W-algebra

Aby zapoznać się z algebrą W *, zobacz algebrę von Neumanna .

W konforemnej teorii pola i teorii reprezentacji algebra W jest algebrą asocjacyjną , która uogólnia algebrę Virasoro . W-algebry zostały wprowadzone przez Aleksandra Zamolodczikowa , a nazwa „W-algebry” pochodzi od faktu, że Zamołodczikow użył litery W dla jednego z elementów jednego ze swoich przykładów.

Definicja

$T$ przez tryby skończonej liczby pól meromorficznych, ${\ Displaystyle T (z) = W ^ {(2)} (z)}$ i . dla ${\ Displaystyle h \ neq 2}$ , ${\ Displaystyle W ^ {(h)} (z)}$ jest polem podstawowym o wymiarze konforemnym ${\ Displaystyle h \ in {\ Frac {1} {2}} \ mathbb {N} ^ { *}}$ . Generatory ${\ Displaystyle (W_ {n} ^ {(h)}} _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$ algebry są powiązane z polami meromorficznymi przez rozszerzenia trybu

${\ Displaystyle W ^ {(h)} (z) = \ suma _ {n \ w \ mathbb {Z}} W_ {n}^{(h)}z^{-nh}}$

$styl wyświetlania c\in \mathbb {C}}$ komutacji $są$ przez algebrę Virasoro $sparametryzowana przez$ ładunek . Ta liczba jest również nazywana centralnym ładunkiem W-algebry. Relacje komutacyjne

${\ Displaystyle [L_ {m}, W_ {n} ^ {(h)}] = ( (h-1)mn)W_{m+n}^{(h)}}$

$z$$,$ założeniem polem _ Resztę relacji komutacji można w zasadzie określić rozwiązując tożsamości Jacobiego .

Biorąc pod uwagę skończony zestaw wymiarów konforemnych $)$ , liczba W-algebr generowanych przez ${\ Displaystyle (W ^ {(h)}) _ {h\in H}}$ może wynosić zero, jeden lub więcej. Wynikowe algebry W mogą istnieć dla wszystkich $.$ niektórych określonych wartości ładunku centralnego

Algebrę W nazywamy swobodnie generowaną , jeśli jej generatory nie przestrzegają żadnych innych relacji poza relacjami komutacji. Najczęściej badane algebry W są generowane swobodnie, w tym algebry W (N). W tym artykule sekcje dotyczące teorii reprezentacji i funkcji korelacji dotyczą swobodnie generowanych W-algebr.

Konstrukcje

Chociaż możliwe $W$ przy założeniu istnienia wielu pól meromorficznych , również konstrukcje rodzin W-algebr.

Redukcja Drinfelda-Sokołowa

Ze skończonej wymiarowej algebry Liego sol $\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ , wraz z osadzeniem ${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2} \ hookrightarrow {\ mathfrak {g }}}$ , W-algebra może być skonstruowana z uniwersalnej algebry obwiedni afinicznej $BRST$ za pomocą pewnego rodzaju konstrukcji . Wtedy centralny ładunek W-algebry jest funkcją poziomu afinicznej algebry Liego.

Konstrukcja Coset

Biorąc pod uwagę skończenie wymiarową algebrę Liego $,$ razem z podalgebrą ${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}} \ hookrightarrow {\ mathfrak {g}}}$ a W -algebra ${\ Displaystyle W ({\ kapelusz {\ mathfrak {g}}} / {\ kapelusz {\ mathfrak {h}}})}$ może być skonstruowana z odpowiednich afinicznych algebr Liego ${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ mathfrak {h}}} \ hookrightarrow {\ kapelusz {\ mathfrak {g}}}}$ . Pola $,$ _ ${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ mathfrak {g}}}}$ i ich pochodne, które dojeżdżają z prądami ${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ mathfrak {h}}}}$ . Centralny ładunek ${\ Displaystyle W ({\ kapelusz {\ mathfrak {g}}}/ {\ kapelusz {\ mathfrak {h}}}}} jest$ różnicą ładunków centralnych $}}}}$${\ Displaystyle {\ hat {\ mathfrak {$$, które same$ i podane pod względem ich poziomu przez konstrukcję Sugawara .

Komutator zbioru ekranowań

$}$ pole holomorficzne z wartościami w i $zbiorem$ wektorów za 1 , R $\ Displaystyle a_ {1}, \ kropki, a_ {n} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$$mathbb {R}$ , W-algebrę można zdefiniować jako zbiór wielomianów ${ \displaystyle \phi }$ i jego pochodne, które dojeżdżają do pracy z opłatami za wyświetlanie ${\ Displaystyle \ punkt e ^ {(a_ {i}, \ phi (z))} dz}$ . Jeśli wektory są prostymi pierwiastkami algebry Liego ${$ wynikowa algebra W pokrywa się z algebrą uzyskaną z sol $}}}$$displaystyle$$displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ przez redukcję Drinfelda-Sokołowa.

Algebry W(N).

Dla dowolnej liczby całkowitej algebra W (N) jest algebrą W, która jest generowana przez $pola$$N ≥ 2 {\ Displaystyle N$ 2 ${\ Displaystyle 2,3, \ kropki, N}$ . Algebra W(2) pokrywa się z algebrą Virasoro .

Budowa

Algebrę W (N) uzyskuje się przez redukcję afinicznej algebry Liego Drinfelda-Sokołowa. ${\ Displaystyle {\ widehat {\ mathfrak {sl}}} _ {N}$ }

Osadzenia $_$ przez całkowite Displaystyle $_$ , interpretowane jako rozkłady podstawowej reprezentacji $\$$Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {N}}$ na reprezentacje ${2}}$ sl $}}$ . Zbiór ${\ displaystyle H}$ wymiarów generatorów wynikowej W-algebry jest taka, że ${\ Displaystyle F \ otimes F = R_ {1} \ oplus \bigoplus _ {h \ in H} R_ {2h-1}}$ gdzie ${\ Displaystyle R_ {d}}$ jest $Displaystyle$ nieredukowalną reprezentacją ${\ mathfrak { sl}}_{2}}$ .

Podział trywialny odpowiada algebrze W (N), $s$$N$${\ Displaystyle {\ widehat {\ mathfrak {sl}}} _ {N}}$ . W przypadku , podział $3}$ do algebry Berszadskiego-Polyakova , której pola generujące mają wymiary . $N$${\ Displaystyle 2 {\ Frac {3} {2}} {\ Frac {3} {2}}, 1}$ .

Nieruchomości

Centralny ładunek algebry W (N) jest określony jako poziom afinicznej algebry Liego przez ${\ displaystyle k}$

${\ Displaystyle c_ {W (N)} = (N-1) \ lewo(1-N(N+1)\lewo({\frac {1}{k+N}}+k+N-2\prawo)\prawo)}$

w notacjach, w których znajduje się ładunek centralny afinicznej algebry Liego

${\ Displaystyle c_ {{\ widehat {\ mathfrak {sl}}} _ {N }}=(N-1)(N+1)-{\frac {N(N-1)(N+1)}{k+N}}}$

Możliwe jest wybranie takiej podstawy, że relacje komutacji są niezmienne pod ${\ Displaystyle W ^ {(h)} \ do (-1) ^ {h} W ^{(h)}}$ .

$\ Displaystyle N \ geq 3}$ uniwersalnej algebry obwiedniowej $3$ (N) z nie jest podalgebrą uniwersalnej algebry obejmującej ${\ Displaystyle {\ widehat {\ mathfrak {sl}}} _ {N}}$ .

Przykład algebry W(3).

Algebra W (3) jest generowana przez generatory algebry Virasoro ${\ Displaystyle (L_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}$ plus inna nieskończona rodzina generatorów ${\ Displaystyle (W_ {n}) _ {n \ w \ mathbb {Z}} = (W_ {n} ^ {(3)} )_{n\w \mathbb {Z} }}$ . Relacje komutacyjne są

${\ Displaystyle [L_ {m}, L_ {n}] = (mn) L_{m+n}+{\frac {c}{12}}m(m^{2}-1)\delta _{m+n,0}}$

${\ Displaystyle [L_ {m}, W_ {n}] = (2m-n) W_ {m + n}}$

${\ Displaystyle [W_ {m}, W_ {n}] = {\ Frac {c} {360}} m (m ^ {2} -1)(m^{2}-4)\delta _{m+n,0}+{\frac {16}{22+5c}}\Lambda _{m+n}+{\frac {(mn )(2m^{2}-mn+2n^{2}-8)}{30}}L_{m+n}}$

gdzie $ładunkiem$ centralnym

${\ Displaystyle \ Lambda _ {n} = \ suma _ {m = - \ infty} ^ {-2} L_ {m} L_ {nm} + \ suma _ {m = -1} ^ {\ infty} L_ { nm}L_{m}-{\frac {3}{10}}(n+2)(n+3)L_{n}}$

Λ ${\ Displaystyle \ Lambda (z) = \ suma _ {n \ in \ mathbb {Z}} \ Lambda _ {n} z ^ {$ jest takie, że ${\ Displaystyle \ Lambda = (TT) - {\ Frac {3} {10}} T''}$ .

Teoria reprezentacji

Reprezentacje o najwyższej wadze

Reprezentacją W-algebry o najwyższej wadze jest reprezentacja generowana przez stan podstawowy: wektor taki , że ${\ displaystyle v}$

${\ Displaystyle W_ {n> 0} ^ {(h)} v = 0 \ quad, \ quad W_ {0} ^ {( h)}v=q^{(h)}v}$

dla niektórych liczb $\ Displaystyle q ^ {(2)} =$ opłatami, w tym wymiarem konforemnym $)$ .

Biorąc pod uwagę zestaw ${\ Displaystyle {\ vec {q}} = (q ^ {(h)}) _ {h \ in H}}$ opłat, odpowiedni moduł Verma jest największą reprezentacją o najwyższej wadze, która jest generowana przez stan podstawowy z tymi ładunkami. Podstawą modułu Verma jest

${\ Displaystyle \ lewo \ {\ prod _ {h \ w H} W_ {- {\ vec {N}} _ {h} }^{(h)}v\right\}_{{\vec {N}}_{h}\in {\mathcal {V}}}}$

gdzie $jest$ zbiorem uporządkowanych krotek ściśle dodatnich liczb całkowitych typu $\ Displaystyle {\ vec {N} } = (n_ {1}, n_ {2}, \ kropki, n_ {p})}$ z ${\ Displaystyle 0 <n_ {1} \ równoważnik n_ {2} \ leq \dots \leq n_{p}}$ i ${\ Displaystyle W_ {- {\ vec {N}}} = W_ {- n_ {1}} W_ {- n_ {2}} \ kropki W_ {-n_{p}}}$ . Z wyjątkiem $samego$ , elementy tej podstawy nazywane są stanami potomnymi, a ich kombinacje liniowe nazywane są również stanami potomnymi.

Dla ogólnych wartości ładunków moduł Verma jest jedyną reprezentacją najwyższej wagi. Dla specjalnych wartości ładunków, które zależą od ładunku centralnego algebry, istnieją inne reprezentacje o największej wadze, zwane reprezentacjami zdegenerowanymi. Zdegenerowane reprezentacje istnieją, jeśli moduł Vermy jest redukowalny i są ilorazami modułu Vermy przez jego nietrywialne podmoduły.

Zdegenerowane reprezentacje

Jeśli moduł Vermy jest redukowalny, każdy nierozkładalny submoduł sam w sobie jest reprezentacją o najwyższej wadze i jest generowany przez stan, który jest zarówno potomkiem, jak i pierwotnym, zwanym stanem zerowym lub wektorem zerowym. Zdegenerowaną reprezentację uzyskuje się przez ustawienie jednego lub więcej wektorów zerowych na zero. Ustawienie wszystkich wektorów zerowych na zero prowadzi do nieredukowalnej reprezentacji.

Struktury i charaktery reprezentacji nieredukowalnych można wydedukować metodą redukcji Drinfelda-Sokołowa z reprezentacji afinicznych algebr Liego.

Istnienie wektorów zerowych jest możliwe tylko przy zależnych od ładunku ograniczeniach $\ displaystyle$$\ vec {q}}}$ . Moduł Verma może mieć tylko skończenie wiele wektorów zerowych, które nie są potomkami innych wektorów zerowych. Jeśli zaczniemy od modułu Vermy, który ma maksymalną liczbę wektorów zerowych i ustawimy wszystkie te wektory zerowe na zero, otrzymamy nieredukowalną reprezentację zwaną w pełni zdegenerowaną reprezentacją.

Na przykład w przypadku algebry W (3) moduł Vermy ze znikającymi ładunkami ${\ Displaystyle q ^ {(2)} = q ^ {(3)} = 0 }$ ma trzy wektory zerowe ${\ Displaystyle L_ {- 1} v, W_ {- 1} v, W_ {- 2} v}$ na poziomach 1, 1 i 2. Ustawienie tych wektorów zerowych na zero daje w pełni zdegenerowaną reprezentację zwaną modułem próżni. Najprostsza nietrywialna, w pełni zdegenerowana reprezentacja W(3) ma znikające wektory zerowe na poziomach 1, 2 i 3, których wyrażenia są jawnie znane.

Alternatywną charakterystyką w pełni zdegenerowanej reprezentacji jest to, że jej produkt fuzji z dowolnym modułem Vermy jest sumą skończenie wielu nierozkładalnych reprezentacji.

Przypadek W(N)

Wygodnie jest parametryzować reprezentacje o najwyższej wadze nie za pomocą zbioru ładunków ${\ Displaystyle {\ vec {q}} = (q ^ {(2)} , \ kropki, q ^ {(N)}}}$ , ale przez element przestrzeni wagowej , zwany $Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {N$${\$ } pęd.

Niech $, \ kropki, e_ {N-1}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {N} }$ będą prostymi pierwiastkami s , z iloczynem skalarnym ${\ Displaystyle K_ {ij} = (e_ {i}, e_ {j})}$ przez macierz Cartana s ${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {N}}$ , których niezerowymi elementami są ${\ Displaystyle K_ {ii} = 2,K_{i,i+1}=K_{i,i-1}=-1}$ . $to$ pierwiastki dowolnej liczby Wektor ${\ Displaystyle (\ rho, \ rho) = {\ Frac {1} {12}} N (N ^ {2} -1)}$$_$ sumy posłuszna . Podstawowe wagi ${\ Displaystyle \ omega _ {1}, \ kropki, \ omega _ {N-1}}$ są zdefiniowane przez ${\ Displaystyle (\ omega _ {i}, e_ {j })=\delta _{ij}}$ . Wtedy pęd jest wektorem

${\ Displaystyle P = \ suma _ {i = 1} ^ {N-1} P_ {i} \ omega _ {i} \ quad tj. quad (e_ {i}, P. )=P_{i}}$

Ładunki są funkcjami $pędu i$ działaniem grupy Weyla . W szczególności $)}}$$h$ jest wielomianem pędu stopnia który pod automorfizmem diagramu Dynkina ${\ Displaystyle e_{i}^{*}=e_{Ni}}$ zachowuje się jak ${\ Displaystyle q ^ {(h)} (P ^ {*}) = (-1) ^ {h} q ^ { (h)}(P)}$ . Wymiar konforemny to

${\ Displaystyle q ^ {(2)} = {\ Frac {c + 1-N} {24}} - (P, P)}$

Sparametryzujmy ładunek centralny za pomocą liczby takiej, że ${\ displaystyle b}$

${\ Displaystyle c = (N-1) {\ duży (} 1 + N (N + 1) \ lewo (b+b^{-1}\right)^{2}{\big )}}$

Jeśli istnieje dodatni pierwiastek $,$ liczby całkowite $r,s\in \mathbb {N} ^{*}$ , że

${\ Displaystyle (e, P) = rb + sb ^ {- 1}}$

$wtedy$ moduł pędu Vermy $ma$ zerowy . Ten wektor zerowy ${\ Displaystyle P-sb ^ {-1}$ w sobie jest pierwotnym stanem pędu $mi$ Weyla) . Liczba niezależnych wektorów zerowych to liczba dodatnich pierwiastków takich, że $_$ _ odbicie Weyla).

Maksymalna liczba wektorów zerowych to liczba dodatnich pierwiastków ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} N (N-1)}$ . Odpowiednie pędy są tego typu

${\ Displaystyle P = (b + b ^ {- 1}) \ rho + b \ Omega ^ {+} + b ^ {- 1}\Omega ^{-}}$

gdzie ${\ Displaystyle \ Omega ^ {+}, \ Omega ^ {-}}$ są integralnymi dominującymi wagami , tj. elementami ${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {N-1} \ mathbb {N} \ omega _ {i}}$ , które są najwyższymi wagami nieredukowalnych reprezentacji skończonych wymiarów s $\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {N}}$ . Nazwijmy ${\ Displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ Omega _ {+}, \ Omega _ {-}}}$ odpowiednia w pełni zdegenerowana reprezentacja algebry W (N).

Nieredukowalna skończenie wymiarowa reprezentacja s ${\ mathfrak {sl}} _ {N}}$${\ Displaystyle$ wagi ma skończony zbiór $Displaystyle R _ {\ Omega}}$ odważników ${\ Displaystyle \ Lambda _ {\ Omega}}$ z ${\ Displaystyle |\ Lambda _ {\ Omega} | = \ słaby (R _ {\ Omega})}$ . Jego iloczyn tensorowy z modułem Verma $wadze$ ∈ $Displaystyle p \ in \ suma _ {i = 1} ^ {N-1 } \ mathbb {R} \ omega _ {i}}$ to ${\ Displaystyle R_ {\ Omega} \ otimes V_ {p} = \ bigoplus _ {\ lambda \in \Lambda _{\Omega}}V_{p+\lambda }}$ . Produkt fuzji w pełni zdegenerowanej reprezentacji W (N) z modułem Verma ${\ Displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ Omega _ {+}, \ Omega _ {-}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {V}} _ {P}}$ pędu jest wtedy ${\ Displaystyle P}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ Omega _ {+}, \ Omega _ {-}} \ razy {\ mathcal {V}} _ {P} = \ suma _ {\ lambda _ {+} \in \Lambda _{\Omega _{+}}}\sum _{\lambda _{-}\in \Lambda _{\Omega _{-}}}{\mathcal {V}}_{P+b \lambda _{+}+b^{-1}\lambda_{-}}}$

Funkcje korelacji

Pola podstawowe

Do podstawowego stanu naładowania ${\ Displaystyle {\ vec {q}} = (q ^ {(h)}) _ {h \ in H}}$ , stan- korespondencja $się$ pole podstawowe $\ Displaystyle W ^ {(h )}(z)}$ z polami są

${\ Displaystyle W ^ {(h)} (y) V _ {\ vec {q}} (z) = \ lewo ({\ Frac {q ^ {(h)}} {(yz) ^{h}}}+\sum _{n=1}^{h-1}{\frac {W_{-n}^{(h)}}{(yz)^{hn}}}\right) V_{\vec {q}}(z)+O(1)}$

Na dowolnym polu tryb tensora energii i pędu działa jako pochodna $)$ - $=$${\ Displaystyle L_ {- 1} V (z) = {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy z}} V (z)}$ .

Tożsamości oddziałów

W sferze Riemanna, jeśli nie ma pola w nieskończoności, mamy ${\ Displaystyle W ^ {(h)} (y) {\ underset { y\do \infty }{=}}O\left(y^{-2h}\right)}$ . dla ${\ Displaystyle n = 0,1, \ kropki, 2h-2}$ tożsamość ${\ Displaystyle \ oint _ {\ infty} dy \ y ^ {n} W ^ {(h)} (y) = 0}$ można wstawić do dowolnej funkcji korelacji. $_$ pole _ $_$ _

, where $\varphi (y)$ is a meromorphic function such that ${\ Displaystyle \ oint _ {\ infty} dy \ \ varphi (y) W ^ {(h)} (y$ re ${\ Displaystyle \ varphi (y) {\ underset {y \ do \ infty} {=}} O \ lewo (y ^ {2h-2} \ prawo)}$ . W funkcji $}$ tożsamości Warda określają działanie w kategoriach n $n \ geq$ działania ${\ Displaystyle W_ {- n} ^ {(h)}}$ z ${\ Displaystyle n \ równoważnik h-1}$ .

Na przykład w przypadku funkcji trzypunktowej na kuli ${\ Displaystyle \ lewo \ langle \ prod _ {i = 1} ^ {3} V_ {{\vec {q}}_{i}}(z_{i})\right\rangle }$ z W(3)-zmienne podstawowe, lokalne tożsamości Warda określają wszystkie potomne funkcje trzypunktowe jako liniowe kombinacje potomnych trzech Funkcje -punktowe, które obejmują tylko ${\ Displaystyle L_ {-1}, W_ {-1}, W_ {-2}}$ . Tożsamości Global Ward dodatkowo ograniczają problem do określenia funkcji trzypunktowych typu ${\ Displaystyle \ lewo\langle V_{{\vec {q}}_{1}}(z_{1})V_{{\vec {q}}_{2}}(z_{2})W_{-1}^{ k}V_{{\vec {q}}_{3}}(z_{3})\prawo\rangle }$ dla ${\ Displaystyle k \ w \ mathbb {N}}$ .

W algebrze W(3), podobnie jak w ogólnych algebrach W, funkcji korelacji pól potomnych nie można zatem wywnioskować z funkcji korelacji pól podstawowych przy użyciu tożsamości Warda, jak to miało miejsce w przypadku algebry Virasoro. Moduł AW(3)-Verma pojawia się w produkcie fuzji dwóch innych modułów W(3)-Verma z krotnością, która jest generalnie nieskończona.

Równania różniczkowe

Funkcja korelacji może być zgodna z równaniem różniczkowym, które uogólnia równania BPZ , jeśli pola mają wystarczająco dużo znikających wektorów zerowych.

Czteropunktowa funkcja W (N) -pierwotnych pól na kuli z jednym w pełni zdegenerowanym polem jest zgodna z równaniem różniczkowym, jeśli ${\ Displaystyle N = 2},$ ale nie, jeśli ${\ Displaystyle N \ geq 3}$ . W tym drugim przypadku, aby istniało równanie różniczkowe, jedno z pozostałych pól musi mieć znikające wektory zerowe. Na przykład funkcja czteropunktowa z dwoma polami pędów ${\ Displaystyle P_ {1} = (b + b ^ {-1}) \ rho + b \ omega _ {1}}$ (całkowicie zdegenerowany) i $+ b ^ {-1}) \ rho + x \ omega _ {N-1}}$$b$ ( prawie całkowicie zdegenerowany) podlega równaniu różniczkowemu, którego rozwiązaniami są uogólnione funkcje hipergeometryczne typu ${\ Displaystyle {} _ {N} F_ {N-1}}$ .

Zastosowania konforemnej teorii pola

Modele W-minimalne

Minimalne modele W są uogólnieniami minimalnych modeli Virasoro opartych na W-algebrze. Ich przestrzenie stanów składają się ze skończenie wielu w pełni zdegenerowanych reprezentacji. Istnieją one dla pewnych wymiernych wartości ładunku centralnego: w przypadku algebry W(N) wartości typu

${\ Displaystyle c_ {p, q} ^ {(N)} = N-1-N(N^{2}-1){\frac {(pq)^{2}}{pq}}\quad {\text{with}}\quad p,q\in \mathbb {N } ^{*}}$

AW (N) -model minimalny z ładunkiem centralnym ${\ Displaystyle c_ {k + N, k + N + 1}}$ skonstruować jako zestaw modeli Wessa-Zumino-Wittena ${\ Displaystyle {\ Frac {SU (N) _ {k} \ razy SU (N) _ {1}} {SU (N) )_{k+1}}}}$ .

Na przykład dwuwymiarowy krytyczny trójstanowy model Pottsa ma ładunek centralny ${\ Displaystyle c_ {5,6} ^ {(2)} = c_{4,5}^{(3)}={\frac {4}{5}}}$ . Obserwable spinowe modelu można opisać za pomocą niediagonalnego minimalnego modelu Virasoro serii D z ${\ Displaystyle (p, q) = (5,6)}$ lub pod względem przekątnej W (3) - minimalny model z ${\ Displaystyle (p, q) = (4,5)}$ .

Konformalna teoria Toda

Konformalna teoria Toda jest uogólnieniem teorii Liouville'a , która jest oparta na W-algebrze. Biorąc pod uwagę prostą algebrę Lie ${\ mathfrak {g}}$ Lagrange'a jest funkcjonałem pola , które należy do przestrzeni głównej ${\ displaystyle$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} }}$ , z jednym terminem interakcji dla każdego prostego pierwiastka:

${\ Displaystyle L [\ phi] = {\ Frac { 1}{2\pi }}(\partial \phi ,{\bar {\partial }}\phi )+\mu \sum _{e\in \{{\text{proste pierwiastki z }}{\mathfrak { g}}\}}\exp \left(b(e,\phi )\right)}$

$.$ od stałej kosmologicznej $,$ nie odgrywa żadnej znaczącej roli, oraz od parametru , który jest związany z ładunkiem centralnym Powstała teoria pola jest konforemną teorią pola, której algebra chiralnej symetrii jest algebrą W zbudowaną z redukcji $.$ -Sokołova Dla zachowania konforemnej symetrii w teorii kwantów kluczowe jest, aby nie było więcej terminów interakcji niż składowych wektora ${\ displaystyle \ phi}$ .

Metody prowadzące do rozwiązania teorii Liouville'a można zastosować do teorii W(N)-konformalnej Toda, ale prowadzą one jedynie do analitycznego wyznaczenia określonej klasy trzypunktowych stałych strukturalnych i W(N)-konformalnej Toda teoria z nie została rozwiązana. ${\ displaystyle N \ geq 3} .$

Logarytmiczna konforemna teoria pola

${\ Displaystyle c = c_ {1, q} ^ {(2)}} , algebrę$ do można rozszerzyć o tryplet generatorów o wymiarze ${\ displaystyle 2q-1}$ , tworząc w ten sposób W-algebrę ze zbiorem wymiarów ${\ Displaystyle H = \ {2,2q-1,2q-1,2q-1 \}}$ . Wtedy możliwe jest zbudowanie racjonalnej konforemnej teorii pola w oparciu o tę W-algebrę, która jest logarytmiczna. $zbadany$$ma$ uzyskuje się dla ładunek centralny , w tym w obecności granicy

Pojęcia pokrewne

Skończone W-algebry

Skończone algebry W to pewne algebry asocjacyjne związane z nilpotentnymi elementami półprostych algebr Liego .

Oryginalna definicja, dostarczona przez Alexandra Premeta, zaczyna się od pary składającej się z redukcyjnej algebry Liego ${\ Displaystyle ({\ mathfrak {g}}, e$$} }$ nad liczbami zespolonymi i elementem nilpotentnym e . Z twierdzenia Jacobsona-Morozowa e jest częścią potrójnego sl ₂ ( e , h , f ). Dekompozycja przestrzeni własnej ad( h ) indukuje ocenę na ${\ mathfrak {g}}}:$$Z}}$ }:

${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ bigoplus {\ mathfrak {g}} (i).}$

Zdefiniuj znak (tj. Homomorfizm od trywialnej 1-wymiarowej algebry Liego $)$ według reguły $(e, x)}$$χ {\ Displaystyle \$$kappa$ , gdzie formę zabijania . To indukuje niezdegenerowaną antysymetryczną formę dwuliniową na kawałku z oceną -1 według reguły:

${\ Displaystyle \ omega _ {\ chi} (x, y) = \ chi ([x, y]).}$

Po wybraniu dowolnej $Lagrange'a$ możemy zdefiniować następującą nilpotentną podalgebrę, która działa na uniwersalną algebrę obwiedni poprzez działanie sprzężone .

${\ Displaystyle {\ mathfrak {m.}} = l + \ bigoplus _ {i \ równoważnik -2} {\ mathfrak {g}} (i).}$

Lewy ideał uniwersalnej algebry otaczającej $sol$$\ Displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}$${\ Displaystyle \ {x-\chi (x):x\in {\mathfrak {m}}\}}$ przez jest niezmienne w ramach tej akcji. Z krótkiego obliczenia wynika, że ​​niezmienniki w ${\ Displaystyle U ({\ mathfrak {g}})/I}$ pod reklamą ${\ Displaystyle ({\ mathfrak {m}})}$ odziedziczyć strukturę algebry asocjacyjnej po ${\ Displaystyle U ({{\ displaystyle U ({\ mathfrak {m}})} \mathfrak {g}})}$ . Niezmienna podprzestrzeń ${\ Displaystyle (U ({\ mathfrak {g}}) / ja) ^ {{\ tekst {reklama}} ({\ mathfrak {m}}) }}$ nazywa się skończoną W-algebrą zbudowaną z ${\ Displaystyle ({\ mathfrak {g}}, e)}$ i jest zwykle oznaczany ${\ Displaystyle U ({\ mathfrak {g}}, e)}$ .

Dalsza lektura

•     de Boer, Jan; Tjin, Tjark (1993), „Teoria kwantyzacji i reprezentacji skończonych algebr W” , Communications in Mathematical Physics , 158 (3): 485–516, arXiv : hep-th/9211109 , Bibcode : 1993CMaPh.158..485D , doi : 10.1007/bf02096800 , ISSN 0010-3616 , MR 1255424 , S2CID 204933347
•    Bouwknegt, P.; Schoutens, K., wyd. (1995), W-symetria , Advanced Series in Mathematical Physics, tom. 22, River Edge, New Jersey: World Scientific Publishing Co., doi : 10.1142/2354 , ISBN 978-981021762-4 , MR 1338864
• Brown, Jonathan, skończone W-algebry typu klasycznego (PDF)
•    Dickey, LA (1997), „Wykłady z klasycznych algebr W”, Acta Applicandae Mathematicae , 47 (3): 243–321, doi : 10.1023 / A: 1017903416906 , ISSN 0167-8019 , S2CID 118573600
•     Gan, Wee Liang; Ginzburg, Victor (2002), „Quantization of Słodowy slices”, International Mathematics Research Notices , 2002 (5): 243–255, arXiv : math / 0105225 , doi : 10.1155/S107379280210609X , ISSN 1073-7928 , MR 187693 4 , S2CID 13895488
•     Losev, Ivan (2010), „Kwantyzowane działania symplektyczne i algebry W”, Journal of the American Mathematical Society , 23 (1): 35–59, arXiv : 0707,3108 , Bibcode : 2010JAMS… 23… 35L , doi : 10.1090/S0894-0347-09-00648-1 , ISSN 0894-0347 , MR 2552248 , S2CID 16211165
• Pope , CN (1991) , Lectures on W algebras and W.