Spójność (teoria homotopii)
W matematyce , szczególnie w teorii homotopii i (wyższej) teorii kategorii , spójność jest standardem, który muszą spełniać równości lub diagramy, gdy „są zgodne z homotopią ” lub „z izomorfizmem ”.
Przymiotniki takie jak „pseudo-” i „luźny-” są używane w odniesieniu do faktu, że równości są osłabiane w spójny sposób; np. pseudofunktor , pseudoalgebra .
Spójny izomorfizm
W niektórych sytuacjach izomorfizmy muszą być wybierane w spójny sposób. Często można to osiągnąć, wybierając kanoniczne izomorfizmy . Ale w niektórych przypadkach, takich jak prestacks , może istnieć kilka kanonicznych izomorfizmów i może nie być wśród nich oczywistego wyboru.
W praktyce spójne izomorfizmy powstają w wyniku osłabienia równości; np. ścisłą asocjatywność można zastąpić asocjatywnością poprzez spójne izomorfizmy. Na przykład dzięki temu procesowi otrzymuje się pojęcie słabej kategorii 2 od pojęcia ścisłej kategorii 2 .
Zastępowanie spójnych izomorfizmów przez równości jest zwykle nazywane restrykcją lub rektyfikacją.
Twierdzenie o koherencji
Twierdzenie o koherencji Mac Lane'a stwierdza z grubsza, że jeśli diagramy pewnych typów dojeżdżają do pracy , to diagramy wszystkich typów dojeżdżają do pracy. Prosty dowód tego twierdzenia można uzyskać za pomocą permutoassociahedron , polytope , którego struktura kombinatoryczna pojawia się implicite w dowodzie Mac Lane'a.
Istnieje kilka uogólnień twierdzenia Mac Lane'a o koherencji. Każdy z nich ma zgrubną formę, że „każda słaba struktura jakiegoś rodzaju jest równoważna z bardziej rygorystyczną”.
Spójność homotopii
Zobacz też
Notatki
- Cordier, Jean-Marc; Porter, Tymoteusz (1997). „Teoria spójnych kategorii homotopii” . Transakcje Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 349 (1): 1–54. doi : 10.1090/S0002-9947-97-01752-2 .
- § 5. Mac Lane, Saunders (styczeń 1976). „Topologia i logika jako źródło algebry (przemówienie prezydenckie na emeryturze)” . Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 82 (1): 1–40. doi : 10.1090/S0002-9904-1976-13928-6 .
- Mac Lane, Saunders (1978) [1971]. Kategorie dla pracującego matematyka . Teksty dyplomowe z matematyki. Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4757-4721-8 .
- Ch. 5 Kamps, Klaus Heiner; Porter, Tymoteusz (kwiecień 1997). Homotopia abstrakcyjna i teoria homotopii prostej . Świat naukowy. doi : 10.1142/2215 . ISBN 9810216025 .
- Shulman, Mike (2012). „Nie każda pseudoalgebra jest równoważna ścisłej” . Postępy w matematyce . 229 (3): 2024–2041. ar Xiv : 1005.1520 . doi : 10.1016/j.aim.2011.01.010 .
- Kapranow, Michaił M. (1993). „Permutoasocjaścian, twierdzenie o koherencji Mac Lane'a i strefy asymptotyczne dla równania KZ” . Dziennik algebry czystej i stosowanej . 85 (2): 119–142. doi : 10.1016/0022-4049(93)90049-Y .
- Reiner, Wiktor; Ziegler, Günter M. (1994). „Coxeter-associahedra” . Matematyka . 41 (2): 364–393. doi : 10.1112/S0025579300007452 .
Linki zewnętrzne