Permutoasocjaścian

Permutoassociahedron wymiaru

\

zgodność między jego wierzchołkami a ujętymi w nawiasy permutacjami trzech terminów i za

displaystyle a}

,

{\ displaystyle b}

i

{\ displaystyle c}

.

Cztery ścianki permutoasocjaedru wymiaru

re

które mają wspólny wierzchołek

{\ Displaystyle (ab) (cd)

. Trzy z tych ścian to czworoboki, a czwarta to pięciokąt.

W matematyce permutoassociahedron jest $wyrazy$ polytopem , którego wierzchołki odpowiadają ujęciom w nawiasy permutacji terminów i którego $łączą$ , przesuwając parę nawiasów za pomocą asocjatywności lub transponując dwa kolejne , które nie są oddzielone nawiasem.

Permutoasociaedr został po raz pierwszy zdefiniowany jako kompleks CW przez Michaiła Kapranowa , który zauważył, że ta struktura pojawia się pośrednio w twierdzeniu o koherencji Mac Lane'a dla kategorii symetrycznych i splecionych , a także w pracy Vladimira Drinfelda nad równaniami Knizhnika-Zamolodchikova . Został skonstruowany jako wypukła polytopa przez Victora Reinera i Güntera M. Zieglera .

Przykłady

Gdy ${\ displaystyle n = 2} ,$ $}$ permutoasociahedronu można przedstawić, umieszczając w nawiasach wszystkie permutacje trzech terminów ${$ i do $\ displaystyle$ . Istnieje sześć takich permutacji, ${\ displaystyle abc}$ , ${\ displaystyle acb}$ , ${\ displaystyle bac}$ , ${\ displaystyle bca}$ , ${\ displaystyle cab}$ i ${\ displaystyle cba}$ , a każdy z nich dopuszcza dwa nawiasy (uzyskane od siebie przez asocjatywność). Na przykład można ująć w nawiasy jako $b$ $\ Displaystyle (ab) c}$ lub jako $Displaystyle a (bc)$ . Stąd ${\ displayStyle 2}$ -Dimensional permutoassoCedron to DodeCagon z wierzchołkami ${\ displayStyle a (bc)}$ , ${\ displayStyle a (cb)}$ , ${\ displayStyle (ac) b},$ $(a b) b}$ , c , $Yle C (ab)}$ , ${\ Displaystyle c (ba)}$ , ${\ Displaystyle (cb) a}$ , ${\ Displaystyle (bc) a}$ , ${\ Displaystyle b (ca)}$ , $\ Displaystyle b (ac)}$ , ${\ Displaystyle (ba) c}$ i ${\ Displaystyle (ab) c}$ .

${\ Displaystyle n = 3}$ $)$ { \ $b$ ( ) $}$ i ${\ Displaystyle ((ba) c) d}$ . Pierwsze dwa wierzchołki są osiągane z ${\ Displaystyle ((ab) c) d} przez asocjatywność, a$ przez transpozycję. Wierzchołek ${\ Displaystyle (ab) (cd)}$ sąsiaduje z czterema wierzchołkami. Dwa z nich, ${\ Displaystyle ((ab) c) d}$ $) ( do re )$ a pozostałe dwa, $(cd)}$ ( $\ Displaystyle (ab) (dc)}$ , poprzez transpozycję. To pokazuje, że w wymiarze ${\ displaystyle 3}$ i powyżej, permutoassociahedron nie jest prostym polytopem .

Nieruchomości

N $\ displaystyle n}$ -wymiarowy permutoasociaedr ma

{\ Displaystyle n! {2n \ wybierz n}}

wierzchołki. $.$ to iloczyn liczby permutacji wszystkich możliwych ujęć w nawiasy dowolnej takiej permutacji Poprzednia liczba jest równa silni ${\ Displaystyle (n + 1)!},$ a późniejszy to numer kataloński n $\ displaystyle n}$ .

Ze względu na swój opis w kategoriach permutacji w nawiasach, 1-szkielet permutoasocjaedru jest flipgrafem z dwoma różnymi rodzajami przerzucania (asocjatywność i transpozycje).

Zobacz też