Dwuwymiarowa konforemna teoria pola

Dwuwymiarowa konforemna teoria pola jest kwantową teorią pola w dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej , która jest niezmienna w lokalnych przekształceniach konforemnych .

W przeciwieństwie do innych typów konforemnych teorii pola , dwuwymiarowe konforemne teorie pola mają nieskończenie wymiarowe algebry symetrii. W niektórych przypadkach pozwala to na ich dokładne rozwiązanie przy użyciu konforemnej metody ładowania początkowego.

Godne uwagi dwuwymiarowe konformalne teorie pola obejmują modele minimalne , teorię Liouville'a , bezmasowe teorie swobodnego bozonu , modele Wessa – Zumino – Wittena i niektóre modele sigma .

Podstawowe struktury

Geometria

Dwuwymiarowe konforemne teorie pola (CFT) są zdefiniowane na powierzchniach Riemanna , gdzie lokalne mapy konforemne są funkcjami holomorficznymi . Chociaż można sobie wyobrazić, że CFT może istnieć tylko na danej powierzchni Riemanna, jego istnienie na dowolnej powierzchni innej niż kula implikuje jego istnienie na wszystkich powierzchniach. Biorąc pod uwagę CFT, rzeczywiście możliwe jest sklejenie dwóch powierzchni Riemanna tam, gdzie istnieje, i uzyskanie CFT na sklejonej powierzchni. Z drugiej strony, niektóre CFT istnieją tylko na kuli. O ile nie zaznaczono inaczej, rozważamy CFT na kuli w tym artykule.

Symetrie i całkowalność

${ \ Displaystyle (\ ell _ {n} + {\ bar {\ ell}} _ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}} \ kubek (i (\ ell _ {n} - {\ bar { \ell }}_{n}))_{n\in \mathbb {Z} }}$ uwagę lokalną współrzędną $¯$ , rzeczywista przestrzeń wektorowa nieskończenie małych map konformalnych ma podstawę , z ${\ Displaystyle \ ell _ {n} = - z ^ {n + 1} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy z}}}$ . $Displaystyle i (\$ przykład ( ${$ generować tłumaczenia.) Złagodzenie założenia, że ${\ displaystyle {\ bar {z}}}$ z $z} , tj. komplikując przestrzeń nieskończenie małych map konforemnych, otrzymuje się$ displaystyle złożoną przestrzeń wektorową z podstawą ${\ displaystyle ( ( \ell _{n})_{n\in \mathbb {Z}}\cup ({\bar {\ell}}_{n})_{n\in \mathbb {Z}}}$ .

Ze $swoimi$ naturalnymi komutatorami operatory różniczkowe algebrę Witta Według standardowych argumentów mechaniki kwantowej algebra symetrii konforemnej teorii pola musi być centralnym rozszerzeniem algebry Witta, tj. algebry Virasoro , której generatorami są ${\ Displaystyle (L_ {n}) _ { n\w \mathbb {Z} }}$ , plus centralny generator. W danym CFT centralny generator przyjmuje stałą wartość $zwaną$ centralnym ładunkiem.

Algebra symetrii jest zatem iloczynem dwóch kopii algebry Virasoro: algebry poruszającej się w lewo lub algebry holomorficznej z generatorami $prawo$ antyholomorficznej z generatorami ${\ Displaystyle {\ bar {L}} _ {n}}$ .

W uniwersalnej algebrze obwiedniowej Virasoro, algebrze, możliwe jest skonstruowanie nieskończonego zbioru wzajemnie przemieszczających się ładunków. Pierwszy ładunek to $dowolne$ Virasoro, trzeci ładunek jest sześcienny itd. To pokazuje, -wymiarowa konforemna teoria pola jest również układem całkowalnym kwantowo .

Przestrzeń stanów

Przestrzeń stanów , zwana także widmem , CFT jest reprezentacją iloczynu dwóch algebr Virasoro.

który jest wektorem własnym i $\$$Displaystyle {\ bar {L}} _ {0}}$ z wartościami własnymi ${\ Displaystyle \ Delta}$${\ styl wyświetlania {\bar {\Delta}}}$ ,

• ${\ Displaystyle \ Delta}$ to lewy wymiar konforemny ,
• ${\ Displaystyle {\ bar {\ Delta}}}$ jest właściwym wymiarem konforemnym ,
• ${\ Displaystyle \ Delta + {\ bar {\ Delta}}}$ to całkowity wymiar konforemny lub energia,
• ${\ Displaystyle \ Delta - {\ bar {\ Delta}}}$ jest spinem konforemnym .

CFT nazywa się racjonalnym , jeśli jego przestrzeń stanów rozkłada się na skończenie wiele nieredukowalnych reprezentacji iloczynu dwóch algebr Virasoro.

CFT nazywa się $Displaystyle$ , jeśli jej przestrzeń stanów jest bezpośrednią sumą reprezentacji typu , gdzie jest nierozkładalną reprezentacją $R \ otimes {\ bar {R}}}$ lewa algebra Virasoro i $jest tą$ reprezentacją prawej algebry Virasoro

CFT nazywa się unitarnym, ${\ bar {L}} _ {0}}$ przestrzeń stanów ma dodatnio określoną postać hermitowską taką, że i są samosprzężone, ${\ displaystyle$${\ Displaystyle L_ {0} ^ {\ sztylet} = L_ {0}}$ i ${\ Displaystyle {\ bar {L}} _ {0} ^ {\ sztylet} = { \bar {L}}_{0}}$ . Oznacza to w szczególności, że ${\ Displaystyle L_ {n} ^ {\ sztylet} = L_ {- n}}$ i że ładunek centralny jest rzeczywisty. Przestrzeń stanów jest wtedy przestrzenią Hilberta . Chociaż unitarność jest niezbędna, aby CFT był właściwym systemem kwantowym z interpretacją probabilistyczną, wiele interesujących CFT jest mimo wszystko niejednolitych, w tym modele minimalne i teoria Liouville'a dla większości dozwolonych wartości ładunku centralnego.

Pola i funkcje korelacyjne

stanu z polem jest mapą liniową z przestrzeni stanów do przestrzeni pól, która dojeżdża z działaniem algebry symetrii v $\ Displaystyle v \ mapsto V_ {v} (z)}$ .

W szczególności obraz stanu pierwotnego reprezentacji najniższej wagi algebry Virasoro jest polem pierwotnym takim, że ${\ Displaystyle V _ {\ Delta} (z)}$

${\ Displaystyle L_ {n> 0} V _ {\ Delta} (z) = 0 \ quad, \ quad L_ {0} V _ {\ Delta} (z) = \ Delta V_ {\ Delta} (z) \ .}$

Pola potomne są uzyskiwane z pól podstawowych, działając z trybami tworzenia ${\ displaystyle L_ {n <0}}$ . Pola zdegenerowane odpowiadają stanom pierwotnym reprezentacji zdegenerowanych. ${- 1} V_ {1$ zdegenerowane pole $posłuszne$ L , ze względu na obecność wektora zerowego w odpowiedniej zdegenerowanej reprezentacji.

Funkcja korelacji -punktowej $\$ liczba, która zależy liniowo od $\$$($ z z ${\ Displaystyle i \ neq j \ Strzałka w prawo z_ {i} \neq z_{j}}$ . W sformułowaniu całki po ścieżce konforemnej teorii pola funkcje korelacji są definiowane jako całki funkcjonalne. W konformalnym podejściu ładowania początkowego funkcje korelacji są definiowane przez aksjomaty. W szczególności przyjmuje się, że istnieje ekspansja produktowa operatora (OPE),

${\ Displaystyle V_ {1} (z_ {1}) V_ {2 }(z_{2})=\suma _{i}C_{12}^{v_{i}}(z_{1},z_{2})V_{v_{i}}(z_{2})\ ,}$

gdzie ${\ Displaystyle \ {v_ {i} \}}$ jest podstawą przestrzeni stanów, a liczby ${\ Displaystyle C_ {12} ^ {v_ {i}}(z_{1},z_{2})}$ nazywane są współczynnikami OPE. Ponadto zakłada się, że funkcje korelacji są niezmienne w permutacjach na polach, innymi słowy zakłada się, że OPE jest asocjacyjne i przemienne. (przemienność OPE $(z_ {1})}$${\ Displaystyle V_ {1} (z_ {1}) V_ {2} (z_ {2}) = V_ {2} (z_ {2} ) V_$${\ Displaystyle V_ {v_ {i}}(z_{2})}$ nie oznacza, że ​​współczynniki OPE są niezmienne poniżej $2$ pól łamie tę symetrię.)

Przemienność OPE implikuje, że pola podstawowe mają konforemne spiny całkowite . ${\ Displaystyle S \ in \ mathbb {Z}}$ . Pole pierwotne z zerowym spinem konforemnym nazywamy polem diagonalnym . Istnieją również $obejmują pola fermionowe z$ CFT spinami półcałkowitymi , komutacji. Istnieją również parafermionowe CFT , które obejmują pola o bardziej ogólnych racjonalnych spinach ${\ Displaystyle S \ w \ mathbb {Q}}$ . Nie tylko parafermiony nie dojeżdżają do pracy, ale także ich funkcje korelacyjne są wielowartościowe.

Funkcja podziału torusa jest szczególną funkcją korelacji, która zależy wyłącznie od widma $,$ nie od współczynników OPE. Dla złożonego torusa z modułem $\ mathbb {C}}}}$${\ Displaystyle \ tau} ,$ do funkcją podziału jest

${\ Displaystyle Z (\ tau) = \ operatorname {Tr} _ {\ mathcal {S}} q ^ {L_ {0} - {\frac {c}{24}}}{\bar {q}}^{{\bar {L}}_{0}-{\frac {c}{24}}}}$

gdzie ${\ Displaystyle q = e ^ {2 \ pi ja \ tau}}$ . Funkcja podziału torusa pokrywa się z charakterem widma, traktowanego jako reprezentacja algebry symetrii.

Chiralna konforemna teoria pola

W dwuwymiarowej konforemnej teorii pola właściwości nazywane są chiralnymi , jeśli wynikają z działania jednej z dwóch algebr Virasoro. Jeśli przestrzeń stanów można rozłożyć na faktoryzowane reprezentacje iloczynu dwóch algebr Virasoro, to wszystkie konsekwencje symetrii konforemnej są chiralne. Innymi słowy, działania dwóch algebr Virasoro można badać oddzielnie.

Tensor energii i pędu

zależność pola od jego położenia jest określona przez ${\ Displaystyle V (z)}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy z}} V (z) = L_ {-1} V (z).}$

Wynika z tego, że OP

${\ Displaystyle T (y) V (z) = \ suma _ {n \ w \ mathbb { Z} }{\frac {L_{n}V(z)}{(yz)^{n+2}}},}$

definiuje lokalnie pole holomorficzne, które nie zależy od ${\ displaystyle z.}$${\ Displaystyle T (y)$ To pole jest identyfikowane z (składnikiem) tensora energii i pędu . W szczególności OPE tensora energii i pędu z polem pierwotnym wynosi

${\ Displaystyle T (y) V _ {\ Delta} (z) = {\ Frac {\ Delta} {(yz) ^ {2}}} V _ {\ Delta} (z) + {\ Frac {1} {yz }}{\frac {\częściowy }{\częściowy z}}V_{\Delta}(z)+O(1).}$

OPE tensora energii i pędu z samym sobą jest

${\ Displaystyle T (y) T (z) = {\ Frac {\ Frac {c} {2}} {(yz) ^ {4}}} + {\ Frac {2T (z)} {(yz) ^ {2}}}+{\frac {\częściowy T(z)}{yz}}+O(1),}$

gdzie $.$ centralnym ładunkiem (To OPE jest równoważne stosunkom komutacji algebry Virasoro).

Tożsamości oddziałów konformalnych

Konformalne tożsamości Warda to równania liniowe, którym podlegają funkcje korelacji w wyniku konforemnej symetrii. Można je wyprowadzić, badając funkcje korelacji, które obejmują wstawki tensora energii i pędu. Ich rozwiązaniami są bloki konforemne .

Rozważmy na przykład konforemne tożsamości Warda na kuli. Niech $współrzędną$ na kuli, widzianą jako ${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ cup \ {\ infty \}.}$ Holomorfia tensora energii i pędu w punkcie ${\ Displaystyle z = \ infty}$ jest równoważna

${\ Displaystyle T (z) {\ underset {z \ do \ infty}} {=}} O \ lewo ({\ Frac {1} {z ^ {4}}} \ prawo).}$

Co więcej, wstawienie do $\ Displaystyle T (z)}$ funkcji pól podstawowych daje ${$

${\ Displaystyle \ lewo \ langle T (z) \ prod _ {i = 1} ^ {N} V _ {\ Delta _ {i}} (z_ {i}) \ prawo \ rangle = \ suma _ {i = 1 }^{N}\left({\frac {\Delta _{i}}{(z-z_{i})^{2}}}+{\frac {1}{z-z_{i}}} {\frac {\częściowy }{\częściowy z_{i}}}\right)\left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i}) \right\rangle .}$

Z dwóch ostatnich równań można wywnioskować lokalne tożsamości Warda , które wyrażają $-punktowe$ pól potomnych w kategoriach $funkcji$ pól podstawowych. Co więcej, możliwe jest wyprowadzenie trzech równań różniczkowych dla dowolnej -punktowej funkcji pól podstawowych, zwanych globalnymi konformalnymi tożsamościami Warda : ${\ displaystyle N}$

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {N} \ lewo (z_ {i} ^ {k} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy z_ {i}}} + \ Delta _ {i} kz_ {i}^{k-1}\right)\left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle =0, \qquad (k\in \{0,1,2\}).}$

Tożsamości te określają, w jaki sposób funkcje dwu- i trzypunktowe zależą od ${\ displaystyle z,}$

${\ Displaystyle \ lewo \ langle V _ {\ Delta _ {1}} (z_ {1}) V _ {\ Delta _ {2}} (z_ {2}) \ prawo \ rangle {\ rozpocząć {przypadki} = 0 i \ \ (\Delta _{1}\neq \Delta _{2})\\\propto (z_{1}-z_{2})^{-2\Delta _{1}}&\ \ (\Delta _ {1}=\Delta _{2})\end{przypadki}}}$

${\ Displaystyle \ lewo \ langle V _ {\ Delta _ {1}} (z_ {1}) V _ {\ Delta _ {2}} (z_ {2}) V _ {\ Delta _ {3}} (z_ {3 })\right\rangle \propto (z_{1}-z_{2})^{\Delta _{3}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}(z_{2}-z_{ 3})^{\Delta_{1}-\Delta_{2}-\Delta_{3}}(z_{1}-z_{3})^{\Delta_{2}-\Delta_{ 1}-\Delta _{3}},}$

gdzie nieokreślone współczynniki proporcjonalności są funkcjami ${\ displaystyle {\ bar {z}}.}$

równania BPZ

Funkcja korelacji, która obejmuje zdegenerowane pole, spełnia liniowe równanie różniczkowe cząstkowe zwane równaniem Belavina – Polyakova – Zamolodchikova od nazwiska Aleksandra Belavina , Aleksandra Polyakova i Aleksandra Zamolodczikowa . Rząd tego równania to poziom wektora zerowego w odpowiedniej zdegenerowanej reprezentacji.

Trywialnym przykładem jest równanie BPZ rzędu pierwszego

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy}} {\ częściowy z_ {1}}} \ lewo\langle V_{1,1}(z_{1})V_{2}(z_{2})\cdots V_{N}(z_{N})\prawo\rangle =0.}$

co wynika z

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe z_ {1}}} V_ {1, 1}(z_{1})=L_{-1}V_{1,1}(z_{1})=0.}$

Pierwszy nietrywialny przykład obejmuje zdegenerowane pole ze znikającym wektorem zerowym na poziomie drugim, ${\ Displaystyle V_ {2,1}}$

${\ Displaystyle \ lewo (L_ {-1} ^ {2} + b ^ {2} L_ {-2} \ prawej) V_ {2 ,1}=0,}$

gdzie jest powiązany z centralnym ładunkiem przez ${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle c = 1 + 6 \ lewo (b + b ^ {-1} \ prawo) ^ {2}.}$

Następnie spełnia funkcję -punktową innych $displaystyle N-1}: N {$ podstawowych i $N$$displaystyle$

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {1} {b ^ {2}}} {\ Frac {\ częściowe ^ {2}} {\ częściowe z_ {1} ^{2}}}+\sum _{i=2}^{N}\left({\frac {1}{z_{1}-z_{i}}}{\frac {\częściowo}}{\częściowo z_{i}}}+{\frac {\Delta _{i}}{(z_{1}-z_{i})^{2}}}\right)\right)\left\langle V_{2, 1}(z_{1})\prod _{i=2}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\prawo\rangle =0.}$

Równanie BPZ rzędu $.$$korelacji$ zdegenerowane pole ze zniknięcia wektora zerowego i Warda tożsamości . Dzięki globalnym tożsamościom Warda funkcje czteropunktowe można zapisać w kategoriach jednej zmiennej zamiast czterech, a równania BPZ dla funkcji czteropunktowych można sprowadzić do równań różniczkowych zwyczajnych.

Zasady fuzji

W OPE, które obejmuje zdegenerowane pole, zanik wektora zerowego (plus symetria konforemna) ogranicza, które pola pierwotne mogą się pojawić. Wynikające z tego ograniczenia nazywane są regułami łączenia . Używając pędu takiego, że ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ Displaystyle \ Delta = \ alfa \ lewo (b + b ^ {- 1} - \ alfa \ po prawej)}$

zamiast wymiaru konformalnego do parametryzowania pól podstawowych, reguły łączenia są następujące: ${\ displaystyle \ Delta}$

${\ Displaystyle V_ {r, s} \ razy V_ {\ alfa} = \ suma _ {i = 0} ^ {r-1} \ suma _ {j = 0} ^ {s-1} V_ {\ alfa + \left(i-{\frac {r-1}{2}}\right)b+\left(j-{\frac {s-1}{2}}\right)b^{-1}}}$

w szczególności

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} V_ {1,1} \ razy V_ {\ alfa} i = V_ {\ alfa} \\ [6pt] V_ {2,1} \ razy V_ {\ alfa} i = V_ {\alpha -{\frac {b}{2}}}+V_{\alpha +{\frac {b}{2}}}\\[6pt]V_{1,2}\razy V_{\alpha} &=V_{\alpha -{\frac {1}{2b}}}+V_{\alpha +{\frac {1}{2b}}}\end{wyrównane}}}$

Alternatywnie, reguły fuzji mają algebraiczną definicję w kategoriach asocjacyjnego iloczynu fuzji reprezentacji algebry Virasoro przy danym ładunku centralnym. Produkt fuzji różni się od iloczynu tensorowego reprezentacji. (W iloczynie tensorowym ładunki centralne dodają się). W pewnych skończonych przypadkach prowadzi to do struktury kategorii syntezy jądrowej .

Konforemna teoria pola jest quasi-racjonalna , ponieważ iloczyn fuzji dwóch nierozkładalnych reprezentacji jest sumą skończenie wielu nierozkładalnych reprezentacji. Na przykład uogólnione modele minimalne są quasi-racjonalne, ale nie są racjonalne.

Bootstrap konformalny

Konforemna metoda ładowania początkowego polega na definiowaniu i rozwiązywaniu CFT przy użyciu jedynie założeń symetrii i spójności, poprzez sprowadzenie wszystkich funkcji korelacji do kombinacji stałych struktury i bloków konforemnych. W dwóch wymiarach metoda ta prowadzi do dokładnych rozwiązań pewnych CFT oraz do klasyfikacji racjonalnych teorii.

Stałe struktury

Niech będzie $Δ$ i prawym polem pierwotnym z wymiarami zgodnymi z lewą i prawą stroną i $Displaystyle \ Delta _ {i}}$ i ${\ Displaystyle {\ bar {\Delta}}_{i}}$ . Zgodnie z lewą i prawą globalną tożsamością Warda, trzypunktowe funkcje takich ciał są tego typu

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ lewo \ langle V_ {1} (z_ {1}) V_ {2} (z_ {2}) V_ {3} (z_ {3}) \ prawo \ rangle = C_ {123}\\&\qquad \times (z_{1}-z_{2})^{\Delta _{3}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}(z_{2}- z_{3})^{\Delta_{1}-\Delta_{2}-\Delta_{3}}(z_{1}-z_{3})^{\Delta_{2}-\Delta _{1}-\Delta _{3}}\\&\qquad \times ({\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2})^{{\bar { \Delta }}_{3}-{\bar {\Delta}}_{1}-{\bar {\Delta}}_{2}}({\bar {z}}_{2}-{\ słupek {z}}_{3})^{{\bar {\Delta}}_{1}-{\bar {\Delta}}_{2}-{\bar {\Delta}}_{3} }({\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{3})^{{\bar {\Delta}}_{2}-{\bar {\Delta}}_ {1}-{\bar {\Delta}}_{3}}\ ,\end{wyrównane}}}$

gdzie $.$$trzypunktową$ stałą struktury _ _ Aby funkcja trzypunktowa była jednowartościowa, lewe i prawe konforemne wymiary pól podstawowych muszą być zgodne

${\ Displaystyle \ Delta _ {i} - {\ bar {\ Delta}} _ {i} \ w {\ Frac {1} {2}} \ mathbb {Z} \ .}$

Warunek ten jest spełniony przez bozon ( ${\ Displaystyle \ Delta _ {i} - {\ bar {\ Delta}} _ {i} \ in \ mathbb {Z}} )$ i fermionowy ( ${\ Displaystyle \ Delta _ {i} - {\ bar {\ Delta}} _ {i} \ w \ mathbb {Z} + {\ Frac {1} {2}} }$ ) pola. Jest ona jednak naruszana przez pola parafermionowe ( ${\ Displaystyle \ Delta _ {i} - {\ bar {\ Delta}} _ {i} \ in \ mathbb {Q}} ), których funkcje$ korelacji nie są zatem jednowartościowe na sferze Riemanna.

Trzypunktowe stałe strukturalne pojawiają się również w OPE,

${\ Displaystyle V_ {1} (z_ {1}) V_ {2} (z_ {2}) = \ suma _ {i} C_ {12i} (z_ {1} -z_ {2}) ^ {\ Delta _ {i}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}({\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2})^{{\bar {\ Delta }}_{i}-{\bar {\Delta}}_{1}-{\bar {\Delta}}_{2}}{\Big (}V_{i}(z_{2})+ \cdots {\Duży}}\ .}$

Wkład pól potomnych, oznaczony kropkami, jest całkowicie określony przez konforemną symetrię.

Bloki konforemne

Główny artykuł: blok konforemny Virasoro

Dowolną funkcję korelacji można zapisać jako liniową kombinację bloków konformalnych : funkcji, które są określone przez symetrię konforemną i oznaczone reprezentacjami algebry symetrii. Współczynniki kombinacji liniowej są iloczynami stałych struktury.

W dwuwymiarowym CFT algebra symetrii jest rozkładana na czynniki w dwóch kopiach algebry Virasoro, a blok konforemny, który obejmuje pola podstawowe, ma faktoryzację holomorficzną : jest iloczynem lokalnie czynnika holomorficznego, który jest określony przez poruszający się w lewo Virasoro algebra i lokalnie antyholomorficzny czynnik, który jest określony przez poruszającą się w prawo algebrę Virasoro. Czynniki te same są nazywane blokami konforemnymi.

Na przykład użycie OPE pierwszych dwóch pól w czteropunktowej funkcji plonów pól podstawowych

${\ Displaystyle \ lewo \ langle \ prod _ {i = 1} ^ {4} V_ {i} (z_ {i}) \ prawo \ rangle = \ suma _ {s} C_ {12s }C_{s34}{\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\},\{z_{i}\}){\ mathcal {F}}_{{\bar {\Delta}}_{s}}^{(s)}(\{{\bar {\Delta}}_{i}\},\{{\bar { z}}_{i}\})\ ,}$

fa ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ Delta _ {s}} ^ {(s)} (\ {\ Delta _$ jest s-kanałowym czteropunktowym blokiem konforemnym . Czteropunktowe bloki konforemne to skomplikowane funkcje, które można skutecznie obliczyć za pomocą Aleksieja Zamolodczikowa relacje rekurencji. Jeśli jedno z czterech pól jest zdegenerowane, to odpowiednie bloki konforemne są zgodne z równaniami BPZ. $.$ jednym czterech pól jest odpowiednie bloki konforemne można zapisać za pomocą funkcji hipergeometrycznej

Jak po raz pierwszy wyjaśnił Witten, przestrzeń bloków konformalnych dwuwymiarowej CFT można utożsamiać z kwantową przestrzenią Hilberta 2+1-wymiarowej teorii Cherna-Simonsa , która jest przykładem topologicznej teorii pola . To powiązanie było bardzo owocne w teorii ułamkowego kwantowego efektu Halla .

Konforemne równania ładowania początkowego

Kiedy funkcję korelacji można zapisać w kategoriach bloków konforemnych na kilka różnych sposobów, równość wynikowych wyrażeń nakłada ograniczenia na przestrzeń stanów i trzypunktowe stałe strukturalne. Więzy te nazywane są konforemnymi równaniami ładowania początkowego . Podczas gdy tożsamości Warda są równaniami liniowymi dla funkcji korelacji, konforemne równania ładowania początkowego zależą nieliniowo od trzypunktowych stałych strukturalnych.

Na przykład funkcję czteropunktową można zapisać w ${\ Displaystyle \ lewo \ langle V_ {1} V_ {2} V_ {3} V_ {4} \ prawo \ rangle}$${1} V_ {4} }}$ bloków konformalnych na trzy nierównoważne sposoby, odpowiadające użyciu OPE ( $s$ kanał , ( kanał t ) lub ${\ Displaystyle V_ {1} V_ {3}}$ ( u-kanał ). Równość trzech wynikowych wyrażeń nazywana jest przecinającą się symetrią funkcji czteropunktowej i jest równoważna asocjatywności OPE.

Na przykład funkcja podziału torusa jest niezmienna pod działaniem grupy modułowej na moduł torusa, równoważnie ${\ Displaystyle Z (\ tau) =Z(\tau +1)=Z(-{\frac {1}{\tau}})}$ . Ta niezmienność jest ograniczeniem przestrzeni stanów. Badanie modułowych niezmiennych funkcji podziału torusa jest czasami nazywane modułowym ładowaniem początkowym .

Spójność CFT na kuli jest równoważna przecinającej się symetrii funkcji czteropunktowej. Spójność CFT na wszystkich powierzchniach Riemanna wymaga również modułowej niezmienniczości funkcji jednopunktowej torusa. Modularna niezmienniczość funkcji podziału torusa nie jest zatem ani konieczna, ani wystarczająca, aby istniała CFT. Był jednak szeroko badany w racjonalnych CFT, ponieważ znaki reprezentacji są prostsze niż inne rodzaje bloków konforemnych, takie jak czteropunktowe bloki konforemne sfery.

Przykłady

Minimalistyczne modele

Główny artykuł: Minimalny model (fizyka)

Model minimalny to CFT, którego widmo jest zbudowane ze skończenie wielu nieredukowalnych reprezentacji algebry Virasoro. Minimalne modele istnieją tylko dla określonych wartości ładunku centralnego,

${\ Displaystyle c_ {p, q} = 1-6 {\ Frac {(pq) ^ {2}} {pq}}, \ qquad p> q \ in \ {2,3, \ ldots \}.}$

Istnieje klasyfikacja modeli minimalnych ADE . W szczególności minimalny model serii A $p$${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} (p-1) (q-1)}$ centralnym diagonalnym CFT, którego zdegenerowane reprezentacje najniższej wagi algebry Virasoro. Te zdegenerowane reprezentacje są oznaczone parami liczb całkowitych, które tworzą tablicę Kac ,

${\ Displaystyle (r, s) \ w \ {1, \ ldots, p-1 \} \ razy \ {1, \ ldots, q-1 \} \ qquad {\ tekst {z}} \ qquad (r, s)\simeq (pr,qs).}$

$Na$ model z energii -wymiarowy krytyczny model Isinga .

Teoria Liouville'a

Główny artykuł: teoria pola Liouville'a

Dla dowolnej $CFT, której widmo$ zbudowane z modułów Verma o

${\ Displaystyle \ Delta \ w {\ Frac {c-1} {24}} + \ mathbb {R} _ {+}}$

Teoria Liouville'a została rozwiązana w tym sensie, że jej trzypunktowe stałe strukturalne są jawnie znane. Teoria Liouville'a ma zastosowanie w teorii strun i dwuwymiarowej grawitacji kwantowej.

Rozszerzone algebry symetrii

W niektórych CFT algebra symetrii nie jest tylko algebrą Virasoro, ale algebrą asocjacyjną (tj. niekoniecznie algebrą Liego), która zawiera algebrę Virasoro. Widmo jest następnie rozkładane na reprezentacje tej algebry, a pojęcia diagonalnych i wymiernych CFT są definiowane w odniesieniu do tej algebry.

Bezmasowe teorie swobodnego bozonu

Główny artykuł: Bezmasowe swobodne bozony skalarne w dwóch wymiarach

W dwóch wymiarach bezmasowe teorie swobodnego bozonu są konforemnie niezmienne. Ich algebra symetrii jest $afiniczną$ algebrą Liego, algebry Liego pierwszego stopnia. Iloczyn fuzji dowolnych dwóch reprezentacji tej algebry symetrii daje tylko jedną reprezentację, co czyni funkcje korelacji bardzo prostymi.

Postrzeganie modeli minimalnych i teorii Liouville'a jako zaburzonych swobodnych teorii bozonowych prowadzi do metody gazu Coulomba do obliczania ich funkcji korelacji. Co $zagęszczone$ dla istnieje jednoparametrowa rodzina swobodnych teorii bozonowych z nieskończonymi dyskretnymi widmami, które opisują bozony przy czym parametrem jest promień zagęszczenia.

Modele Wessa-Zumino-Wittena

Główny artykuł: model Wessa – Zumino – Wittena

Biorąc pod uwagę grupę Liego $algebrą$ modelem Wessa – Zumino – Wittena jest CFT, którego algebra symetrii jest afiniczną Liego zbudowaną z algebry Liego $}$$displaystyle$ Jeśli jest zwarty, to ten CFT jest racjonalny, jego centralny ładunek przyjmuje dyskretne wartości, a jego widmo jest znane.

Superkonformalne teorie pola

Algebra symetrii supersymetrycznej CFT jest algebrą super Virasoro lub większą algebrą. Supersymetryczne CFT są szczególnie istotne dla teorii superstrun.

Teorie oparte na W-algebrach

W-algebry są naturalnymi rozszerzeniami algebry Virasoro. CFT oparte na algebrach W obejmują uogólnienia modeli minimalnych i teorii Liouville'a, zwane odpowiednio modelami W-minimalnymi i konforemnymi teoriami Toda . Konformalne teorie Toda są bardziej skomplikowane niż teoria Liouville'a i gorzej rozumiane.

modele Sigmy

W dwóch wymiarach klasyczne modele sigma są konformalnie niezmienne, ale tylko niektóre docelowe rozmaitości prowadzą do kwantowych modeli sigma, które są konformalnie niezmienne. Przykłady takich rozmaitości docelowych obejmują torusy i rozmaitości Calabiego – Yau .

Logarytmiczne konforemne teorie pola

Główny artykuł: Logarytmiczna konforemna teoria pola

Logarytmiczne konforemne teorie pola to dwuwymiarowe CFT, takie że działanie generatora algebry Virasoro $widmo$ nie jest diagonalizowalne. W szczególności widmo nie może być zbudowane wyłącznie z reprezentacji o najniższej masie . W konsekwencji zależność funkcji korelacji od pozycji pól może być logarytmiczna. Kontrastuje to z podobną do mocy zależnością funkcji dwu- i trzypunktowych, które są powiązane z reprezentacjami o najniższej wadze.

Krytyczny model Pottsa w stanie Q

Krytyczny model Pottsa lub model krytycznych $klastrów$ losowych jest konforemną teorią pola, która uogólnia i ujednolica krytyczny model Isinga , model Pottsa perkolację . Model ma parametr $liczbą$ całkowitą w modelu Pottsa, ale który może przyjmować dowolną wartość zespoloną w modelu losowych skupień. Ten parametr jest związany z centralnym ładowaniem wg

${\ Displaystyle Q = 4 \ cos ^ {2} (\ pi \ beta ^ {2}) \ qquad {\ tekst {z}} \ qquad c = 13-6 \ beta ^ {2} -6 \ beta ^ { -2}\ .}$

Wartości specjalne obejmują: ${\ displaystyle Q}$

${\ displaystyle Q}$	${\ displaystyle c}$	Powiązany model statystyczny
${\ styl wyświetlania 0}$	${\ Displaystyle -2}$	Jednolite drzewo rozpinające
${\ Displaystyle 1}$	${\ styl wyświetlania 0}$	Przesiąkanie
${\ Displaystyle 2}$	${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}}}$	Model Isinga
${\ Displaystyle {\ Frac {3 + {\ sqrt {5}}} {2}}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {7} {10}}}$	Trójkrytyczny model Isinga
${\ Displaystyle 3}$	${\ Displaystyle {\ Frac {4} {5}}}$	Trójstanowy model Pottsa
${\ Displaystyle 2 + {\ sqrt {2}}}$	${\ Displaystyle {\ Frac {25} {28}}}$	Trójkrytyczny trójstanowy model Pottsa
${\ Displaystyle 4}$	${\ Displaystyle 1}$	Model Ashkina-Tellera

Znana funkcja podziału torusa sugeruje, że model jest nieracjonalny z dyskretnym widmem.

Dalsza lektura

•   P. Di Francesco, P. Mathieu i D. Sénéchal, Conformal Field Theory , Springer-Verlag, Nowy Jork, 1997. ISBN 0-387-94785-X .
• Conformal Field Theory w String Theory Wiki zawiera listę książek i recenzji.
• Ribault, Sylvain (2014). „Konforemna teoria pola na płaszczyźnie”. arXiv : 1406.4290 [ hep-th ].