Kategoria kompaktowa sztyletu

W teorii kategorii , gałęzi matematyki , kategorie zwarte sztyletu (lub zwarte kategorie zamknięte sztyletu ) po raz pierwszy pojawiły się w 1989 roku w pracy Sergio Doplichera i Johna E. Robertsa na temat rekonstrukcji zwartych grup topologicznych z ich kategorii skończenie wymiarowych ciągłych unitarnych reprezentacje (czyli kategorie tannakowskie ). Pojawiły się również w pracach Johna Baeza i Jamesa Dolana jako przykład półścisłych k -tuply monoidalnych n -kategorii , które opisują ogólne topologiczne kwantowe teorie pola , dla n = 1 i k = 3. Są podstawową strukturą u Samsona Abramsky'ego oraz kategoryczna mechanika kwantowa Boba Coecke'a .

Przegląd

Zwarte kategorie Dagger mogą być używane do wyrażania i weryfikacji niektórych podstawowych protokołów informacji kwantowej , a mianowicie: teleportacji , teleportacji bramek logicznych i zamiany splątań oraz standardowych pojęć, takich jak unitarność, iloczyn wewnętrzny, ślad, dualizm Choi-Jamiolkowsky'ego , całkowita pozytywność , stany Bella i wiele innych pojęć jest uchwyconych przez język zwartych kategorii sztyletów. Wszystko to wynika z twierdzenia o zupełności poniżej. Kategoryczna mechanika kwantowa przyjmuje zwarte kategorie sztyletu jako strukturę tła, względem której można abstrakcyjnie zdefiniować inne pojęcia mechaniki kwantowej, takie jak obserwable kwantowe i ich komplementarność. Stanowi to podstawę dla podejścia wysokiego poziomu do kwantowego przetwarzania informacji.

Definicja formalna

Kategoria zwarta sztyletu to symetryczna kategoria monoidalna $sztyletu$ , która jest również zwarta zamknięta , wraz z relacją do powiązania struktury sztyletu ze strukturą zwartą $do {\ displaystyle \ mathbf {C}}$ szczególności sztylet służy do łączenia jednostki z jednostką, tak że dla wszystkich w następujący diagram dojeżdża: do ${\ displaystyle A}$ :

Podsumowując wszystkie te punkty:

• Kategoria jest zamknięta , jeśli posiada wewnętrzny funktor hom ; to znaczy, jeśli zbiór hom morfizmów między dwoma obiektami kategorii jest obiektem samej kategorii (a nie Set ).
• Kategoria jest $} \ otimes \ mathbf {C} \ do \ mathbf {C}}$ , jeśli jest wyposażona w bifunktor , naturalny i ma lewą i prawą stronę tożsamości spełniające określone warunki spójności .
• Kategoria monoidalna jest symetryczna monoidalna , jeśli dla każdej pary A , B obiektów w C istnieje izomorfizm $\ Displaystyle \ sigma _ {A, B}: A \ otimes B\simeq B\otimes A}$ , która jest naturalna zarówno w A , jak i B , i ponownie spełnia pewne warunki koherencji ( szczegóły w kategorii monoidów symetrycznych ).
• Kategoria monoidalna jest zwarto zamknięta , jeśli każdy obiekt $}$ obiekt podwójny $}$ . ${\ displaystyle \ varepsilon _ {A}: A \ czasami A ^ {*} \ do ja}$$obiektami$ dwa jednostkę jednostkę , które spełniają pewne warunki spójności lub szarpania.
• Kategoria jest $jeśli$ sztyletu , wyposażona funktor inwolucyjny obiektów, ale odwzorowuje morfizmy na ich przyległe.
• Kategoria monoidalna jest sztyletem symetrycznym, jeśli jest kategorią sztyletu i jest symetryczna oraz ma warunki koherencji, które sprawiają, że różne funktory są naturalne.

Kategoria zwarta sztyletu jest zatem kategorią, która jest każdą z powyższych, a ponadto ma warunek powiązania struktury sztyletu ze strukturą zwartą. Odbywa się to poprzez powiązanie jednostki z jednostką za pomocą sztyletu:

${\ Displaystyle \ sigma _ {A, A ^ {*}} \ circ \ varepsilon _ {A} ^ {\ sztylet} = \ eta _ {A}}$

pokazano na powyższym schemacie dojazdów do pracy. W kategorii FdHilb skończenie wymiarowych przestrzeni Hilberta ten ostatni warunek można rozumieć jako definiujący sztylet (koniugat hermitowski) jako transpozycję sprzężenia zespolonego.

Przykłady

Następujące kategorie są kompaktowe.

• Kategoria FdHilb skończenie wymiarowych przestrzeni Hilberta i map liniowych . Morfizmy są operatorami liniowymi między przestrzeniami Hilberta. Iloczyn jest zwykłym iloczynem tensorowym , a sztylet tutaj jest koniugatem hermitowskim .
• Kategoria Rel zbiorów i relacje . Produkt jest oczywiście produktem kartezjańskim . Sztylet tutaj jest dokładnie odwrotny .
• Kategoria skończenie generowanych modułów rzutowych na pierścieniu przemiennym . Sztylet jest tu tylko transpozycją matrycy .
• Kategoria nCob kobordyzmów . _ Tutaj n-wymiarowe kobordyzmy to morfizmy, rozłączny związek to tensor, a odwrócenie obiektów (zamknięte rozmaitości) to sztylet. Topologiczną kwantową teorię pola można zdefiniować jako funktor z nCob do FdHilb .
• Kategoria Rozpiętość ( C ) rozpiętości dla dowolnej kategorii C ze skończonymi granicami .

Nieskończenie wymiarowe przestrzenie Hilberta nie są zwarte jak sztylet i są opisywane przez symetryczne kategorie monoidalne sztyletu .

Twierdzenia strukturalne

i udowodnił, że kategorie zwartych sztyletów są kompletne w odniesieniu do skończonych wymiarowych przestrzeni Hilberta, tj . konkretna kategoria skończenie wymiarowych przestrzeni Hilberta i map liniowych. Nie ma analogicznej kompletności dla Rel lub nCob .

Ten wynik kompletności implikuje, że różne twierdzenia z przestrzeni Hilberta rozciągają się na tę kategorię. Na przykład twierdzenie o braku klonowania implikuje, że nie ma uniwersalnego morfizmu klonowania. Kompletność implikuje również znacznie bardziej przyziemne cechy: zwarte kategorie sztyletów mogą mieć podstawę w taki sam sposób, w jaki przestrzeń Hilberta może mieć podstawę. Operatory można rozłożyć w bazie; operatory mogą mieć wektory własne itp . . Jest to omówione w następnej sekcji.

Podstawa

Twierdzenie o kompletności implikuje, że podstawowe pojęcia z przestrzeni Hilberta przenoszą się do dowolnej kategorii zwartej sztyletu. Zmienia się jednak typowy używany język. Pojęcie bazy jest podane w kategoriach koalgebry . Biorąc pod uwagę przedmiot A z kategorii zwartej sztyletu, podstawą jest obiekt komooidalny ${\ Displaystyle (A, \ delta, \ varepsilon)}$ . Te dwie operacje to kopiowanie lub komultiplikacja δ: A → A ⊗ Morfizm kokomutacyjny i koasocjacyjny oraz operacja usuwania lub morfizm cojednostki ε: A → I . Razem przestrzegają one pięciu aksjomatów:

Współmultiplikatywność:

${\ Displaystyle (1_ {A} \ otimes \ varepsilon) \ circ \ delta = 1_ {A} = (\ varepsilon \ otimes 1_ { A})\circ \delta }$

Współasocjatywność:

${\ Displaystyle (1_ {A} \ otimes \ delta) \ circ \ delta = (\ delta \ otimes 1_ {A}) \ circ \ delta}$

Koprzemienność:

${\ Displaystyle \ sigma _ {A, A} \ circ \ delta = \ delta}$

izometria:

${\ Displaystyle \ delta ^ {\ sztylet} \ circ \ delta = 1_ {A}}$

Prawo Frobeniusa :

${\ Displaystyle (\ delta ^ {\ sztylet} \ otimes 1_ {A}) \ circ (1_ {A} \ otimes \ delta) = \delta \circ \delta ^{\sztylet}}$

Aby zobaczyć, że te relacje definiują bazę przestrzeni wektorowej w tradycyjnym sensie, zapisz współmnożenie i counit używając notacji nawiasowej i rozumiejąc, że są to teraz operatory liniowe działające na wektorach ${\ Displaystyle | j \ rangle}$ w przestrzeni Hilberta H :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ delta: H & \ do H \ otimes H \\ | j \ rangle & \ mapsto | j \ rangle \ czasami | j \ rangle = | jj \ rangle \\\ koniec {wyrównany}}}$

I

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ varepsilon: H & \ do \ mathbb {C} \\ | j \ rangle & \ mapsto 1 \\\ koniec {wyrównane}}}$

Jedyne wektory ${\ displaystyle | j \ rangle}$ , które mogą spełniać powyższe pięć aksjomatów, muszą być względem siebie ortogonalne; counit następnie jednoznacznie określa podstawę. Sugestywne nazwy kopiowanie i usuwanie dla operatorów mnożenia i counit wywodzą się z idei, że twierdzenie o zakazie klonowania i twierdzenie o braku usuwania stwierdza, że ​​jedynymi wektorami, które można skopiować lub usunąć, są ortogonalne wektory bazowe.

Wyniki ogólne

Biorąc pod uwagę powyższą definicję bazy, można podać szereg wyników dla przestrzeni Hilberta dla zwartych kategorii sztyletów. Poniżej wymieniliśmy niektóre z nich, zaczerpnięte z, o ile nie zaznaczono inaczej.

• Podstawę można również rozumieć jako odpowiadającą obserwowalnemu , w tym sensie, że dane obserwowalne czynniki mają (ortogonalne) wektory bazowe. Oznacza to, że obserwowalny jest reprezentowany przez obiekt A wraz z dwoma morfizmami definiującymi podstawę: ${\ Displaystyle (A, \ delta, \ varepsilon)}$ .
• Stan własny obserwowalnego to $}$ obiekt, dla którego ${\ Displaystyle (A, \ delta, \ varepsilon)$

${\ Displaystyle \ delta \ circ \ psi = \ psi \ otimes \ psi}$

Stany własne są do siebie ortogonalne.

• jest komplementarny do obserwowalnego $($$delta, \ varepsilon)}$ , jeśli

${\ Displaystyle \ delta ^ {\ sztylet} \ circ ({\ overline {\ psi}} \ otimes \ psi) = \ varepsilon ^ {\ sztylet}} (W mechanice kwantowej wektor$

stanu ${ Mówimy, że \displaystyle \psi}$ jest komplementarne do obserwowalnego, jeśli jakikolwiek wynik pomiaru jest jednakowo prawdopodobny, tj. stan własny spinu S _x jest jednakowo prawdopodobny, gdy mierzy się go w bazie S _z , lub stany własne pędu są jednakowo prawdopodobne, gdy mierzy się je w podstawie położenia. )

• Dwie obserwowalne ${\ Displaystyle (A, \ delta _ {X}, \ varepsilon _ {X})}$ i ${\ Displaystyle (A, \ δ Z$ δ

$\ circ \ delta _ { X}=\varepsilon _{Z}\circ \varepsilon _{X}^{\dagger }}$

• Obiekty komplementarne generują przekształcenia jednostkowe . Oznacza to, że

${\ Displaystyle \ delta ^ {\ sztylet} \ circ (\ psi \ otimes 1_ {A})}$

jest unitarne wtedy i tylko wtedy, gdy jest komplementarne ${\ Displaystyle \ psi}$ do obserwowalnego ${\ Displaystyle (A, \ delta, \ varepsilon)}$

• Kategoria kompaktowa sztyletu w n Lab