Pole podstawowe

W fizyce teoretycznej pole pierwotne , zwane także operatorem pierwotnym lub po prostu pierwotnym , jest operatorem lokalnym w teorii pola konforemnego , który jest anihilowany przez część algebry konforemnej składającą się z generatorów obniżających. Z teorii reprezentacji operator podstawowy jest operatorem najniższego wymiaru w danej reprezentacji algebry konforemnej . Wszystkie pozostałe operatory w reprezentacji nazywane są potomkami ; można je uzyskać, działając na uzwojenie pierwotne za pomocą generatorów podnoszących.

Historia koncepcji

Pola pierwotne w D -wymiarowej teorii pola konforemnego zostały wprowadzone w 1969 roku przez Macka i Salama i nazwano je polami interpolującymi . Następnie badali je Ferrara, Gatto i Grillo, którzy nazwali je nieredukowalnymi tensorami konforemnymi , oraz Mack, który nazwał je najniższymi wagami . Poliakow zastosował równoważną definicję pól, których nie można przedstawić jako pochodnych innych pól.

Współczesne terminy pola pierwotne i potomkowie zostali wprowadzeni przez Belavina, Polyakova i Zamolodchikova w kontekście dwuwymiarowej konforemnej teorii pola . Ta terminologia jest obecnie używana zarówno dla D =2, jak i D >2.

Konforemna teoria pola w wymiarach czasoprzestrzeni D >2

W $podstawowe$ można zdefiniować na dwa równoważne Campos Delgado przedstawił pedagogiczny dowód równoważności.

Pierwsza definicja

Niech $będzie$ generatorem dylatacji i $niech$ specjalnych Konformalne pole podstawowe , w reprezentacji grupy Lorentza ${\ displaystyle {\ hat {\ phi}} _ {\ rho} ^ {M} (x$ $}$ i z wymiarem zgodnym z ${\ displaystyle \ Delta}$ spełnia następujące warunki w : ${\ displaystyle x = 0$ }

${\ Displaystyle \ lewo [{\ kapelusz {D}}, {\ kapelusz {\ phi}} _ {\ rho} ^ { M}(0)\right]=-i\Delta {\hat {\phi}}_{\rho }^{M}(0)}$ ;
${\ Displaystyle \ lewo [{\ kapelusz {K}} _ {\ mu}, {\ kapelusz {\ phi}} _ {\ rho} ^ {M} ( 0)\prawo]=0}$ .

Druga definicja

Konformalne pole podstawowe , w reprezentacji grupy Lorentza ${\ displaystyle {\ hat {\ phi}} _ {\ rho} ^ {M} (x$ $}$ i z wymiarem konforemnym $($ przekształca się w ramach transformacji konforemnej $x)\eta _{\mu \nu }}$ ${\ Displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} \ mapsto \ Omega ^ {2}$ Jak

{\ Displaystyle {\ kapelusz {\ phi '}} _ {\ rho} ^ { M}(x')=\Omega ^{\Delta }(x){\mathcal {D}}{\left[R(x)\right]^{M}}_{N}{\hat {\phi }} _ {\ rho } ^ {N} (x)}

gdzie ${\ Displaystyle {R ^ {\ mu}} _ {\ nu} (x) = \ Omega ^ {- 1} (x ) {\ Frac {\ częściowe x ^ {\ mu}} {\ częściowe x' ^ {\ nu}}}} i re [ R ( x )$ ] $D}} {\ lewo [R (x) \ prawo] ^ {M}} _ {N}}$ implementuje akcję w R $\ displaystyle R}$ ${\ Displaystyle SO (d-1,1)}$ reprezentacja ${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ phi}} _ {\ rho} ^ {M} (x)}$ .

Konforemna teoria pola w wymiarach D =2

$w$ nieskończenie algebry generatorami . Linie podstawowe definiuje się jako operatory anihilowane przez wszystkie $}}$ L_ {n}, {\ bar {L}} _ { n > 0, które są generatorami obniżającymi. Potomkowie $działając$ uzyskiwani z z n

Algebra Virasoro ma skończenie wymiarową podalgebrę generowaną przez ${\ Displaystyle L_ {n}, {\ bar {L}} _ {n}, -1 \ równoważnik n \ równoważnik 1}$ . Operatory unicestwione przez ${\ displaystyle L_ {1}, {\ bar {L}} _ {1}}$ nazywane są quasi-pierwotnymi. Każde pole pierwotne jest polem quasi-pierwotnym, ale sytuacja odwrotna nie jest prawdą; w rzeczywistości każda pierwotna ma nieskończenie wielu quasi-pierwotnych potomków. Pola quasi-pierwotne w dwuwymiarowej konformalnej teorii pola są bezpośrednimi analogami pól pierwotnych w przypadku D > 2 wymiarowym.

Superkonformalna teoria pola

W $rozszerzenia$ zawierające generatory fermionowe. Kwantowe teorie pola niezmienne w odniesieniu do takich rozszerzonych algebr nazywane są superkonformalnymi. W superkonformalnych teoriach pola rozważa się superkonformalne operatory pierwotne.

W $wymiarach superkonformalne$ $cząstki$ $są$ anihilowane przez generatory fermionowe jednym na każdy generator Ogólnie rzecz biorąc, każda superkonforemna reprezentacja pierwotna będzie zawierać kilka reprezentacji podstawowych algebry konforemnej, które powstają w wyniku działania z doładowaniami $na$ superkonformalną reprezentację pierwotną Istnieją również specjalne chiralne superkonformalne operatory pierwotne, które są operatorami pierwotnymi unicestwionymi przez pewną kombinację doładowań.

W wymiarach $superkonforemne$ teorie pola są niezmienne w ramach Virasoro które obejmują nieskończenie wiele operatorów fermionowych. Superkonformalne cząstki pierwotne są anihilowane przez wszystkie operatory obniżające, bozonowe i fermionowe.

Granice jedności

W unitarnych (super)konforemnych teoriach pola wymiary operatorów pierwotnych spełniają dolne granice zwane granicami jedności. Z grubsza te granice mówią, że wymiar operatora nie może być mniejszy niż wymiar podobnego operatora w teorii pola swobodnego. W czterowymiarowej teorii pola konforemnego granice jedności zostały po raz pierwszy wyprowadzone przez Ferrarę, Gatto i Grillo oraz przez Macka.