Warunek koherencji

W matematyce , a zwłaszcza w teorii kategorii , warunek koherencji jest zbiorem warunków wymagających równości różnych kompozycji elementarnych morfizmów . Zazwyczaj elementarne morfizmy są częścią danych kategorii . Twierdzenie o koherencji stwierdza, że ​​aby mieć pewność, że wszystkie te równości są spełnione, wystarczy sprawdzić niewielką liczbę tożsamości.

Obrazowy przykład: kategoria monoidalna

Częścią danych kategorii monooidalnej jest wybrany morfizm, ${\ Displaystyle \ alpha _ {A, B, C}}$ asocjatorem : α

${\ Displaystyle \ alfa _ {A, B, C} \ dwukropek (A \ czasami B) \ czasami C \ strzałka w prawo A \ razy (B\czasami C)}$

dla każdej trójki obiektów w kategorii $do {\ displaystyle A, B, C}$ Używając kompozycji tych, można skonstruować morfizm $displaystyle \ alpha _ {A, B, C}}$

$\ Displaystyle ((A_ {N}\otimes A_{N-1})\otimes A_{N-2})\otimes \cdots \otimes A_{1})\rightarrow (A_{N}\otimes (A_{N-1}\otimes \cdots \otimes (A_{2}\otimes A_{1})).}$

$.$ takiego morfizmu jako Jednym z typowych warunków spójności jest to, że wszystkie te kompozycje są równe.

Zwykle dowodzi się warunku koherencji za pomocą twierdzenia o koherencji , które stwierdza, że ​​wystarczy sprawdzić kilka równości kompozycji, aby wykazać, że reszta również jest spełniona. $powyższym$ przykładzie wystarczy tylko sprawdzić, czy dla komutuje

Dowolna para morfizmów z ${\ Displaystyle ({\ cdots (A_ {N} \ czasami A_ {N-1}) \ czasami \ cdots ) \ czasami A_ {2}) \ czasami A_ {1})}$ do ${\ Displaystyle (A_ {N } \ otimes (A_ {N-1} \ otimes (\ cdots \ otimes (A_ {2} \ otimes A_ {1}) \ cdots ))}$ skonstruowane jako kompozycje różnych ${\ Displaystyle \ alpha _{A,B,C}}$ są równe.

Dalsze przykłady

Dwa proste przykłady ilustrujące definicję są następujące. Oba pochodzą bezpośrednio z definicji kategorii.

Tożsamość

Niech f : A → B będzie morfizmem kategorii zawierającej dwa obiekty A i B . Z obiektami tymi związane są morfizmy tożsamości 1 _A : A → A i 1 _B : B → B . Komponując je z f , konstruujemy dwa morfizmy:

fa o 1 _ZA : ZA → b , i

1 _B z fa : ZA → b .

Oba są morfizmami między tymi samymi obiektami co f . Mamy zatem następujące oświadczenie o spójności:

fa o 1 _ZA = fa = 1 _b . fa .

Asocjatywność kompozycji

Niech f : A → B , g : B → C i h : C → D będą morfizmami kategorii zawierającej obiekty A , B , C i D . Powtarzając skład, możemy skonstruować morfizm od A do D na dwa sposoby:

( h o sol ) o fa : ZA → re , i

ho o ( g o fa ) : ZA → re .

Mamy teraz następujące oświadczenie o spójności:

( godz o sol ) o fa = godz o ( sol o fa ) .

W tych dwóch konkretnych przykładach stwierdzenia koherencyjne są twierdzeniami dla przypadku kategorii abstrakcyjnej, ponieważ wynikają bezpośrednio z aksjomatów; w rzeczywistości są to aksjomaty. W przypadku konkretnej struktury matematycznej można je traktować jako warunki, czyli wymagania, aby rozpatrywana struktura matematyczna była konkretną kategorią, wymagania, które taka struktura może spełniać lub nie spełniać.

•   Mac Lane, Saunders (1971). „7. Monoidy §2 Spójność” . Kategorie dla pracującego matematyka . Teksty dyplomowe z matematyki. Tom. 4. Springera. s. 161–165. doi : 10.1007/978-1-4612-9839-7_8 . ISBN 9781461298397 .