Rozpiętość (teoria kategorii)

W teorii kategorii przęsło , dach lub korespondencja jest uogólnieniem pojęcia relacji między dwoma obiektami kategorii . Gdy kategoria ma wszystkie wycofania (i spełnia niewielką liczbę innych warunków), rozpiętości można uznać za morfizmy w kategorii ułamków .

Pojęcie przęsła pochodzi od Nobuo Yonedy (1954) i Jeana Bénabou (1967).

Definicja formalna

Przęsło to diagram typu ${\ Displaystyle \ Lambda = (-1 \ leftarrow 0 \ rightarrow +1)},$ tj. Diagram postaci ${ \displaystyle Y\leftarrow X\rightarrow Z}$ .

To znaczy, niech Λ będzie kategorią (-1 ← 0 → +1). Wtedy rozpiętość w kategorii C jest funktorem S : Λ → C . Oznacza to, że przęsło składa się z trzech obiektów X , Y i Z z C i morfizmów f : X → Y i g : X → Z : to dwie mapy o wspólnej domenie .

Colimit zakresu to wypchnięcie .

Przykłady

• Jeśli R jest relacją między zbiorami X i Y (tj. podzbiorem X × Y ) , to X ← R → Y jest rozpiętością, w której mapy są mapami projekcji ${\ displaystyle X \ razy Y {\ overset {\ pi _ {X}} {\ do}} X}$ i ${\ Displaystyle X \ razy Y {\ overset {\ pi _ {Y}} {\ do}} Y}$ .
• Każdy obiekt daje trywialną rozpiętość A ← A → A, gdzie mapy są tożsamością.
• $.$ , niech w jakiejś kategorii Istnieje trywialna rozpiętość A ← A → B , gdzie lewa mapa to tożsamość na A, a prawa mapa to dana mapa φ .
• Jeśli M jest kategorią modelową , gdzie W jest zbiorem słabych równoważności , to rozpiętości formy, w których lewy morfizm jest w W , można rozważyć ${\ Displaystyle X \ leftarrow Y \ rightarrow Z,}$ uogólniony morfizm (tj. taki, w którym „odwraca się słabe równoważności”). Należy zauważyć, że nie jest to zwykły punkt widzenia przyjmowany w przypadku kategorii modeli.

Cospans

Cospan K w kategorii C jest funktorem K : Λ ^op → C ; równoważnie kontrawariantny od Λ do C . Oznacza to, że diagram typu ${\ Displaystyle \ Lambda ^ {\ tekst {op}} = (-1 \ rightarrow 0 \ leftarrow +1)}, tj.$ diagram postaci ${\ Displaystyle Y \ rightarrow X \ leftarrow Z}$ .

Składa się zatem z trzech obiektów X , Y i Z z C oraz morfizmów f : Y → X i g : Z → X : to dwie mapy ze wspólną koddomeną.

Granicą cospan jest wycofanie .

Przykładem cospanu jest kobordyzm W między dwiema rozmaitościami M i N , gdzie dwie mapy są inkluzjami do W . Należy zauważyć, że chociaż kobordyzmy są kospanami, kategoria kobordyzmów nie jest „kategorią kospanów”: nie jest kategorią wszystkich cospanów w „kategorii rozmaitości z inkluzjami na granicy”, ale raczej jej podkategorią, ponieważ wymóg , aby M i N tworzą podział granicy W jest ograniczeniem globalnym.

Kategoria nCob kobordyzmów skończonych wymiarów jest zwartą kategorią sztyletu . Mówiąc bardziej ogólnie, kategoria rozpiętości ( C ) rozpiętości w dowolnej kategorii C ze skończonymi granicami jest również zwarta jak sztylet.

Zobacz też

• Relacja binarna
• Wycofanie (teoria kategorii)
• Wypychanie (teoria kategorii)
• Kobordyzm

• rozpiętość w n Lab
• Yoneda, Nobuo, O teorii homologii modułów. J. Fac. nauka Uniw. sekta tokijska. I ,7 (1954), 193-227.
• Bénabou, Jean, Wprowadzenie do dwukategorii, notatki z wykładów z matematyki 47, Springer (1967), s. 1-77