Równania Kniżnika-Zamołodczikowa

W fizyce matematycznej równania Knizhnika -Zamolodchikova lub równania KZ są liniowymi równaniami różniczkowymi spełnianymi przez funkcje korelacji (na sferze Riemanna) dwuwymiarowych konforemnych teorii pola związanych z afiniczną algebrą Liego na ustalonym poziomie. Tworzą układ złożonych równań różniczkowych cząstkowych z regularnymi punktami osobliwymi spełnianymi przez N -punktowe funkcje afinicznych ciał pierwotnych i można wyprowadzić za pomocą formalizmu algebr Liego lub algebr wierzchołków .

Struktura zerowej części konforemnej teorii pola jest zakodowana we właściwościach monodromii tych równań. W szczególności splatanie i fuzja pól pierwotnych (lub ich powiązanych reprezentacji) można wywnioskować z właściwości funkcji czteropunktowych, dla których równania redukują się do pojedynczego złożonego równania różniczkowego zwyczajnego pierwszego rzędu o wartościach macierzowych Fuchsa typ.

Pierwotnie rosyjscy fizycy Vadim Knizhnik i Alexander Zamolodchikov wyprowadzili równania dla modelu SU (2) Wessa – Zumino – Wittena, używając klasycznych wzorów Gaussa na współczynniki połączenia hipergeometrycznego równania różniczkowego .

Definicja

Niech oznacza afiniczną algebrę Liego z $liczbą$ i Coxetera $h$ $.$ Niech $v$ będzie wektorem z reprezentacji trybu zerowego ${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ mathfrak {g}}} _ {k}}$ i ${\ Displaystyle \ Phi (v, z) }$ skojarzone z nim pole podstawowe. niech ${\ displaystyle t ^ {a}}$ sol {\ Displaystyle ${\ mathfrak {g}}}$ , ${i} ^ {a}}$ ich reprezentacja na polu podstawowym $\Phi (v_{i},z)$ i $η$ forma zabijania . Wtedy $}$ N Odczytano równania Knizhnika – Zamolodczikowa

{\ Displaystyle \ lewo ((k + h) \ częściowe _ {z_ {i}} + \ suma _ {j \ neq i} {\ Frac {\ suma _ {a, b} \ eta _ {ab }t_{i}^{a}\oraz t_{j}^{b}}{z_{i}-z_{j}}}\right)\left\langle \Fi (v_{N},z_{N })\kropki \Phi (v_{1},z_{1})\prawo\rangle =0.}

Nieformalne wyprowadzenie

Równania Knizhnika-Zamolodchikova wynikają z konstrukcji algebry Virasoro Sugawary z afinicznej algebry Liego. Dokładniej, wynikają one z zastosowania tożsamości

{\ Displaystyle L_ {- 1} = {\ Frac {1} {2 (k +h)}}\sum _{k\in \mathbf {Z}}\sum _{a,b}\eta _{ab}J_{-k}^{a}J_{k-1}^{b }}

$do$ afinicznego podstawowych $.$ tylko terminy nie Działanie można następnie przepisać przy użyciu globalnych tożsamości Totemów , jot ${-1} ^ {a}}$

{\ Displaystyle \ lewo (\ lewo (J_ {-1} ^ {a} \ prawo) _ {i} + \ suma _ {j \ neq i} {\ Frac {t_ {j} ^ {a}} {z_ {i}-z_{j}}}\right)\left\langle \Fi (v_{N},z_{N})\kropki \Fi (v_{1},z_{1})\right\rangle = 0,}

i można utożsamiać z nieskończenie małym operatorem translacji $częściowy z}}}$ $Displaystyle {\ Frac {\ częściowy$ .

Sformułowanie matematyczne

Od czasu opracowania w Tsuchiya i Kanie (1988) równanie Knizhnika-Zamolodczikowa zostało sformułowane matematycznie w języku algebr wierzchołków dzięki Borcherdsowi (1986) oraz Frenkelowi, Lepowsky'emu i Meurmanowi (1988) . Podejście to zostało spopularyzowane wśród fizyków teoretyków przez Goddarda (1988) oraz wśród matematyków przez Kaca (1996) .

₀₀₀₀₀ Reprezentacja próżni H afinicznej algebry Kaca-Moody'ego na ustalonym poziomie może być zakodowana w algebrze wierzchołków . Wyprowadzenie $d$ działa jak operator energii L na H , który można zapisać jako bezpośrednią sumę nieujemnych całkowitych przestrzeni własnych L , przy czym przestrzeń o zerowej energii jest generowana przez wektor próżni Ω . Wartość własna wektora własnego L nazywana jest jego energią. Dla każdego stanu a w L istnieje operator wierzchołków V ( a , z ), który tworzy a z wektora próżni Ω, w tym sensie, że

{\ Displaystyle V (a, 0) \ omega = a.}

Operatory wierzchołków energii 1 odpowiadają generatorom algebry afinicznej

{\ Displaystyle X (z) = \ suma X (n) z ^ {- n-1}}

gdzie X rozciąga się na elementy leżącego u podstaw skończonego wymiaru prostego złożonego. algebra kłamstw sol $}$ }

Istnieje wektor własny energii 2 $L -2 Ω$ , który daje generatory L _n algebry Virasoro powiązanej z algebrą Kaca-Moody'ego przez konstrukcję Segala-Sugawary

{\ Displaystyle T (z) = \ suma L_ {n} z ^ {-n-2}.}

Jeśli a ma energię $α$ , to odpowiedni operator wierzchołków ma postać

{\ Displaystyle V (a, z) = \ suma V (a, n) z ^ {- n- \ alfa}.}

Operatory wierzchołków spełniają

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {d} {dz}} V (a, z) & = \ lewo [L_ {-1}, V (a, z) \ prawo ]=V\left(L_{-1}a,z\right)\\\left[L_{0},V(a,z)\right]&=\left(z^{-1}{\frac {d}{dz}}+\alpha \right)V(a,z)\end{wyrównane}}}

a także relacje lokalności i asocjatywności

{\ Displaystyle V (a, z) V (b, w) = V (b, w) V (a, z) = V (V (a, zw) b, w).}

Te dwie ostatnie relacje są rozumiane jako analityczne kontynuacje: iloczyny wewnętrzne o skończonych wektorach energii trzech wyrażeń definiują te same wielomiany w $z \pm1, w \pm1$ i $(z - w) -1$ w dziedzinach | z | < | w |, | z | > | w | i | z – w | < | w |. Z tych relacji można odzyskać wszystkie relacje strukturalne algebry Kaca – Moody'ego i Virasoro, w tym konstrukcję Segala – Sugawary.

Każda inna reprezentacja całkowa Hi _a na tym samym poziomie staje się modułem algebry wierzchołków w tym sensie, że dla każdego istnieje operator wierzchołkowy $taki Vi (a, z)$ na H _i , że

{\ Displaystyle V_ {i} (a, z) V_ {i} (b, w) = V_ {i} (b, w) V_ {i} (a, z) = V_ {i} (V (a, zw)b,w).}

Najbardziej ogólnymi operatorami wierzchołków na danym poziomie są operatory przeplatające $Φ(v, z)$ między reprezentacjami Hi _i H _j , gdzie v leży w H _k . Operatory te można również zapisać jako

{\ Displaystyle \ Phi (v, z) = \ suma \ Phi (v, n) z ^ {- n- \ delta}}

ale δ może teraz być liczbami wymiernymi . Ponownie te przeplatające się operatory charakteryzują się właściwościami

{\ Displaystyle V_ {j} (a,z)\Phi (v,w)=\Fi (v,w)V_{i}(a,w)=\Fi \left(V_{k}(a,zw)v,w\right) }

₀ oraz relacje z L i L _-1 podobne do powyższych.

₀ Kiedy v znajduje się w podprzestrzeni o najniższej energii dla $L$ na H k _, nieredukowalnej reprezentacji , operator $Φ (v, w)$ jest podstawowym polem ładunku k .

₀ Biorąc pod uwagę łańcuch n pól podstawowych zaczynających się i kończących na H , ich korelacja lub n -punktowa funkcja jest zdefiniowana przez

{\ Displaystyle \ lewo \ langle \ Phi (v_ {1}, z_ {1}) \ Phi (v_ {2}, z_ {2}) \ cdots \ Phi (v_ {n}, z_ {n}) \ prawo \rangle =\left(\Phi \left(v_{1},z_{1}\right)\Phi \left(v_{2},z_{2}\right)\cdots \Phi \left(v_{n },z_{n}\right)\Omega ,\Omega \right).}

W literaturze fizyki v _{ja są często pomijane} $,$ a pole podstawowe zapisywane Φ _ja ( z _ja ), przy założeniu, że jest ono oznaczone odpowiednią nieredukowalną reprezentacją .

Wyprowadzenie algebry wierzchołków

Jeśli ( X _s ) jest podstawą ortonormalną dla $korelacji$ Killinga, równania Knizhnika-Zamolodchikova można wywnioskować, całkując funkcję

{\ Displaystyle \ suma _ {s} \ lewo \ kąt X_{s}(w)X_{s}(z)\Phi (v_{1},z_{1})\cdots \Phi (v_{n},z_{n})\right\rangle (wz) ^{-1}}

najpierw w zmiennej w wokół małego okręgu o środku w z ; z twierdzenia Cauchy'ego wynik można wyrazić jako sumę całek wokół n małych kółek o środku w z _j :

{\ Displaystyle {1 \ ponad 2} (k + h) \ lewo \ langle T (z) \ Phi (v_ {1}, z_ {1}) \ cdots \ Phi (v_ {n}, z_ {n}) \right\rangle =-\sum _{j,s}\left\langle X_{s}(z)\Phi (v_{1},z_{1})\cdots \Phi (X_{s}v_{j },z_{j})\cdots \Phi (v_{n},z_{n})\right\rangle (z-z_{j})^{-1}.}

Całkowanie obu stron w zmiennej z wokół małego okręgu o środku w z _i daje i- ^te równanie Knizhnika-Zamolodczikowa.

Wyprowadzenie algebry kłamstw

Możliwe jest również wyprowadzenie równań Knizhnika-Zamodchikova bez wyraźnego użycia algebr wierzchołków. Wyraz $Φ(vi zastąpić, zi w funkcji korelacji) można$ jego komutatorem z L _r gdzie r = 0, ±1. Wynik można wyrazić jako pochodną względem z _i . Z drugiej strony Lr _: jest również dane wzorem Segala-Sugawary

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} L_ {0} & = (k + h) ^ {- 1} \ suma _ {s} \ lewo [{\ Frac {1 }{2}}X_{s}(0)^{2}+\suma_{m>0}X_{s}(-m)X_{s}(m)\right]\\L_{\pm 1 }&=(k+h)^{-1}\sum _{s}\sum _{m\geq 0}X_{s}(-m\pm 1)X_{s}(m)\end{wyrównane }}}

Po podstawieniu tych wzorów na L _r , otrzymane wyrażenia można uprościć za pomocą wzorów komutatora

{\ Displaystyle [X (m), \ Phi (a, n)] = \ Phi (Xa, m + n).}

Oryginalne wyprowadzenie

Oryginalny dowód Knizhnika i Zamolodczikowa (1984) , reprodukowany w Tsuchiya i Kanie (1988) , wykorzystuje kombinację obu powyższych metod. Najpierw zauważ, że dla X w ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

{\ Displaystyle \ lewo \ langle X (z) \ Phi (v_ {1}, z_ {1}) \ cdots \ Phi (v_ {n}, z_ {n}) \ prawo \ rangle = \ suma _ {j} \left\langle \Phi (v_{1},z_{1})\cdots \Phi (Xv_{j},z_{j})\cdots \Phi (v_{n},z_{n})\right\ zakres (z-z_{j})^{-1}.}

Stąd

{\ Displaystyle \ suma _ {s} \ langle X_ {s} (z) \ Phi (z_ {1}, v_ {1}) \ cdots \ Phi (X_ {s} v_ {i}, z_ {i}) \cdots \Phi (v_{n},z_{n})\rangle =\sum _{j}\sum _{s}\langle \cdots \Phi (X_{s}v_{j},z_{j} )\cdots \Phi (X_{s}v_{i},z_{i})\cdots \rangle (z-z_{j})^{-1}.}

Z drugiej strony,

{\ Displaystyle \ suma _ {s} X_ {s} (z) \ Phi \ lewo (X_ {s} v_ {i}, z_ {i} \ prawej)

aby

{\ Displaystyle (k + g) {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy z_ {i}}} \ Phi (v_ {i}, z_ {i}) = \ lim _ {z \ do z_ {i}} \left[\suma _{s}X_{s}(z)\Phi \left(X_{s}v_{i},z_{i}\right)-(z-z_{i})^{-1 }\Phi \left(\suma _{s}X_{s}^{2}v_{i},z_{i}\right)\right].}

Wynik wynika z użycia tego limitu w poprzedniej równości.

Monodromiczna reprezentacja równania KZ

W konforemnej teorii pola zgodnie z powyższą definicją n - punktowa funkcja korelacji pola pierwotnego spełnia równanie KZ. ${$ szczególności dla ${\$ liczb całkowitych pola podstawowe s $}} _ {2}$ odpowiada spinowi _j reprezentacja ( ${\ Displaystyle j = 0,1/2,1,3/2, \ ldots, k/2})$ . Funkcja korelacji pól podstawowych ${\ Displaystyle \ Psi (z_ {1}, \ kropki, z_ {n})}$ pól podstawowych ${\ Displaystyle \ Phi _ {j} (z_ {j})}$ 's dla reprezentacji ${\ Displaystyle (\ rho, V_ {i})}$ przyjmuje wartości w iloczynie tensorowym ${\ Displaystyle V_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes V_ {n}}$ i jego równanie KZ to

{\ Displaystyle (k + 2) {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy z_ {i}}} \Psi =\sum _{i,j\neq i}}{\frac {\Omega _{ij}}{z_{i}-z_{j}}}\Psi}

,

gdzie ${\ Displaystyle \ Omega _ {ij} = \ suma _ {a} \ rho _ {i} (J ^ {a}) \ czasami \rho _{j}(J_{a})}$ jako powyższe nieformalne wyprowadzenie .

Tę n - $punktową$ $gdzie$ jako wielowartościową funkcję z $\ Displaystyle z_ {i} \ neq z_ {j}}$ dla ${\ Displaystyle i \ neq j}$ . Dzięki tej analitycznej kontynuacji holonomia równania KZ może być opisana przez grupę plecionek ${\ Displaystyle B_ {n}}$ wprowadzony przez Emila Artina . Ogólnie rzecz biorąc, złożona półprosta algebra Liego $warkocza$ jej reprezentacje dają liniową reprezentację ${\ Displaystyle (\ rho, V_ {i})}$ Grupa

{\ Displaystyle \ theta \ dwukropek B_ {n} \ strzałka w prawo V_ {1} \ czasami \ cdots \ otimes V_ {n}}

jako holonomia równania KZ. Przeciwnie, równanie KZ daje liniową reprezentację grup plecionek jako holonomię.

Działanie $się$ równania KZ nazywa KZ W szczególności, jeśli wszystkie $1/2,$ reprezentację spinu _{wówczas reprezentacja liniowa uzyskana z równania KZ} zgodna z reprezentacją skonstruowaną z teorii algebry operatorów przez Vaughana Jonesa . Wiadomo, że monodromiczna reprezentacja równania KZ z ogólną półprostą algebrą Liego jest zgodna z liniową reprezentacją grupy warkoczowej daną przez macierz R odpowiedniej grupy kwantowej .

Aplikacje

Teoria reprezentacji afinicznej algebry Liego i grup kwantowych
Grupy warkoczy
Topologia dopełnień hiperpłaszczyznowych
Teoria węzłów i 3-krotnie

Zobacz też

Kwantowe równania KZ

^ Kohno 2002

Baik, Jinho; Deift, Percy; Johansson, Kurt (czerwiec 1999), „O rozkładzie długości najdłuższej rosnącej podsekwencji losowych permutacji” (PDF) , J. Amer. Matematyka soc. , 12 (4): 1119–78, doi : 10.1090/S0894-0347-99-00307-0 , S2CID 11355968
Kniżnik, WG ; Zamolodchikov, AB (1984), „Current Algebra and Wess-Zumino Model in Two-Dimensions”, Nucl. fizyka B , 247 (1): 83–103, Bibcode : 1984NuPhB.247...83K , doi : 10.1016/0550-3213(84)90374-2
Tsuchiya, A.; Kanie, Y. (1988), Operatory wierzchołków w konforemnej teorii pola na P(1) i monodromiczne reprezentacje grupy warkoczy , Adv. Stadnina. Czysta matematyka, tom. 16, s. 297–372 (Erratum w tomie 19, s. 675–682.)
Borcherds, Richard (1986), „Algebry wierzchołków, algebry Kaca – Moody'ego i potwór”, Proc. Natl. Acad. nauka USA , 83 (10): 3068–3071, Bibcode : 1986PNAS...83.3068B , doi : 10.1073/pnas.83.10.3068 , PMC 323452 , PMID 16593694
Frenkel, Igor ; Łepowski, Jakub ; Meurman, Arne (1988), algebry operatorów wierzchołków i potwór , Pure and Applied Mathematics, tom. 134, Prasa Akademicka, ISBN 0-12-267065-5
Goddard, Peter (1989), „Meromorficzna konforemna teoria pola” , w: Kac, Victor G. (red.), Infinite Dimensional Lie Algebras And Groups , Advanced Series In Mathematical Physics, tom. 7, World Scientific, s. 556–587, ISBN 978-981-4663-17-5
Kac, Victor (1998), algebry wierzchołków dla początkujących , seria wykładów uniwersyteckich, tom. 10, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 0-8218-0643-2
Etingof, Paweł I .; Frenkel, Igor ; Kirillov, Alexander A. (1998), Wykłady z teorii reprezentacji i równań Knizhnika-Zamolodchikova , Badania matematyczne i monografie, tom. 58, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 0821804960
Frenkel, Edward; Ben-Zvi, David (2001), algebry wierzchołków i krzywe algebraiczne , badania matematyczne i monografie, tom. 88, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 0-8218-2894-0
Kohno, Toshitake (2002), Conformal Field Theory and Topology , Tłumaczenie monografii matematycznych, tom. 210, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 978-0821821305

[1] Kohno 2002