manipulacja i wizualizacja obiektów, morfizmy , diagramy przemienne, kategorie, funktory , przekształcenia naturalne .